1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Умножение на вхз(з) дает из(з)(~„~(з) = 0(з" "+') РРлвнкнпя с НРРкгуляРнывпп осоиымп точилин игл. 7 е„(з) = 0 (с" "+') (з -~- оо в Т). (14.18) Подставлян (14.06) и (14.18) в (14.08) и относя член з"а. 1/г" ' в остаток 0 (з" ' '), гМ саеесд' мы видим, что существует такое рещение И' 1(з) уравнения (14.08), что 1 ис. !44. ).11-взэскестгл (с-Рос в Т). (14.16) — — Ограничения п ) Во(а — р1) + 1 н и Ве(а — ре) +1, введенные в процессе доказательства, пе являются необходимыми в этом конечном результате, так как нз (14.10) очевидно, что е=а для тпобого целого числа т из интервала 1 «и «п. 14.4.
Собирая вместе все полученные результаты и заменяя и на и+ 1, мы мелеем сформулировать следующую теорему. Т е о р е м а 14.1. Пусть ) (с), д(г) и р(з) — аналитические функе)ии комплексной переменной з, имеющие сходящиеся разлохсения вида (14.02) для достаточно больших (з(, причем )а ~4да при з — ь оо в Яа Г) Т1, где 81 — сектор (аг ((Л1 — Ле)з) ! «(Зл)2) — б (ср. (2.15) ) . Аналогично, если 01 = атд Л1 и — (Зл,'2)+атл(Л1 — л )+б = а1тдЛ1 «(Зл/2)+атд(Л1 — Л1) — б, (14.14) то 1„(с) сходится; ьсли, кроме того, и ) Ве(са — р1) + 1„то йг(с)1'„з~(с) =-.0(е ' ) прп г — э-со в 81() Ти где Те опречс.юн условием — (Зл,'2)+ Ь вЂ” п11п(ат~«),1, атн().1 — )1)) « «атд з = (Зл)2) — б — п1ах(атп Л1, атд(Л1 — Ла) ).
Поскольку Т, с: 81 и Та ~ 81, то общая область справедливости этих оценок есть Т =— Т1 Д Тз. Подстановка полученных результатов в (14.10) дает 331 5 сс! нводпогодныв хелвнвння и дз Ф О. Пусть, кроче того, Л! и ).г — нули квадратичной формы Л'+!с>Л+Лс, где агдЛ>, агдЛм агд(лз — Л!) и асд(Л! — Лз) вьсОра>сьс тек, что выполнлютгя неравенства (14.13) и (14.14), б— произвс>льнов положитель>сое число. Тогда, если >гооффссцссентьс а, определены фар>су,са>ссс (14!.05), дифференцн>сое уравнение (14.03] плсеет решеппе И>.(з), зссвисяшее от произвольного пеотрт(ате:гьпого целого числа с>, такого, что 11'к(з) =.— з" л„—" + 0 [ —,) (з->- оо в Т), (14,17) ...а где Т вЂ” сектор вида --(Зл,,'2) + 6 — шш(агд )с, аг>д)м агц(77 — Л!), агд(7! — Лг)) ~ с-.
а! ге ~ (()л>>2) — д — спс>х(ссга7 >, агалз, ага(Лз — г !), агд(7.! — Лз)!. (14.18) !!рп примененви этой теоремы следует иметь в виду, что ни один яз аргументов л>, 7.>, Л> — Л! и 7.! — >. не обязан принимать главное значсоие. !(ровсе того, используя различные комбинации л! и ?.м которые удовлетворяют (14.!3) и (14.14), мы получаем различные секторы справедливости Т.
Однако при этом не происходит расширения областей справедливости: доказательство показывает, что для данного п с каждой областью Т связаны различные решения дифференциального уравнения. !)редноложим, например, что Л! ) 0 и Лз (О. Тогда мы мопсом ваять агд(Лг — Л!) = я и агд(Л! — ?.г) = О. Условия (14.13) и (14.14) будут выполнены при агяЛ! — — 0 и ага Лз = я, и в результате мы получаем, что Т имеет внд — (Зя(2)+ б ( зги з ~ -.— (я72) — б. Гели же мы возьмем агд(Лз — Л!) = — л и с>гд(Л! — Лз) = О, то будем иметь ага Л, = О, ага Лз — — — л. и Т зкдаетгя я! равонством — я)2+ б =агах ( Зя/2 — б. Р! шение, ск>падающее свойством (14.17) в области )г — Зл!2+О.
я)2 — б1 пзмгпения аргумента, отличается от решения, имесощсго это свойство в ! — я(2+ б, 3:т/2 — б]. УПРД)К ЕНИЯ )4.С. Показать, что пря ке = О урязяеняе (14.03) имеет, вообсяе говоря, формальное решение е Ь,е .Когда зто утзержденве стзяозктся вес+! ч> — е скразсдлпвмм? 2 з>з В а> г4.2. Переходя к переменной 4 = — е', показать, что уравнение а,з = '= 3-' = ек> — е-' имеет решения к»(е), > = О, ~4> такие, что ПЗ" 4 7 40 ...(Зе + 1) и> (е) ~„ >=0 крв е — >- сс в секторе )аги( — ее"»'') ) ( 2к)3 — 3(( 2к?3). Збд угхвнен7(я с 71ввегуляенымп осовыъш точками (гл. 7 в 15*. Уравнение Струве !5.'!.
В физических и математических приложениях представляют интерес решения слечующего неоднородного уравнения Бессели: тй г (-юр ' Ш7 ': ее+( ее~ „'зГ( -(-(, )' Используя методы, аналогичные методам 4 4 главы 5, мы легко убеждаемся в том, что одним из решений является фуихг(ия Струве: .-о *' '*' Этот ряд сходится при всех конечных е; действительно, функция е-"-'Н,.(г) является целой по з. Легко также установить, используя равномерную сходимость, что функции Н,(з) — целая по т, если г ~ О.
Другое решение уравнения (15.0!) можно построить методом з 14. В данном случае 1 те ( ~(г) -= —, д(г) =- 1 — —,, и — т — 1, р(з) =-.. 7 я ПЕЕ' ( Г (г -(- (,'2) Из (14.05) мы получаем амю = 0 и г-" — г+'Г (. (- ((З) — „-,) ( — ° ). ч(арлктеристические значения равны Х( = ( и ле = — (. Гели «гд)п = агд(7.( — Хе) = л!2 и агд)а = агу(Х7 — Л1) = — л(2, то условии (14.13) и (14.14) удовлетворены, и теорема 14.1 показывает, что для:побого положительного целого числа существует решение уравнения (15.01) вида при е-+.
со в секторе (агре( =. л — б(< л). Все решения И'з (г) совладают. Чтобы увидеть зто, напишем И"„(з) = И'е (г) + А„В(,'~ (з) + В„В~" (г), гдз А„и В„не зависят от з. Полагая з-+.ооее"'е и используя разложения Ганкеля (4.03) и (4.04), мы видим, что В = А =О. Таким образом, уравнение (15.01) имеет единственное 353 урлвнгнпв струвг % 1в? решение К,,(г), такое, что в К,(г) г оо (г — э- со, ) агя г ! ~ и — 5), (15.03) 15.2.
г?тобы связать Н,(г) и К.(г), мы снова воспользуемся интегральным представлением. Интеграл для бета-функции и формула удвоения длн гамма-функции дают 1 ~ т'(1 — т)в ' с?т. Г (в з-3 ) Р1 -,-.- 3, ) з),о(,) Р(в о (15.04) Предполагая. что Ве т ) — 112, мы можем подставить (15.04) в (15.02) п пзмешыь порядок интегрирования и суммирования'). Выбирая г = т," в качестве новой переменной интегрирования, мы приходим к представлению 1 о ( - )') И 1?в(г) =,, гбп(г?)(1 — 1~) ' лг (Веъ в — 1,2) л" р (т 5'1пй ' о Далее нам потребуется асимптотическое разложение последнего шггсграло при больших положительных г. Его можно было бы найти с помощью метода стационарной фазы в), но прощо воспользоваться контурным интегрированием.
Имеем Н,(г) =-- ., ' (У,(г) — Гв(г)), (15.05) где ') Глава 2, теорема 3.1. ') Эрдейи (1955), Олвер (1974). 23 а). плевр 1 ) Г,(г) =... р?с' '(1 — гг)в и г?1, ?'т(г) =-.= ~е "'(1 — гг)' п~Ж. о о Так как г)0, то путь интегрирования в с),(г) можно деформп- 1-ь ) ровагь, переведя интеграл в ~ — ~ . Далее сделаем подстановку о 1 = гп Поскольку ?1е ъ ) — 1/2, второй интеграл можно выразить через Е1, (г), сжимая контур-петлю для интеграла Ганкеля, и) как в 3 13.3. Тогда ; ( е — "(1+, ) — пг,?т+ Я™Р('+ "2) Н10(,) 2 (г12)в о З54 унзвпвеп)я с и!'Рвгугп!Риь)зп! Осовымп то'п(л(ки (гл т Аналогично З ( гл)! Подстановка зтпх выражений в (15.05) дает с учетом (5.0!)' Н,(з) — У,(з) =.-,, ' ~ е "(1 — , 'те)» и (/т. (15,06) к!)зр (» -с ))2) Ограничение Ве т ) — 1/2 теперь можно устранить с помощью аналитического продолжения.
Если применить ь' (15.06) лемму Ватсона, то окажется, что асимптотическое разложение будет совпадать с (15.03). В З 15.1 мы видели, что решение уравнения (15.01) с таким раззок(сипом един! твенно, п позтому К, (г) = Н, (х) — У. (з) .
Это результат с помощшо аналитического продолжения ооойщается с положительных значений з на комплексные, если только ветви выбираются непрерывным образом. Это н есть искомая формула связи. Мы показали попутно, что правая часть (15.00) дает интегральное представление функции К,(з) прп ! а гд г ( ( л/2. 15.3. Общее решенно уравнения (15.0!) можно записать в виде и! = Н,(з)+ АУ,.(з)+ В)',(з), (15.07)' где Л и  — произвольные постоянные.
Сравнена! разложений функций Н,(з), У,(з) и У.(г) в степенные ряды показывает, что атот вид представления являотся численно удовлетворительным при палл)х или не слишком больших значениях )з!. Но, исключая, возможно, действительную ось, представление (15.07) является неудовлетворитольпым при больших значениях ~з~, поскольку все три функции Н.(з), 1,(з) в У,(з) имеют доминирующее асимптотическое поведение. При больших з в секторе )зги з1( я/2 численно удовлетворительное представление общего решения имеет вид и =- К (з) + АН(!) (з) + ВВ(з)(з), где Л и  — снова произвольные постоянные. В верхней части втого сектора функция Н, (з) — подчиненная, В,г (з) — домини(!) (") рующая, а К„(з) имеет промежуточное поведение.
В нижней части /7» (з) и Ы»з (з) меняются ролями. (И (з) 355 1 !5! ВРЛВНЕНИЕ СТРУВЕ В секторе л(о ( а!нг = Зл!'2 подходящео представление для бог!ьи!Вх г имеет вид ш = — е'з(К,(ге "')+ Аггс,"1ге ") р 8Н(. 1ге '), причем с помощьло преобразования иереыоииых легко проверить, что нервы!! член в правой части является решением уравнения (13!.01) ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
