1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Из (8.06) и из комплексной формы соотношения (7.03) получаем К (г) л Г(т)(г12) ~ (т~ 0); К (г) — 1п г. (8.12) Следовательно, прн малых т иаменение аргумента К„(г) имеет вид Л агд(К,(г)) = —.тп+ о(1) (т)0). 1 лв ') Маллдовальд ((899). 2(х 324 УРХВПКНПЯ С ИРРГсГУЛЯРНЫЪП1 ОСОБЫЬ|П ТОЧКЯМП 1ГЛ. т На ВС положим я=!е ""', где ! — положительная переменная, Из (5,03) и (8.02) имеем К~(1е ' ") = —, лсе (У,(!) +!У (!)). На С)7 значения !г) велики; из (8.01!)' мы получаем Л аг8(Кт(г))=- — —, л — )т, + о(1). св Г с 8З. 7,.(1) +1у„(1).
Наконец, на 7)А пет изменения аргумента, так как функция гг,,( ) действительна и положительна. Объединяя все вклады, мы приходим к формуле Л агК(К,(з)) = — зл+ зл — —,л — )ю, -(- о(1). (8.13) 1, ! засол Здесь снова, поскольку з велико. значение ), . мои!но заменить на (з+ — т — — !л с ошибкой о(1) (ср. з 6.5).
Тогда при г-ь-0 1 ' 1з 2 4~" н з -~- сю правая часть (8.13) обращается в пуль, и теорема доказано. Дальнейшая информация о нулях К,(з) имеется ниже в упр. 8.7. УПРЛЖПРКП!!Я 83. Показать, что функция е"'К,(с) удовлетворяет тем же рокурронтиым соотношениям, которым удовлетворяет 7,(в), и что 1 Г (с) К (т)+Гт-Ь1(с)К ( ) = 8.2. Показать, что пря любом целом т К,(се "1) = е-™К,(в) — л1вга0ятл)созос(тя)7,(в). При ! = г функция У,(!) отрицательна и велика по абсолютной величине (ср. (7.03) ), а 7,(Е) ограничена и положительна. Вспоминая свойства 7,(г) нУ,(!),установленныо в предыдущих параграфах, особенно в 2 7, мы видим, что график /,(!)+1У,(!) От У =Г до Е=), т имеет впд. изображенный на рис. 8.3, а его иродолжспве от ! = 1, т до ! = )ь, обходит начало яоордпнат (з!2) — 1 раз в положительном направлении.
Поэтому длн малых и Л агй(Кт(г)) == зл+ о(1). вс выРОждеппое ГппеРГеомГТРическое уРАВнении 325 8.3. Вынести Гю (5.07) и (8,00), что если га — неотрицательное целое чис- 1 !О ло, то а — ! б.,) 1((з) в У (.— в — 1)! ( 1,)', ( !).4!1„(~1,)У (т) . =-э -1- ( — !) —,, ( —., з) ~ (ф (в -,'- 1) —,' !)! (а —,'- в —; 1)) , —.:з ЗД. Вывссгп гы интеграла Г,и!кс!!н (4.20) представление бл !!) == ' ) р — гг(гл -- 1)т (!гз!г)! (Ке л > — 1гг2,(згб=) ( л!2). 1( +1(2)3 ' ! Г (л' р 1,'2) (2!) (' соз (УП и! Г и о гле Вот ) — 112. х > О, )агд з( ( иг2, а ветвь функции (!!+ в!)ыыг! непрерывна и при ! — р+ аа асииптотически ирпблииюется и главноиу значению фтнкцпи !"+'.
8.6. используя упр. 8.4 и интегральное представление бета-функции, доказ !ть, что ~!н !д" 0)в1=2н з!'( . ~Г(', ) (Гсе!1>(Кем(). е 87. Пусть т >О. Доказать, что если чясло т — 112 ке является нечетным пелыи, то общее число нулей фуищош лг(,.(з) в секторе (а!8 т( ( н равно четному цело!!у числу, ближайшему к т — 1/2. Длн этого использовать формулу К, (!е" г) = в — "'(К,(!) — гтгв'"гу,. (!) ), кагору!о можно получить из упр. 82, и применить принцип аргуиента и замкнутому контуру, состоящему из: 1) ллт окружноотеа з = Яв'" и з = гв" ( — я л 0 ( я), где  — велико, а г — мало; 2) отрезков прямых агд =- лая, г я, (з) л- Н (Ватсон, 1949].
9 9. Выролкдеиное гипергеометричекое уравнение 9.1. Уравнение Бесселя можно рассматривать как преобразованную форму частного случая вырожденного еипергеоллетрического уравнения 6(9+ с — 4)и: = г(6+а)игл (9.04) г( в котором а и с — параметры и, как и раньше, 9 = г у. В свою 8.5.,[сфорлщруя контур пятегрпровааии в интервала Ганкеля (420) для П~~~ (г е" г!), получить интеграл Вассрга 326 тглвниния с иггвгулягными осовыып точилин 1гл. т очередь уравнение (9.01) является частным случаем при р = = д = 1 обобщенного гипергсометрического уравнения (11.02) иэ главы 5. Уравнение (9.01) молзно аашзсать в виде Лэм лм з — + (с — з) — — аю = — О. лез Ыэ (9.02) Это уравнение имеет регулярную особую точку в начале координат с показателями 0 и 1 — с и иррегулярную особую точку ранга 1 на бесконечности.
Название вььрождеппая возникло следующим образом. Гипергеометрическая функция Р(а, Ь; с; — ) удовлетворяет уравпенньо э 1~Ри~ ! а+'1 ЬсМ з(1 — — "] — + (с — з — — ' з~ — — аю = О. Ь ) дгэ Ь /Ит М(а, с, з) = л — * — (с~О, — 1, — 2,...). (9.03) (с)з Этот ряд сходится при всех конечных з и определяет функцию, изьестную под названием фупппии Куммера.
Как и в случае гипергеометрического уравнения, ограничения будут более слабыми, если в формулах использовать решении вида 1 чт 1а1„ю' М(и,с, ) г М(а с' з) ~ . + )му (9.04) з=з Мажорируя этот ряд, легко показать, что при фиксированном з фупщия М(а, с, з) является целой яо а и по с; сравните $ 9,2 главы5. В то же время М(а, с, з) является в общем случае мероморфной функцией переменной с с полюсами в точках О, — 1, — 2, Оно имеет особые точки в О, Ь и со и сводится к (9.02) прп Ь-+. ос. Таким образом, происходит вырождение двух регулярных особых точек, порождающее иррегулярную особую точку.
Многие свойства решений уравнения (9.02) легко выводятся с помогпыо этого предельного перехода; см. упр. 9.2 и 9.4. 9.2. Если использовать обозначение э 11 1 главы 5, решение в виде ряда уравнения (9.02), соответствующее показателю 0 в точно з = О, равно ~Р~(а; с; з). Как функцию эР~(а, Ь; с; з) обычно обозначают через Г(а, Ь; с; з), так и длн ~Р~(а; с; з) часто вводят более простые обозначения М(а, с, з) илп Ф (а, с; з). Используя символ Похгаммера, имеем Ьо) Выгождкпиое Гппеггкоыетрпчкское Уравнении 327 Для второго показатели в з = 0 соответствующее решение имеет вид гт'(а, с, х) = х' 'М(1+а — с, 2 — с, х) '(с чь 2, 3, 4,,). (9.05) Мы можем такнсе положить 5)(а, с, г) = — ',' ' =- х 'М(1+а — с, 2 — с, х).
ГУ(а, с, т) .~ — с Г (2 — с) (9.06) 1 а1( ) () а — 1(1 1)с — а — 1 ыа1 Г (а) Г (с — а) (Нес ) Вен ) О), '(9.07)' причем дробные степени имеют главные значения. Методом Похгаммера этот интеграл можно преобразовать в контурный интеграл, в котором с помощью аналитического продолжения устраняются все ограничения, наложенные на параметры; см. упр. 9.4.
упражненил 9Л. Показать, что ( ) — сс Г(»+ 1) ))1 '(т+ 2, 2т+ 1, 2сс), Я-' ~и(с) = Г(т 1 0 М(т+ 2, 2т, 1, 2~). 9.2. Доказать, что нрн фньсврованных а, с н х гяноргоонетрнчсскнй ряд дяя Р (а, Ь; с; — сходится равномерно относительно Ь ю [2)с), са). Вывести ь) отсюда, что М (а, с, х) = Нсп Р а, Ь; с; — , Формула (1.10) из главы 5 показывает, что вронскиан функций М(а, с, х) и Х(а, с, х) равен постоянной, умноженной на е'з '. Рассмотрение предельных форм этих решений и нх производных в точке х = 0 дает У1" (М(а, с, з), Х(а, с, х)) =л ' Мп (лс)е*х '. Такпкл образом, М(а, с, з) п )т'(а, с, х) линейно независимы, исключая случаи, когда с — целое число или нуль.
9.3. Интегральное представление для М(а, с, з) можно найти методом, использованным в 2 9.4 главы 5 для Р(а, Ь; с; з); мы получим 328 УРЛВПВШ1Я С ПРРКГУЛЯРНЬМ!П ОСОИ11ЫП Тсе1ЕЛМП !ГЛ. 7 и далее из уир. 9А к глазе 5, что (с — г)М(а — 1, с, г) + (2а — с+ г) М (и, с, г) — аМ (а+ 1, с, г) =. О, М(а, с — 1, г) + (1 — с — г)М(а, с, г)+(с — а)гМ(а, с+ 1, г) = О.
9.3. Преобразуя дифференциальное уразасние, получпть старее ') иреибриисе!ение Нулинера ! 1 1 .11(а, 2а, 2г) = е'еи! (а -,'- —.; 4 гг (2а ~ О, — 1, — ", . 2'4 ) 9.4. Пз упр. 9,2, а ташке из уир. 9.5 к главе 5 зызсстп, что М(а, с, г)= [! гп Оиь ! —, Π— ) Г (! — и) Г (1 -'- а — с) си ! (1 — !)*-а-' ег У1, лл.г г ее т ! где а — любая точка из инторзала (О, 1). з астап !' ' и (! — 1)"' ' ' пснре- рынны на контуре пнтегрнронания и прони ~слит н начальной толке глнннын зна !ения. й~ 10.
Асимптотические решения вырожденного гипергеометрпческого уравнения 10.1. Теория, излогкепная в 3 2. непосредственно прлме1шма и к иррегулярной особой точке уравнения (9.02). Используя теоремы 2.1 и 2.2, мы находим, что существуют единствонные решеПкя Ь1(а, С, г) И )л(а, С, г) СО СВОйетааМП , (а),(1 + а — с), ЬУ(а, с, г) — г и~~~~ ( — 1)' е=-О (г — ь со в !!ага г)(Зл,'2 — 6) (10.01) и мм (е — и),(1 — а), У (а, с, г) е- ( — г)" е=. О (10.02) (г — в ! агд( — г) ! ~ и!2 — 6), ') Первое преобразозанпе Куммера будет введено з 1 10.2. ') Используя обазиаченно оообщенной тииергеометраческой функции, мы можем фирианьни записать правую часть соотношения (10.01) как г 'гус(а, 1 + а — с; — г '). Аналогично для У(а, с, г), Другим обозначением, используемым для (1(а, с, г), нзляется Ч'(а, с; г).
где 6 — произвольная малая полон!птельпая постояннзл'). Т1рп г-ь со в правой полуплоскостп функция ог(а, с. г) является подчиненной, а (л(и, с, г) — домипирутощей; в леной полуплоскостп опи меняются ролямн. Таким образом, отп два решения линейно независимы при всех значениях параметров. 329 лспмптотпческкк Решкппя $10] Функции П(а, с, х) и У(а, с, з) связаны следующим образом. Производя в фюрмуле (10.01) преобразование переменных„врезультате которого правая часть (10.01) будет совпадать с правой частью (10.02), мы находим, что функция е*7У(с — а, с, --х) удовлетворяет уравнению (9.02).
Это решение является тзодчинепным при з-+- со и поэтому равно постоянной, умнозкенной на !2(а, с, з). Сравнение главных членов показывает, что эта тюстояпная равна единице; таким образом, Р(а, с, з) = е'(Г(с — а, с, — с). (10.03) Питегральпое представление для П(а, с, х), аналогичное (9.07) имеет впд П(а, с, х) =- — ( с' '(1+Ю)' ' 'е "с(с ГОО .3 ( агй = ( ( —,, л, Ре а ) 0). (10,04) Эту формулу можно проверить, показав, что пптетрзл удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравненшо, н затем сравнивая аспьштотпческучо форму, которую можно получить из леммы Ватсона, с (10.01).
10.2. Преобразование, прнводящее к (10.03). показывает также, что функция е'М(с — а, с, — х) удовлетворяет уравнению (9,02). Прн Вес > 1 илп с = ! зто решение является подчиненным в точке х = О, п так как оно принимает значение 1/Г(с) в отой точке, ъпя получаем М(а, с, г) = — е'1!(с — а, с, — з). (!О.о;) 10.3. Е!айдех1 коэффициенты А и В в формуле связи М(а, с, г) = АУ(а, с, г)+ВР(а, с, з). Поскольку б" (а, с, «) и У(а, с, з) — многозначные функции г, Аналитическое продолжение снимает все ограничения па параметры в этом результате, который известен под названием преобразования Крювера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
