1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 60
Текст из файла (страница 60)
УПРА)1(ПГЕП(Я 11.1. Вьсвестп пз (10.12) с()ормуду Г( —: — т — /') Г( —,+т — /с) прп этом, ссап 2т — целое чпсдо ндя нуль, то правусо часть следует замеяпть ее предельным значеяпом. 11.2. !1оказать. что 31 ь, (зе") = се "с.!Хт (з). Далее, используя предыдущее упраяснояпе, доказать, что прп любом целом е (~езекс) еззпсз!и (2етп) + з!и ((2е — 2) тя) !1, юп (2тя) Г ( —. + сп — 2) Г ~ —. — т — /с) 4 12ь. Оценки остаточного члена для асимптотических решений в общем случае 12.1.
Метод доказательства, использованный для теорем 2.1 и 2.2, является недостаточно эффективным для того, чтобы дать удовлетворительные оценки для и-го остаточного члена асимптотического разложения (2.04), особенно когда и не подчиняется условию (2.14). Чтобы получить более точные оценки, мы построим для остаточного члена интегральное уравнение, используя дополнительные функпии, которые приближают искомые решения лучше, чем еьм и е"*. В то )ке самое время мы ослабим условия па ((2) и д(2). ' ззо уолвнккпя с лпгекгулявнымп осозылп! точилин )г.!, т Функции 7(г) и»(г) еоложор)рньл е области, содерлсаи)ей сет.- тер о: и ~( ага' г -= р, )г~ ) а и 1, т'(г) ) — ', е(г) ) — ' (г-»оо в Я), (12.01) в=.з гг7е /!7 кн тлди (Эстето лилле зборждложи члены разложений ооределлто»гл 1" (г) = ~~ — '-,'— Р» 00 ,=0 =' (12. 02) (н — О, 1, ...). л =о Такпл! образом, при фиксированном н величин!! )Г„(г) / и ) С„(г) ( ограничены в о.
"Этапы доказате;иства аналогичны проведенным в тсорсмо '.1, и позтому мы будем использовать те же саллыо обозначения, 12.2. Используя тол,'дсство » — ! С„.+г (г)),, л=о! где К вЂ” '! (г) -'= » — ! а: ((и — з) Г ! ! — „. (г) -!- Э,лр» ьз, (г) + С ьг —,, (г)), (1о.О:!) л-О прпчом Л„(г) ограничено в о. Чтобы построить новое интегральное уравнение, зквпвадгптпос (2.07), мы найдем сначала дифференцпальноо уравнение, которое аппраксимирует данное уравнение го" +/(г) !о'+д(г) !и = 0 точнее, чем !л»+/с!о'+лало = О, когда значение )г! велико.
Наиболее очевидным выбором является и аналогичное тождество для 1(г)Л„(г) что выражение В»(г) пз формулы (2.06) И»-1-З)!) о"» ! 71»(г) == „. ! ллы можем проворил!о имеет вид Л» ь! (г) (1'!. !эз) оцьлткп остлточного ччкнл в огшкм слгчлн уравнспно и т (ет и )- Ь'е по его в общем случив польза рсшпть в элсмсптарных функциях. л)ы применим результат упрагкнсния 1.2 из главы 6, опрсделя1ощий функции р и 11 таким ооразом, чтобы разлогкеиия козффицисптов исрсд Й)Р!1)г и И' по стспоням г-' согласовались с разлоексиияип 1(г) и д(г) до члена с г '.
Очсвпдио, что зтот выбор но одикствсн; для простоты мы возьмем $ гв, соввг З ив ' 4 е г ' вв выбирая иостокпну1о во втором соотношении так, чтобы сделать р полным квадратом. Тогда р == 4 (Д вЂ” 4д,)(! лл — ), гдо 1е61 — дге Р1 — Р е, (12.06) сравните (1.09) и (1.10). Прп такнх законах функции И;(г) == (1+ — ! еь"г"', И;(г) = (1 —,' — / еь"'гв' (!2.07) удовлетворяют диффсрснциальпому уравнсншо — „, +(т,+ — ~ — +(д„+ — + — ", -+1(г))И'.
-О, (1'.08) в котором р =- — У1У1 — 2) — рг~ — Д вЂ” д(11= ргрв+ —,, (и, +рв) (12.00) 4 14 и Х(г) =- — р "(р 4) = Р, (1+ Р )(1+ ~ ) Очевидно, что ('12.08) дает искомое уравнение, соответствующес (12.05). Используя (12.02) при и = 2, мы запн1пем уравненнс (2.07) в вндс ав(г)+(1в+ Мз'„(г)+ ~ге+ — "' -!г — ~+1(г)~в.(г) =- = — еь"г"'Ав (г) — — ', з„(г) — — ',— в'„(г), (12,10) вв и д Ф. Олвев 338 УРАВНЕН)!Я С НРРЕГУЛЯРНТТМП ОСОВТТЫП ТОЧКАМ!Т Н'Л 7 где 6г(г) = бг(г) — лг — гг1(г). (12.11) Ретпенпе уравнения (12.10) с помощью вариации параметров даст искомое интегральное уравненне е„(г) = ~ К(г, 1))~' Т *Л„(~)+ — ',, еч(0-Р— ',, ~„(() г1(, (1212) ( ),г Р, сг(() )' 0) ) в котором К ( )У! (г) И'г (() — И'г (г) И'! ()) И', (г) И'г (г) — И', (г) )У, <() И'! (() И'., !() — Иг (0 И (0 (), — )!,) (ю 'Ргг(" гг-*)! (12.12) а г) — произвольная фпкспрованная точка пз Ь; в качестве г! обычно выбпрают бесконечно удаленную точку на луче агя Т= — ю (ср.
(2.12) ) . 12.3. Мы будем решать ураштщте (12.12) с поыощьто теоремы 10.1 нз главы 6. Чтобы найти оценку ядра, введем сначала обо- значения Ег(г) =Агг+рг)п г, ь((г) =) )г+И))в г, причем ветвь !п г выбпраотся непрерывной на контуре янтетри- рованття,т)(. Тогда пз (12.07) п (12.13) следует, что ы(г) — $,(О ( ~ М(г)-Т,(О ~ и поэтому (К(г, Т) / ~)ээ(г)0(Т), где (',) (Т) =-. ~ е З' ) ~, Р„(г) .—.= 2с, ~ — ' с, =-- апр (1 РР— ~ (н 'Р! (12.14) Далее, — = )() + — '+ — (1+ — ) (7'= 1, 2); И() Р (( Й(г) ) г згг( г ) Т Пусть .У)( удовлетворяет условпю, что )Те Дг(Т) — ~((()) не уоы- вает, когда Т изменяется от г до г). Тогда в !21 Опе!и!и Остаточного члена в Овшеы случАЕ отсюда ~ "' ~~(Р (г) ~(г), где Р (з) = свРо(з) н 1дК (в, !) -)-)ьв-)- 1" -)-,1, (1-'с — ") ~~.
(12 15) Воспользуемся снова обозначениями теоремы 10.1 главы 6: вр(1) == — Л„(!), Х(!) = е '! 1, !го (!) " б в (1)~ в! ! (!) = ~ Рв (1) Такпм образом, в условии (6) Я 10.2 главы 6 имеем н 1 Ф(г) =-~ (Л„(!) !Л!, Ч"а(г) .= ~~ — '.,(!) сл~(, в г и Ч,(.) =- ~!"'"-„"~,1 ~ П Й = 1, )со = 2с,()! — Хв) ', 7с, = 2с!св()! — )в~ Очевидно, что Ч о (г)' св у'в в (г ), Ч"в (з) е . с уа,, (! ), где св =- зпр ! 17. (!) ~, ев —— - епр (Р (г) (. вава, вы!а, (12.16) Используя формулы (12.03) п (12.04) и вспоминая, что )в+2) 1= = — в.! — Хв, мы приходим к неравенству Ф(з)() 6 — ).„)(у'.
с (иа !! — а)+у'в ..(та+1,!К " ')), где !а+! ! 1а — ! веР 1 У„а ! ((Р! — г) Гв~ !, О) + Хвка,а, 1!) + П +в (!)) вЯ,Р, — !а+!))а, х,) Ирвменяя указанную выше теорему, мы получаем решение инте- грального уравнения (12.12) вдоль выбранного пути т!! вместе с оценками.
То, что зто решение также удовлетворяет дифферен- циальному уравнониго (2.07), можно установить с помощью рас- . суждений, аналогичных проведенным в з 11.2 главы 6. 22а я0 уРлвненпя с иРРегуляРныъги Осовыпги точклпп1 ' ~гл. т 12.4. Собирая вместе предыдущие результаты, мы можспг сформулировать следующую теорему. Теорема 12.1. При набранных курсиволс условиях в $1".1 уравнение (12.05) для каждого уелого н)0 имеет решение зависящее от произвольно выбираемой точки г~ и голоморфлое в $.
Значения ).и рк а„1 отгределены в З '1.2, а остаточный член ь„,1(г) о11епивастся следующип образом. Пусть Х1(г~) — зочожество точек г, дня которых существует путь дь1 в Ь, соедингиощий г с г~ и имеющий с.гедующие свойства; 1) У1 состоит из конечной кепочки Лг-дуг, 2) Ве (()г — Х~)г+(цг — 01) !п1) не убывает, когда 1 изиеняется вдоль,У1 от г до г1. Тогда в Х~(г~) величины )е„~(г) ( и (е„л (г) (1с ограничсте выраясением 2,) '" "'((У,( — "') лгт (",',)) б ' 'хр ( ~'х"' 'Л ~"з у'~, ~ — Я ("2 "') где т„, ~ ~ определяется форлсулой (12.17), с1, сг и с1 зада11ы равенствами (12.14) — ('12.16), р задано формузои (12.06) и сз зпр ( 62 (1) ргр 1ЫЗЧ вЂ” — (р, -1- р ) — — (1+ —,, )(1-~- — ! ~. (12.20) Замечания.
(а) У'славия 1) и 2) на Р~ аналопгчны условиям, сформулированным в $ 11Л главы 6. В приведенной вьппо теореме допустимый путь снова можно былоназватьпоступательным путем. Если г~ — бесконечно удаленная точка на поступательном пути м'1 (что обычно н будет иметь место), то требуется, чтобы дь1 совпадал с Я.'1 в окрестности гь (Ь) Аналогичный результат справедлив чля второго решения дифференциального уравнения: по существу, мы должны поменять местами 7,1 и 1,1, р~ и рг, заменить а, ~ на а, г и ввести новые точку гг и путь Уг. (с) Аналогичная теорема справедлива для действительных переменных.
В этом случае достаточно, чтобы 1(г) и у(г) были непрерывными функциями. Кроме того, оценку (12.19) можно уточвить, заменяя с~ п сг одновременно на —,с,п 2сг соответственно. а <з! оцкнкп для разложвнип глнквля 12.5. В следующем параграфе теорема 12.1 будет применена к разложениям Ганкес<я. В етом случае )« = рт, что значительно упрощает выбор поступательных путей. Исследование более сложного случая функций Упттсксра прп боль<них значещгях аргумеггга было проведено Олзером (1965). УПРА)КZГНИЯ 12.1, Доказать, что условие (2) ка У< удоалстаорается, если сос <р ) ~ )) р<<), где <р — ага(хг — ХΠ— угол наклона касательной к я<< в точке <.
12.2. Показать с помощью предыдущего упрек<яекпя, что теоремы 2Л в 2.2 какя<отея частньэ<к случаямп теоремы 12.1. 12.3. Используя укр. !2Л, показать. по ураекеппе «са< . "<)о< !3 ..— 1! имеет аяал<пичсское решение с аспмктотп искам разложеяксм < .-' Ч, ЧЬ (- !)' 1 ( — 1)а ..
)! прв . — сс а секторе <аг з) "-"(л/2) — <)(яд лрд). 13*. Оценки остаточного члена для разлои<енпй Гаикеля 13.1. Оценки остато (ных щапов п усеченных рядах (4.03) и (4.04) можно полу пггь из теорсмл! 12.1. Положи!< при и 1 <а — < а=о 1 где снова ь =- з — —,сп — — и. В обозначениях $ 12 2 г",(г) = О (к - 2); 02(с) т, С (з) = О (8 ~~ 3) р = О, с< — — 1, сз = (т — 1/4), с, = О, «„е! < — — 0 (и)0), 11олагая з! = — <оо и вспоминая, что т)„<(з) =с "з"е„<(з), мы выводим нз (12.19) оценку (т)„<(з))~~2(А„(т)(У; <„(1 ")ехр((тз — 1/4(У. < (8 ')), '(1302) причем пути в вариации подчинены условию, что 1п<1 изменяется монотонно. 242 уРАВнения с иРРегуляРнымн осовыъп1 точкьыи 1гл.
7 Оценки для минимальных вариаций можно получить нз з 13 главы 6, повернув плоскость переменной з на угол гт/2. Тогда где снова 2(и) =л Г( —,и+1)гГг( — и+ —, г'/ ~ 2 Если )з) >) (тт — 11'4( и О < агах < я, то отношение оценки остаточного члена (13.02) к абсолютной величине первого отброшенного члена 1"А (т) гз" приблизителыго равно 2. Если лг2 -~агд(ге ™) ) = я, то это отношение приблизительно равно 22(гг). Б силу этого формула (13.01) является весьма удовлетворительной для численных расчетов в этих областях изменения аргумента. Но когда я - (агя(зе '"'з) (-' (Зн/2) — б, мы имеем У', г (1 ') <2У(и) созес 'б ( з) Зта оценка сильно растет при б-э О, предупрождая нас о том, что осла пренебречь значением 11„1(з), то формула (13.01) становится неточной при вычислениях вблизи границ агд з = — я и 2л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
