1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 63
Текст из файла (страница 63)
УПРЛ1)П1ЕНП11 15.1. Доказать, что и (г) —,'- Н, (П = — Пг(П с! — (г Н„(г)) = ггН,, (г), Пг, (г) — П х, (Ы .=-2Н„(г)— ( — ':1' л11с Г (т + (3 2П 1( 1 т ' '' я!Яш!' (т ! (3(2)) !5.2. Пусть т ~ — 1(2 я Я',(х) — цилиндрическая функция; проверить, что хгид (х) г1х = л!гт2т !Г(т+ — ) х(У (а) Н' (х) — У (х) Н„(х)). 15.3. Псполь11уя представление (15.06), показать, что если л — вео1рнцательное целое число, то Н к С,сг,(г) =-( — 1)" г +(!яя(г). Показать так ке, что Н,м(г) = 2'сг(1 — соа г)((лг) 'сг.
15.4. Доказать, что кт(гг "!) = 2! сов (тл) У!с!)(г) — е '"!к (г). 15.5. Используя (15.06), показать, что если т действительно, г положительно и л Га т — (1(2), то я-й остаточный член в (15.03) ограничен по аосолютной величине первым отбрас!аваемым членом и имеет тот же знак. 1) Другой путь: если в теореме 14Л положить агн1! = агн (Х! — аг) = = — Зл)2 и агахг — — агй ()1г — 21) = — л)2, то соответствуюп(ее решение будет иметь вид — етксК,(ге — "'). 23* 856 РРАВнкння с ИРРВГулпРнымн Оспныын тпчклыи (Гл.
т Нсторические сведения и дополнительные ссылки Материал, пасающийсн функций 13есселн, вырожденных гипергеометрических функций и функций Струве, является классическим, однако мы уделили ббльшее. чем обычно, внимание выноду свойств прямо из определяющих тифференциальных уравненш!. Среди основпьж источников моя но назвать книги Ватсона (1949), Бейтмсна и Эрдсйи (1973, !966). Слейтер (1960) и С.С.Ф. (1964).
Асимптотпчес!гая теория и анализ остаточных членов в случае иррегулярных особых точек основаны на работах Олвера (19!Н, 1965Ь). Теоремы 2,1 н 2.2 получены Хорноч (190!); прнведенн!зе аьипе доказательства явлн!отея новыми. Теоремы 3,1 и 4.1, по-видимому, явля!отея новыми; один результат, свнзанный с первои нз них, принадлежит Хспс и Сибун (1966). !! ! — 2. Нсторвл этих ро!пений в виде рядов корою'о описана Эрдейи (1962, глава 3). Я 4 — 8. Основной работой по бесселевым фуишп!ям все еще явллстся труд Ватсона (1949). Относительно некоторых лальнейишх свойств, каса1ощг!хся нулей, см. Р.
С. (!960); об!ннрные табзппы определенные н неоиргделенных интегралов можно найти в книгах 71юка (1902) и Обер стюшгсра (!972). 4 5 1. Необходимость выделять численно удовлетворительные пары решений уравнении Босселя (а также уравнения Эйрп) в комплексной плоскости ие всегда отмечалась составителями таблпп 1 65. Некоторые опенки остаточного члена д.!и разложения Мак-Магона были получены Хеюсоутом (!970а. ЬБ Я 9 — ! !. Б число монографий о выро'клснных пп!сргеометрпчсских функциях входят книги 1 ухгольпа (!069), Трипомп (Н!51) п Слей!тер (!91а)з).
4 1!.2, Этн зффсктввные прпбли;кении для фувкппй У1птекера явг!я!ется, по-нидимол!у, новымп. Другие аспмптотичесние приближения при бо.гыпих ю получены Казарнновым (1955, 1957). ! 12. Возможно обобщение анализа остаточных членов на уравнения второго порндка, имеющие иррегулярные особые точки произвольного конечного ранга; детали см. в работе Олвера и Стенджера (1965). Бо.тес сложным ивлястси анализ остаточных членов для системы нропзвольного числа лпффсренппальных уравнений первого порядка, имеющих иррегулярные особые точки произвольного ранга; слизанные с этим вопросы изучалпсь Стенджором (!966а, Ь). Ск. так ке книгу Вазова (1968, главы 4 и 5) . 1 15.1.'1) Обозначение К (;) нвлястся новым; оно было введено длн того, чтобы подчеркнуть нсобходиьюсть использования численно удовлетворительных рщиеиий уравнения Струве.
2) Действительные нули функции Н,.(з) были изучены Стсйиигом (1070). ОТВКТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ГИЛВА 1 2И. Искерно. П!яав!чо часть следуот заменить на о(я"). 2 Н. 4; 1; 4/я'-. 33. ря/(е я)гя 6) я. 7.3. (я+1) '+я 1!.2. 1) 2(яя); 2) 1: 3) 2; 4) 2/я. !!.3. !) 2; 2) 2; 3) 4яз — 2. ГИЛВЛ 3 2.6. о =- 0,11. 8.4, а) да; )я) нет. ГДАВЛ 4 !.2. (ага.т( » «(Зл/2) — 6 ~ Зя/2.
2.!. (агя х( < (Зя/4) — 6 ч, Зч/4. ВИ. !!ет; заданняаб интеграл моьчяо продолнппь аналитически, 1.1АВЛ а ЗИ.. /2, 4.1. 1) "Ха,я и сонрятлевный ряд, где ая = 1 н а,/а„| = — (2зз+ 4М вЂ” Зз .1- 1 — Зя]/(2зз+ 4М] (з я 1). '!я ( — 1)' н "с.(я — 1)"+!н", где Ья = — 1, Ь~ = О, ся = 1, с,= — 1/3 и орн я ) 2 г(2з — 1) Ь, + 4(г — 1) ЯЬ, 1 + (2г' — 7г + 3) Ь. я = О, г(2з+ 1) с, + (2з — 1)зс, ~ + (2зз — 5з -!-5)с, з = О. О.!.
П Иррегулярная особая точка ранга 1: 2) иррегулярная особая точка бесконечного ранга; 3) регулярная особая точка с показателем (3 ~ 75)/2. 52 5гз — Зг и 1 4 ° 5 1 4 ° 5 ° 6 ° 7 1 — + —.— +... — + гз 2 ° О я" 2 4 ° О 1! 9.5. Да, о помо!него подходяп!ей деформации пути интегрирования. Отпиты к упгдигнгпппм 358 ГЛАВА 6 1 1 2.4. Приблпягениое анвченпо и(2) = —., е »- —., е ' = 1,5! ... (аетате»Г( =-;= ~ Е1нг (2) — — Е, (1) г+ — Š— Ее !1) + — Е (!К Г. 31,ОО. т. о. ( / "-/' г/» --.
го. !!огк~».!ьг!у 4А. Предположим противное, ) /-"а/'3- =- — /-жв/ -!- ~/-ап/чиж то / "'/' — г -- ео Прп т — ео х=-~ и= ~> А В ~фгиглгвф~!пгнаи А' 2) Продоля»ение через АВ. 3) П!годоляюнгге терез ВВ. Продолжения через А'В' и В'С' приводят к областям, сопряженным к 2)»г 3). 12А. вк ГЛАВА 7 1.!. Положгпь 2 = е' или -' 12. и = А(х з㻠— е е»е)ехр(хме) + В(е е»»+ е е»4)ехр( — ем). 1.3. (25 — е + — ) (2Š— е + — )... (25+а+ —,) вг/4 ехр(+ ! (8х)г/а) чд' (+ г)' е! (32е)е/З 14А.
Если а) /е = у~ = О или Ь) /е ~ О и (ьг!//е) + а .!- 2 — положитель- ное целое число. Пожому /' ( О, когда г достаточно вглпко. Слег!она!ель»!о. / пг панино убывает и некого!гому постоянному зка и гюго. г;оторое до.ю,ко оыгь равным нулго, так как в протонном случае /' — ео. 1!з !»ззсггства /'==ооон! — ) (/ З/т/")/ з""г/х следует, гто /' =- — с + о(Рч) прп е —, где е — ноотрппательная постоянная. Если е > О, то интегрирование д,»сг — — сг., что ггрогггворечггт услонпю.
Если же с = и. го имеем /-'»/5 —.= е(!), что также приводит к противоречию. Второй реаультат можно полу писк пнтогрпрул выра!конке = соле!+ о(1). 11А. ЛИТЕРАТУРА Л и и с (1пге Б. 1..) (1939) Обыкновенные дифференциальные уравнения. м., Гогтехиядат. А и о с т о л (Арошо! Т. М,) (1957( Ма1Ьгшвпса( аиа!уяв. Лйй(яоп — )Чев!оу, Веай!и8, 5!язвят!шве10ь 1Ь Л.
ЕБг1БзЬ Лгмоги1!оп Еог 1Ье Лйтаигепиай о1' Вс)епсе) 11952) МаВивпаВса! 1аЫея, Чо). Х, Веязе( 1иисВоия. Р1. 1!. РипсВопв оЕ ром(1«е !и1е8ет огйег. СашЬг!й«ь 1:п!т. Ргеяз, Е.оийои авй Велч Чогй. Б а р и г (Распев В. 1Ч.) (19(Ш) ТЬе аяушр(о1гс ехраиз!оп оЕ (п1е8га! ЕипсНопя йейпой Ьу Тау!от'з ы пея. РЛ|)оя. Тгаив. Воу. Вос. Ьопйои Вег. Л 206, 249 — 297. Бгйтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
М., юНаукав (1973), т. 1; (1066), т. 2; (1967), т. 3. Б е р г (Вег8 Ь.) (1968) Ляушр1о1!всЬе Рагя1с!!ипиеп иий Р)п(в(сЫиибеп. ЧЕВ Ргп1яс!иг Чег!а8 йог ЧЧ!язепягЬа((еп, Вег))и. Бляйстейн и Ханделсмаи (В)е(я1е!пЬЬаийНаийе!яшапВ.А) (1975) Аяушр(оВс ехрапйоия оЕ !п1е««та!в. Но11, В(иеЬвг( апй 'тЧ!ив!оп, Хетт Чогйи Блайстейн, Ханделсмаи н Лыо (В1еийг!п Б., НапйеЬе и~асс В. Л., апй Ьетт !.
8.) (1972) РипсВопв нЬояе Роипег Ргаия(опия йесау а( ЕпНи(1у: Ап ех1еиз!ои оЕ (Ье В(ешаип — ЬеЬев8ие 1ешита. 81АМ Е. Ма1Ь. Апа!. 3, 485 — 495. Б о и и (Вош Р. 1Ч. ЬЬ) (1965) Оп ЬЬе ше1Ьой о1 я1аВопагу рЬаяе Еог йоиЫе Еп1ебгаЬс ЧраНшап Ре!В. В рнлл пэи (Вп!!ошп Ь.) (1926) Вешагциев яиг 1а шесЬав(цие опйи!а1о1ге. У. РЬув. Вайиш [6), 7, 353 †3. 1 р о м у и ч (Вгошьт)сЬ Т. 7. ГЛ) (1926) Ап !п1гойм1(ои 1о ЕЬе рйеоту о( ЕпВп)1е яег!ея, 2ий ей. Масш(1!ап, 1,опйоп. Б у р к х а р д т (ВитЬЬагйь Н.) (1914) [)Ьег рипЫ(опеп дгояяет КаЫеп, ЕпзЬеяопг1еге иЬег й)е пайегии8вме)- ве Вез!)шшигщ епНегп1ег О1юйег )и йеп ВегЬепепри(сЫип8еи йег ТЬеог1е йег Кер!егясЬеи Веме8ип8, 8;В. МипсЬев АЬай.
Ыа(Ь.- РЬуз., 1 — 11. Б у х г о л ь ц (ВисЬЬо1я Н.) (1969) ТЬе сопйиеШ Ьурег8еоше1пс Еипс()оп, (тапа)а(ей Ьу Н. ЫсЫЫаи апй К. Чуе1хе) Ь.ош 1953. Оеппап ей. Брпи8ег — Чег!а8, Вег)!и авй Беж Чотй. Б в к х у м (ВаЬЬоош Ж. С.) (1933) Азушр(оНс ехрапв1оп оЕ ВЬе Еипс((оп Р (в)=) г " +*"«и. Ргос. Ьоио йои Ма(Ь. Вос. [2), 85, 83 — 100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
