1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Полохсительные нули двух лгобых линейно независимых действительных Нилиндрических фуикг1ий однако итоео псе порядка 1ередуются. Это утверзкдение является частным случаем общей теоремы о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. Чтобы доказать теорему 7.1, возьмем одну нз цилиндрических функций в виде (7.01), а другую — в вид. л)ч(х) = Су '(х)+В)' '(х)'г Используя упражнение 5.1, мы получаем $'„(х)Ы),(х) — $3,(х) Я„(х) == 2(А — ВС),'пх. Поскольку $'е(х) и лз,(х) независимы, Аьз — ВС чаО (ср. главу 5, теорему 1.2).
В положительном нуле функции $3ч(х) еепроизводная $3ч(х) отлична от нули (теорема 6.1); в последующих нУлЯх $',(х) имеет пРотнвоположные знаки, посколькУ ~2)ч(х) имеет противоположные знаки. Поатому нечетное число нулей функции л.'з,(х) отделяет каждую последовательную пару нулей функции $2е(х). Аналогично нечетное число нулей $',(х) отделяет каждую последовательную пару нулей Ю„(х). Теперь утверждение теоремы становится очевидным.
НУЛИ ФУНКЦИИ ГЫН И ДРУГИХ ФУНКЦИИ 319 1 21 полагая ы,(х)=ту(х), мы видим, что все действительные цилиндрические функции имеют бесконечное число положительных нулей. 7,2. Часто в-е положптельнгзе нули функций У,,(х) и У„(х) обозначаются соответственно через утл и у,, Т е о р е и а 7.2. Если у ) — 1/2, то '(7.02) утл (гь1 (у~',2 ~12,2 ~ ° ° Теорема 7.1 показывает, что в каждом из интервалов (у.
ь ус 2), (ус ю 1чд), ... имеется точно один нуль функции У„и либо одпп нуль, либо ны одного в интервале (О, 1,, 1). Нам нужно лишь доказать, что в этом интервале имеется один нуль. Коли у > — 1, то функция l,(х) положительна прн х-~+О, откуда л',. (1,л) (О. 11олагая х = У, 1 во вронскиане, приведенном в упр. 5.1, мы видим, что У, (1,,~) > О. Далее, с помощью уравнений (5.04) и (5.07) можно проверить, что прн х — ~+О функция У, (х) имеет аснмптотику вида I 1 д — ч 2 /1 ду — — Г(У)( —.х~, — 1пх, — — соз(УИ)Г( — У) —,х, (7.03) ( 2 в зависимости от того, какое из условий ъ ~ О, у = 0 или — — ( у ( 0 выполняется.
Во всех трех случаях знак отрицателен 2 и противоположен знаку У,(х) в точке х =1,л. Докааательство закончено. 7.3. Как и в доказательстве теоремы 6.3, каждый нуль функции У,(х) локально является дифференцируемой функцией у. Теорема 7.2 показывает, что нумерация положительных нулей У,(х) не может изменяться, когда у непрерывно меняется в интервале ( — 1/2, ос). Позтодду нрп фиксированном г нуль угл явля- '1 ется диффврвн21ируеиой функцией всюду в ( — —, со). Аналога теоремы 6.2 для У,'(2) и У,(2) не существует; зто становится очевидным из приведенного ниже упр, 7,5.
Остающаяся теорема в 9 6, а именно теорема бл1, имеет аналог для функции У,(х). Действительно, )чл возРастает в интеРвале У е†: .( — 1, оо), а Ую, возРастает в интеРвале У ~( — —, со). ОДнако имеюшиеса доказательства ') достаточно сложны, и поскольку зти результаты использоваться не будут, их доказательства мы опускаем. , ') Ватсон (1929, 1 19 320 уРлппвнпя с ПРРкгучяРпымп осовыып точкам!с сгл т УПРЛ)4(!!НП!!Я 7.1. Предполоскям. что козффнииенты з) и СС в формуле (7.0!) не зависят от т.
!'ассматриван производные функций х яь''(х) и х'+с%',(х], иоказатсч что иолосиитольные нугщ ть(х) и 2 ыс(х) чередусотся. 7.2. В обозначениях 1 7.1 попахать, что нули функций ~,',(.г) и Л',, (.г), превосходящие )т с, чсрсдуютгя. Т.З. Используя метод 1 6.2 доказать, что в секторе (ас з( ( яг2 нусщ функций уе(с) и у,(с) действ»тель»и.
7.4. Показзтсч что прп т ~ — 1,'2 вень»поти щское разложение у,, для г() болыинт з даетсн правой частью фор»ульс (6.03) ирп а =. (х —,' —, т — — ) и. 75. !!усть и — нуль пли целое ссогсоссссстельяосг пило. Игпользуя упр, 515, показа ь, что !' (с) имеет бесконечное множество пулей в секторе 0 ( ( агд з ( л, ле кащих ин кривой, и»еесощей луч агд(з — (!(2) С 1и 3) = я в качсч-гве аспмпсоты. 76*. Пусть т фиксировано, т ) — 1,'2 и Ж,(х, с) =- 7,(г) соз(лг) + у,.(с)з(ст(лс), где г--иолоскительный параметр.
Показать. что урзвненшо Я',(х, с) = 0 удовги творяет корень х =- р(с), где р(с) — бесс;онечно дпффсренцируемая функция со следующими свойствами: р(з) = — !.о р(з — 02) = у',. (з--лсобое положпгельноо целое число), р(+О) =0 (»~0), р( — т+0) =-О ( — 1)2(т(0), Показать также, что 2ртр'р" — Зртр" + (4ое —,- 1 — 4тт) р" — 4лзрер'з =. 0 я 11' 1 г— (дЗТ (.г, с) ) )з 2 (Олвер, 1930), дх' х=рсг! РР где штрих обозначает дссс(гфн рснцированио по с.
3 8. Модифицированные функции Бесселя 8.!. В главе 2, 3 10 мы построили решение 1»(з) моднфици рованцого уравнения Бесселя и'ы, 1 ггсс /, тт ! (8.01) Отличительным свойством этого респения авляется подчннессность в регулярной особой точке з = 0 при Вет ) 0 или м = О. Таи как уравнение Бесселя преобрнзуется в (8.01) аамсной з на !л, другим решением является фднкс(ия Макдональда В этом определении правая часть принимает главное значение при агял 0; длн других значений агол ветви К.(з) определя- модпфпцпровлнныв фьнкцпп вжювля 821 готся по непрерывности. Главная ветвь соответствует значен>пгм агдг~( — л, л).
Сформулируем некоторые важные свойства К.(г): ('1) функ>)ия К,(г) действительна при действительных значевиях т и положительных г (более точно, >гри агд г =- 0), (2) функция 1ь',.(г) является. подчиненной на бесконе >ности в секторе /аг8г! = л>>2 — б( л12) для всех значений т. Свойство (г) выводите>г непосредственно из интегрального представления Ко(г) =- ( е ' с)г(т1) с)1 о ~ агд г / < —,, л), (8.03) которос ьппкпо получить пз интеграла Зоммерфельда (4>.18), заменяя г на гг и 1 па 1+ л>72, Для свопства (2) имев о — —.
ем пз (4.03) р( >2> се 1'ис. 83. Мод>>с)>ггцгьиоиепкыо фрикции Бесселя порядков О и !О. (и — оо в (гьгдг! <(Зл/2) — б). (8 04) 1 рафики функций 1,.(:с) и К,(х) при о = 0 н о = 40 изооралгепы на рис. 8.1. 8.2. Формулы для модифицированных функций Бесселя легкгь выводятся пз соответствуго>цпх формул длл пемодифнцнрова~ных функций.
Например, К (г) =. —,л (1 о(г) — 1о(г)),ьбп тл, 1 71 (1 (г), 1,(г)) -- — ' ', уре>К,(г), 1,(г)) = —. (8.05) (8.06) (8.07) В формуле (8.05) прп целом плп равном пу>по о правая част> заменяется ее предельным значением. В (8.06) ветви принимак>т главные значения при — л < ага г < л>2. Вронскиап (8,07) показывает, что функции 1,(г) и К,(г) линейно независимы при всех ъ", для 1,(г) и 1 „(г) зто не так.
Из свойств, сформулированных в 8 8.1, видно, что функции 1,(г) и К,(г) образуют численно удовлетворительнуп> пару во всем секторе !агйг/ < л/2 при условии Вео ) О. 21 ф, опеер 322 твлвнв~пя с птевгуляеныын осоэыыг! точклмп !Гл ? Асимптотическое разложение для 1„(г) получается пз (4.03), (4.04) и из формулы связи 1 (г) = —,в т"и (11з" (ге"!~г) -';Нз~~(гв'"~')). з Пренебрегая экспоненциально малыми вкладами '), мы находим, что ,..1,д ) 1з (г) —, !?,,~~ ( — 1)' (гпгф~-з, (г — +- оо в (атй г( «» я!2 — 6). (8.08)' 8.3. Далее нам понадобятся следующий результат: Теорема (8Л)г).
(1) Если т( -0) фиксировано, то во всвп интервале хе=(0, оо) функи„ия 1,(х) полозхатвльна и возрастает, и К.(х) — полааеитвльна, и убывает. (2) Если х()0) фиксировано, то во всем интервале т ен ~(0, со) фунзг(!гя 1,(х) убывает, а К.(х) возрастает, Часть (1) легко выводится из степеннбго разложения для 1,(х), данного в главе 2, (10.0(), п пз интегрального представле- ния (8.03). Указанное в части (2) свойство 11,.(х) также непос- редственно вытекает из (8.03) . Чтобы проверить оставгпнеся свойства 1,(х), выведем, дифференцируя второе пз выражений (8.07), равенство д?„(х) д1,, (х), дя„(х! д 3!',. (х) нз(х) ' из(х) д = 1з(х) д 1т(х) д . (8.09) Рассмотрим праву?о часть. Степенные ряды для 1,(х) и 1,(х) показывают, что обе этн функции положительны прн полоязнтельных ч и х.
Дифференцируя (8.03), мы находим, что функция дя (х) дгг,, (х) — положительна, а — — отрицательна. Поэтому правая часть формулы (8.09) положительна. д?,( ) Рассмотрим теперь —. прн фиксированных положнтельдт ных значениях ж При х-з-+О имеем 1 д Г(т+1) ( (2 д? (х) Следовательно, 0 для всех достаточно малых х.
Кс!ги де ') См. также 9 13, особенно упр. 13.2. е) Часть (2) теоремы полувере недавно; см. Кохрап (1967), 3. Л. Джоунс (1968) и Рейдппк (1968). Приведенное доказательство принадлежит Кохрапу. ьлодллч ицнвовлнныв ч ~ нкцпн вкссвля за) д1 (х) х непрерывно возрастает, то либо производная — '. остается дх отрицательной, либо мы доститаем некоторого значения х = х„ д1,, (х) в котором — ', обращается в нуль. В последнем случае лет- д1 (х) ко видеть на рпс.
8.1, что функция ' неотрицательна в х.. д .Поотому левая часть равенства (8.09) неположительна прн х = = х„что протллворечллт нашему выводу о анаке правой части. д1„(х) Таким образом, х, пе существует, т. е. ~О прп всех полоьтительных т н х. Доказательство теоремы 8Л закончено. 8А. Свойства нулей (по персмеенной г) функции 1,(г) можно вывестп нз свойств У„(г) (з 6) с помощью поворота плоскости переменной г на прямой угол.
Например, ллрллт ) д~ ) — 1 все нули 1,(г) чисто мнимые и образуют сопряженные пары. Т е о р е м а 8,2 '). При действительном т фунниия Х,(г) не имеет >сулей в секторе ~агу г~ ~ пл2. Равенство (8.05) показывает, что К „(г) =К,(г) (т — ллобое). (8.10) В силу принципа симметрии Шварца К,(г)=К„(г) (т — действительное). Рллс'82 'ззосквстм (8.11) Следовательно, чтобы доказать теорему, достаточно установить, что Х„(г) не имеет нулей в секторе — п12-- агяг = 0 при т ) О. Ъ(ы сделаем зто, применив принцип аргумента (9 6.5) к контуру АВСУЬ1, пзобранленному на рпс, 8.2. На атом рисунке частьАВ— это четверть окружности )г( = т, а С1) — четверть окрунлности )г~ =1„, (в обозначениях 9 6). Затем мы ллоложим г-л-0 и На АВ значение (г( мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
