1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если, например, / = 1 и и = агя(ге<") Зл/2 — 6, (2.16) зч>2 урлннгнпя с и!'Ркгуляр|пнмп ооон||а|1! точилин |гл 7 2.2. Показать, что уравнение »" + (з-'сез с)»: = О ннеет аснчптетнческее рос»ение » '(з+ З» -'-,'- ...) соз( — ) -,'— ~ — —, -'-,'— !|Ч» ' ,'- ...) зсп —. нрн = О н сю;т»ре >а! с) ( я — б[( н). з 3. Уравнения, содержащие параметр 3.1. Предпосипкпм, что ко:>ффнцпенты дифференциального уравнения зависят от комплексного параметра сс: Ве» с!» —.,— -',- ! (и, ) — -',— у(и, г) и'.—: О. ссэ > Р.01) т1нсто бывает важно зпат>ч являются лп решения, определянмь>е теоремой 2.1, голоморфпымн функциями и. Теоремн 3.2 главы 5 ответа па;пот вопрос ие дает, посколысу пе задано пя одной обычной точки со свойстнн|ш, сформулированными в условия (1У) этой теоремы.
Теорема 3.1. Пусть и изменяется в фиксированной коми.сексний области с>, а изменяется в фиксированной об,>эсти, Л; ) г ! ) а, Доиуггссэс, что для л>обоза и функции, !'(сс, г) и д(сс, г) удовлетворяют условияз! теоремы 2.1 и следу>о>цим условиям. 1. Коэффициенты сд >с уе )>яда (2.0! ) ив зависят от и. Осталные коэффшрсенты 1, =- ).(и) и у, = — у,(и) — голоморфные функции и. 11. Если и изменяется в любой коли>ак>чсосс области 1),с 1), то >>>,(и) ) ~ (Е,"' и )ьз(и) ) ~«6,", еде Е.'."' и 6," не,завися> от и , |с! — 3 ~1 |с! и рядн!,.ну, г и л 6,' г '' абсозногио сходягсч в А. 1П.
Коэффициенты ае, и ае — голоморфиые функции и. Тогда в любой точке области А л>абая ветвь решений и>|(г), и>г(г) и их двух первых частных ирои,>водных ио г явл>сете>с функциейэ голоморфной >со и. Применение признака равномерной сходимостн показывает,что функции 1(и, г) и у(и, г) непрерывны по двум переменным и голоморфны по и при финсяронаниом г. Чтооы доказать зту теорему, мы проследим все этапы доказательства теоремы 2.1, имея н виду, что любая встречающаяся величина, за исключением ).! и ).г, может зависеть от и (ср. (1.09) ). Иа сформулированных условий и определений 2 1.2 немедленно следует, что любая из величин ссс, рэ, а, ! и а.
г голоморфна по и, Отсюда вытекает, что обрезанный ряд (2.05) непрерывен по и, г и голоморфеп по и. То же самое верно и относительно его частных производных с.„(г) и с.„(г), а следовательно, и длн Фъпкцпп Гл!зквля: яглкнпк стокса 303 Л„(х), Далее, если и ~ 1)„то величина В„в (С08) не зависит от я. Единствонными величинами в оценке (2.13), которые зависят от и. являются й/, р п ть В силу определений М и р можно заменить их оценками сверху, которые не зависят от и в Л поскольку вели~яка !т~! ограничена, легко видеть, что ряд (2.11) н его формальная производная по х сходятся в П, равномерно для всех и ~ Х„., где Й, — подходящая постояннан. !)рпмененпе теоремы 1.1 главы 2 к (2.12) прп г = 0 показывает, что функция /ц(з) голоморфна по и.
Вроне того, из равномерш~и сходимости следует, что /м(г) непрерывна по и и з. Лпзлогично рассуждая, мы получаем тот же результат для производной выражения (2.12) и, далее (по интукцап), для Ь,(з) и Ь,(з),а .=1,2,... Таким образом, мы доказали, что если и ~ В„з лежит в пересечении В и сектора (агд(ге'") ! ( я и л ~ Х„то: а) ка;клый член ряда (2.11) и его производная по з голоморфпы по и, й) этот ряд и ряд, полученный пз него формальным дифференцированием по х, сходится равномерно по и. Следовательно, фупкппи е„(з), е, (з), ай(з) и ю~(з) голоморфны по и в области $>, Л так как и~~(з) яе зависит от и (т 23), то и~(з) п ю,(г) голоморфпгз во всей области П. Голоморфность и:,(з) вытекает непосредственно пз уравнения (3.01).
Поскольку число Ь может быть выорано произвольно б:пюкпм к и, то теорема 3.1 доказана для и~(з) прп з~ А н ~агд((йз— — ).;);) ~ = л, Для других ветвей результат следует нз теоремы 3.2 главы 5, если в качестве га взять любую конечную точку пз пересечении области А и сектора ~агд((Хз — )о)) ~ ~ ~и. Лнало гпчпые рассуждения справедливы и для второго решения. До казательство закончено. 3.2. Условие независимости /а и //з от и является несущественным, однако без него рассуждения зяачительно усложняются, поскольку ы- и х-области справедливости асимптотпческого раз лежания (2.04) зависят от и, Во всех приложениях, встречающихся в этой книге.
/е и ла от и пе зависят. 4 4. Функции Гаккеля; явление Стокса 4И. Мы прнменпм пзложеняую вьппе теорию к уравпеншо Бесселя (глава 2, 4 9.2) Рм 1 йп / (4.01) Пооядок ъ может быть действительным или комплексным. В обозначениях тх 1, 2 имеем /~ = 1, до = 1, лз = — т', все остальные коэффициенты равны нулю. Из уравнений (1.09) и зо! хелвпвппя с пггвгхлягиыхп( осовыь(п точклхш (гл (!.10)' мы находим, что а! = ), 62 = — ), р! —— р2 = — 1(2.
Прп па ! = пах = 1 рекуррептные соотношення (1Л1) приводят к формулам а. ! = !'А,(т) и а, 2 = ( — !)'А,(т), где (4! 2 — (') (422 — ()2) ... (422 — (22 — 0') ) Умнея(ая решения, определенные теоремами 2.1 п 2.2, на поРмпРУ)ошие множители ( — „) ехР)~ ( —., )) -'г — /л((, мы впДвм, что уравнение (4.01) имеет единственные решения Н(,') (2), ЕЕ',~ (2), такие, что П, (2) ( — )1 е' г Р в О е. ( — я+ 6» агд2(2л — 6), '' =о ( — 2я -,'- 6 н, а г 2 ( и — 6) (4.03) (1.04) прп 2 — «оо, где 6 — сколь угодно малая положительная постоян- ная, ( (" =-2 — —,УЛ вЂ” — Л 2 3 (4.05) и ветвь функцш! определяется условием !)2 ( 2 =-ехр ! —,!и) 2(+ —,(агд2). !.
') 2 2 (4.0(» Этп решения называются функ((иял(и Гаккеля порядка ъ, а форму- лы (4.03) п (4.04) иногда называют разлолгеяиями Гаккели. Обе функции ЕТ, (2) и П„(2) аналптпчны по 2, пх едпнствекпымп (1) (2) возможныип особымп точкамп нвлнются особенности, определяе- мые дифференциальным уравнением, а именно 0 и сю. Хотя раз- ложения Гаккеля справедливы только в определенных секторах, сами рошоппя могут быть аналитически продолжены оа любое значение аги (глава 5, х 3.1). Е;гавпые ветви соответству!от не- равенству — и ( агдх ( и, 11ри 2-1-оо в секторе 6 ( агах ( л — 6 функция Н, (2) яв(!) (2) ляется подчиненной, а Н, (2) — дох!иннруюгцеи; в секторе — и+ 6 - агдх ( — 6 они меняются ролями. В соответствии с этим функции Гаккеля являются линейно независимыми реше- ниями и образуют численно удовлетворительную пару при боль- ших 2 в секторе )агдх! ( и (но не всюду).
305 Функц!п! Глнквля; явлпнпв сто1'сх Далее, для фиксированного отличного от нули г любая ветвь Е!',1'(г), ЕЕ( ) (г), Н(()'(г) п Н~~)'(г) представляет собой ((е(ую функ- 1!ию и. Это непосредственно следует из теоремы 3.1. Наконец„фулкуии Нь (г) и Н-„(г) ко,иплексно сопрялсены; (1) (2) это вытекает пз того, что Н-„(г) удовлетворяет (4.01) и тем же (2) / самым граничным условиям, которые наложены на Нт (г), ',)то (1) свойство позволяет из формул для одной из функппй Гаккеля получать соответствующие формулы для другой функции. 4.2. Поскольку Н',.')(г), Н(,'(г) п Уя(г) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнени(о, существует форму- .(а, св)шыва)ощая эти функции: Ут(г) == АЕЕ(,') (г) -';- В!!~1,) (2).
Л гт(аве 4, 4 9 методом Лапласа было показано, что Ут(г) — ~:! Соз ~ ° ( — 1) ',,„— з1п ",тв ( — 1)' в=О са (4.07) пря г — )-оо в секторе !агах! <л — 6(<л), где ь и А,(в) определены в 5 4Л. Выделяя главные члены в (4.03), (4.04) и (4.07) и полагая г — ~-осе'"'2, мы находим, что В = 1/2. Аналою(чно, по.шгая г — э-осе '"'-", получаем А = 1,'2. Таким образом, Е,(г) =-.. —,,' (ЕЕ,")(г) + ЕЕ(2'(г)) (4.08) Лля всех г, отличных от пуля. Поскольку уравнение (4.01) но меняется при изменении знака т, то в качестве другой пары решений этого уравнения можно взять Н'",(г) и Н':,(г). 1(ак н Н',."(г),функция Н'"т(г)является подчиненной на бесконечности в секторе 6 < агя 2 < я — 6; следовательно, отношение Н я(г),'ЕЕ, (г) пе должно зависеть от г. (1) , (1) Значение этого отношения можно найти, если заменить т на — т .в формулах (4.03) и (4.05); тогда ЕЕ")„ (г) =- етя(ЕЕ(")(г). (4.09) Лналогично, ЕЕ(:)т(г) =-.
е т"'Н( ) (г). (4.10) Из (4.08) — (4.10) мы получаем ,Е „(г) — — —,(е™Н, (г) + е ' П„'- (г)). (4.11) хилгпсппи с пиекгиляинымп осоиымп точкьмн пл т Искл1очан функция П'„'( ) и ХХ'„п(х) из (4.08) и (4.11), иа- ХОДИМ ХХ~п ( еиич ил ('.12) . 1и тл 1(огда и — целое число плп нуль, ка клут пз этих дробей можно заменить ее предельным значением, так как функцпп Гаьпюлн непрерывны по ю Формулы для аналитических продолжений Н (зе™и') и и) сп П',.
(Хеи"'), где т,— произвольное целое число, получаются из (4.08), (4.11), (4.12) п тождества (глаиа 2, 4 9.3) У „(зе "и') = е- '"г ' У ., (з). Иксом Н~п(хеа"") == — [з(п ((т — 1) тл) ХХ~'~(з) -(- +е ' еп1 (ттл) ХХ',. (Х)1,'игпи тл, ХХ",- (зе'аи') =- [еьи е(п (гнил) П'„," (з) —,— + е)и ((т + 1) ил) Н (г)1,:е1п ил. (1. 13] (4.1 4) а г.-.=с г (и+6(агам(3п — 6) . (4 10) Отметим, что разложения (4.03) п (4.16) функции Н1п(з) отличаются друг от друга в области я + 6 ( агя г ( 2я — 6, где !/2 1 ') Ветвь функции аь Оиредеаиетси ус:ювиеи ага апз = ага=. 3 Если и — целое число плн нуль, то снова нужно рассмотреть ггргдельное значение.
~)тн формулы ггодтверждают, что точка = 0 является точкой ветиленпя функций Ганкеля:побого порядка т. 4.3. Формулы (4.13) и (гь14) дают возможность построи з ь аснмптотическне разложения функций Ганкеля прп любом значения аргумента. Бзни, например, т = 2 в (4.13), мы получаеи ХХ',)~ (вези') — - — ХХ~'~(х) — (1 + е ' ') ХХ~. ~ (х). (1.15) Когда )агйз! ( и — 6, мы можем подставить в правую часть этого равенства разлогггеиия (4.03) н (4.04).
Заменяя затем з на ге-'"', приходим к формуле '): Зьт чсунньгььи Глен'яля; пнг!Вник сгоес:х — е" ' ' с!! и — — ( е""' "сй. яс лс (4.17) С помощью дифференцирования под знаком интеграла непосредственно проверяется, что каждый из;ьтььх интегралов удовлетворяет уравнениьо (4.01). Рассматривая их разложения прн больших з (глава 4, (9.07) ), мы убеждаемся, что когда )агд 2) ( (л/2, неРвое из внсРажений (4.17) Равно Н',."(2)с а втоРое Равно 77~,"'(2). Соответствуьопььье представления для ярус.пх областей изменения аргумента льожно построить с покиппыо повторной деформации контура интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
