1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Для второй функции Ганкеля соответствующий результат имеет вид ГА — 1 Н,. "(з) —.— ~=) е "(,г„( — 1)' —, + 11жз(з), (13.04) ~г=э г~ где )11, з(з)!(~2)А„(т)) у,, г (1 ')ехр~)тз — —,~Х ь;„(1 ')~. (13.05) Оценки (13.03) применимы к У"*,-г. (1 ") в сопряженных секторах. Оценки остаточного члена для соответствующих разложений Х,(з) и У,(з) легко выводятся из (13.02), (13.03) и (13.05) на основании формул связи (4.08) и (5.01).
13.2. Удовлетворительные асимптотические представчения для Н~~~(з) и Н~~ (з) около границ областей справедливости разложений (4.03) н (4.04) можно построить с помощьго формут продолжения (4.13) и (4.14) методом з 4.3. Полагая в (4.13) У , 1„(1 ").= 'у (гг) (з ( 2у (гг) )1т з ( (О < агя з < я), (- — '-- з — — л< «гя г < 0 плп я < агй з< —, я) ) 1 3 — л < агя г < — —, я плп — 'я--.агд з<2л) ~ (13.03) з (з) оцени)! для Рлзло)пеппи глнкеля и) = 1 и 2, мы получаем ЕЕ(," (гез' ) =- — Н(,"(з) + 2 сов(чп) Н(,') (зеп'). Если агре е-:( — я, и), то г и ге" лежат внутри области справедливости разложении (13.01) и (13.03).
Подставляя в эту формулу разложония для Н, (в) и ЕЕ, (реп ) н заменяя затем г на (!) „(!)( п(Ъ зе ы!, мы получаем разложение (ь — ! =о г' (ь — ! ».=о справедливое при и < агйг -. Зп. Это выражение является полной формой формулы (4.16). При и < агя з < 2п име(отся два различных представления (13.01) и (13.06) для ЕЕ~,'~(г); мы отмечали в $ 4.3, что они эквивалентны в смысле Пуанкаре. В секторе Зс(/2<агяз<2я оценки (13.02) для остатка в (13,06) зависят от псовых двух строк в (13.03); соответствующая оценка для (13.01) зависит от последней строки и поэтому она больше. Аналогичным образом оценка остаточного члена для (13.01) меньше, чем объединенная оценка для (13.06) при и < агя з < Зп/2. Мы можем установить этот результат следующим образом.
Пусть (з( имеет заданное большое значение, а и фиксировано. Когда агй г непрерывно возрастает от л/2, правая часть разложения (13.01) без учета остаточного члена дает хорошее приближение для Н, (з) вплоть до агре = Зл/2, включая и это значение. (!) Птобы добиться сравнительной численной точности в случае Зп/2 < агу з <2п, необходимо добавить к этому приближению второй ряд, стоящий справа в (13.06), хотя е этой области функ(/ия е *' экспопеп(/иплъно лала по сравнению с е'" и ею люлспо пренебречь е смысле Пуанкаре, Когда значение агя з=2п пройдено, функция е ' становится больше по сравнению с е", что заставляет ряды в (13.06) поменяться ролями; учет второго ряда обязателен, а первый нельзя отбросить без некоторой потери точности. За значением агдс = йп/2 оценка остатка для ))„)(зе '"') в (13.06) становится болыной, и чтобы сохранить точность, необходимо использовать новое кратное первого ряда (получаемое из (4.13) при т= 3).
И так далее. Таким образом можно вычис! лить Нтдля всех значений агдз посредством одного или двух прп менений формулы (13.01), где агп з изменяется в численно допустимой области 1 — и/2, Зя/21. Аналогично для Н„з (з). (з) 9 131 ОНкннп дяя глз:1О)1'кння Глн1гкяя УПРАЖНКНИЯ 13.1. При позонгитезьнои х положив ь = х — ти — и п П' '1(х) 1 1 и ! 2~нз — — е" ', Р (лб х) + 1() (л, х) ), так что ( 2 'лл/з ,7„(х) =- ~ — ) л Р (т, х) соз ~ — 4)(г, х) злп ~), ях 2 П!х У (г) — —" ~ (Р (и, х) з(и л+ «1 (и, х) соз л).
Пока,«ать, что ес;ш т — —, и асимптоти испив разложения 1 ~-. г Л«„,, (т) Р(лбх)-) ( — 1)' -", 1)(г, )- Р,(-1)' -'. ' (х- ,,'2« хе'+1 « — —.е ,«.=о оборвзпь« на и-х членах, то соотзегствушщий остаточный член огранлгчен по збсо:потной ве:пшиие 1«ервь«л«отброшенным членом при условии, что 1 1 1 1 гг)» —,, т — 4 для Р(л, х) пзи и» 2 л — 4 ггля ()(т, х) '). 132.
Показать, жо дзя иодпфицироваииых функций Бесселя справедливы форт«узы (и — ! Ги — 1 ( .:) - 1 ~ '" ")' где вели шна )7„( ограипчеиа вырагиенияии Неярка (лт — — )з ~~~ Ли (г) г и$ () агдз) .- — и), 22 (««) ехр( и~~та — )с 1 ~~~ Л (и) (-'' и < ) агй з ( ( и), 4;[ (и) ехр (и ~ (гз — — ) (Не г) 1 ~~ ~ Л„(г) (Ве з) (- я < ) агй г ) ч„и), 3 2 ') Более сложными рассуждениями можно показать в каждом слу чае, что знак остатка совпадает со зиаггом первого отброшенного члена, если л» 0 (Ватсон, 1949, 9 7.32). уРАВнения с иРРеГуляРными осовьпн1 то1клми 1Г11 т а )б„( удовлетворяет тем же оценкам, но соответственно в секторах 3 1 — и < агя г < — †.
и, — †., и < ага г < О, 0 < аги г < †, л (Олвер. 1!!01). 13ть Определим т как в предыдущея упражнении. С помощью упр Л 1 показать, что если т лебствгпельно, = )О и и ) )ч( — 112, то 1„= од,. (т) = гл. О С О С 1. ' 134. Доказать, что в обозначениях формулы (1301) 1 — — т Г ЧН1(г)=- ..
) (1-ес' ')(1( 1),1(1))1 -4 2г Затгм с помощью теореитл 10.2 главьг б показапь что )г)ь ~(г) ) с сгр()тг — 114)У"„,„(1-']) — 1 и, следовательно, ггл и— /<0(г/ /2'"ег-' л, ' / ~1 ° — $г,,„ь-'Л. где вариация У „, (1 ') ограничена по формуле (1303), в котороп гул,по положить и = 1 и Х(1) = я12. $14 ". Неоднородные уравнения 14.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение 1П" + ) (г) юг + я(г) РЛ = г" Ег р (г), () (.01)" е котором сг и р — действительные или комплексные постояппьц, а /(г), д(г) и р(г) — аналитические функции комплексной и пс- моиной г, имеющие сходящиеся разложения гл ) (г) = ~~ — ', е(г) =..
~~ — ', 8 — е ;-=-о ' В области А: ) г) ) а '), Общее решенно уравнетшя (14.01) имеет вид (г) = А1Р1(г)+ Вгвг( )+ И' (г) ° где Л и  — произвольные постоянные, и1(г) и гвг(г) — нглокнгпмые решения соответствующего однородного днффсренцплльпого уравнения, И'(г) — частное репгение (14.01). Аспмптоти некие разложения для и1(г) и 1ог(г) были выведены ранее в зтол глаге; в етом параграфе мы рассмотрим построение аспмптотического приближения для И'(г). ') В действительности рассуждеяпя легко обобгдаготся на случая, когда ряды (14.02) просто ащпгптотнческие пря г — ь оо в заданном секторе.
317 г!и нволиоголнык уэлен!сипя В «!|ежи!, что подстановка са = еэ*п преобразует (!4.01) в и +(1(г)+ 2рсса'+(д(г)+ (11(г)+ Яп = г р(г). Ото ур, щппш! того жс вида, сзо и (14.01)«однако бсз экспоиепцваль»ого множителя и свооодпом члене. Поэтому без потери обпсш ": » мы можс и о! рапичиться изучением уравнения ж" + /(г) ю'+ й(г) са = — г'р(г), (14.00) в кпсс ро.! 1(г), д(г) и р(г) »мнет раэсожеппя (14 02)'. р и' ппс уравнения (14«йсд) н впдс формалыгого ряда можно и!с!! ', !содстаэляс! (11.01) и пса!;,!впивая коэффпписпты. Это даст д„сс« ~ ("; л/, с(с.— э+Иа„,.+ — '(а — з -,'- 2)(сх — г + 1) а, г == р, (! 4!.05) прп з =- О, 1, ...
В прслположеппи, что аэ чь О,— а для простоты лсс! вс.щ;ж будем пришивать это допущеиие,— уравнение (14.05) можно рнпитсч последовательно определяя а., В частности, -- ! а„= дэ р, а! = "о р! — ьэ Ра(к! т п7а). при и = О. 1, ..., так что каждая из функций Г„(г), 6„(г) и Р„(г) ограничена в замкнутой области В: )г!) б дчя левого б, превосходящего а. Введем обозначение Е„(г) = г" =э ' (14.06) 1'«.2. С.! русстурс! рскуррептпого соотношения (14.05) показьтвагт, что в общем глучж! ряд (14.04) расходится при всех ксан чпых э«гачгкиях .
(ср. 4 2.1), Чтобы исследовать возиожвую асям»готическую природу этого разложепия, мы построим ока»а!с!с ли!К«ерепцссалысое уравнение для и-й частичной суммы. Следуя з 12.1, поло7ким «=0 г «--.0 р(г) = д —,' + «.=-О Зга уРлвненпя с нРРеГуляРньп1п Осевыми то !клык !Гл. т и пусть п ) 1. Тогда, следуя 4 12.2, мы найдем, что 1,„(г) + )(г) Х„(г) + д(г) 1.„(г) — г р(г) = г В„(г), где Леее й ( ) Л„(г) ==- — — „!с и Яее.! ! (г) =- (а — п)(с! — и + 1) а» ! — Рчеь! (г) + ч. ~ С „((„г))..
(г)+С „, (г)) :.а Отсюда ((1.0!) ~еч !' где величина г„е! определена равенством г„е! — ег ' зпр ~ Й„.Ь! (г) ~ на в и конечна. 11редположим теперь, что функция И' 1(г) = ь„(г)+ е„(г) (1е!.()8) являетсн решением уравнении (14.03). Тогда остаточный член удовлетворяет неоднородному ураза!пшо е„(г) + ! (г) е,',(г) ->- д(г) е, (г) == — г"В„(г). (14.09) Методом вариации постоянных получаем е„(г) == иг(г) 1~!!(г) — !Р,(г) 1',,'(г), (! 4!.10) где ие!(г) и нег(г) — решении, определенные теоремой 2.1, — е! е з! (!) ! Л, (!) 1Р(г) = у 1, ' а (1.—..
1, 2) (1е 11) Л!" (!) = ие! (!) пе (!) — пе! (е) ш! (е). 11аправленяе В! верхнего предела в (14.11) находится в нашем распоряжении при условии, что интеграл сходится. 14.3. Ио предположению, )а Ф 44'„и до 'Ф О. Следовательно, характеристические значения л! и ),г, определенные в 4 1.2, не равны между собой и отличны от нуля. Используя тождество Абеля (глава 5, (1.10) ) и рассматривая главный член в разложе- Зйе нводнородныв Уравнения 5 ьн нии (2.04) и в разложении, полученном из (2.04) дифференциро- ванием, мы видим, что для уг" (Г) существует сходящееся разло- жение вида рх, о.,н р ьр. ~~ х -0 гдо ыр — — 1. Поэтому ()1!> ).
е ыг 'Ф* 01 Хх — ах (14.12) прп Г-р со в секторе Ьп !агд((яз — Х1)з) ! ((Зл/2) — 6, где 6— произвольная ахалая положительная постоянная (ср. теорему 2.2). Выбирая Ох —— аг1хйх и налаган условие — (Зл/2)+ агя(Хз — Х~)+ 6 =' аглХз ((Зл/2)+ агя(лг — )1) — 6 (14.13)' мы видим, что точка осе '"' лежит в 81 п интеграл 1„' (з) сходится. Из (1хь07) и (!4.12) мы выводим, что (1еЯ П В), где К| — некоторая постоянная. Пусть топерь В(6) — бесконечное кольцо )з() Ьсозесб; обозначим через Т сектор — (Зл/2) + 6 — пип (агд йн агй(Хг — 11) ) ( ( агд з ( (Зл/2) — 6 — пхах(агд )м, агйх(Хз — р~)), так что Т, с 01 и осе ' ' яТх. Если хе= Т, Д В(6), то для 1„(з) моягно найти путь, лежащий в Т, Д В и обладающий ~0 свойством)е "' )(~)е "( (рпс.
14Л). Еслп п)йе(гх — рх)+1,то ~ Е,",~ (з) ! ~~ — х,х ~ ( ! ееее! à — — р,еа+Ы ~~Кз /е ~(~ П У х, ехрг — хргзьп 'х~ )+ е+1 рг -31 — Хх,+а ~ у х, ехр г — 1 ага хп (1 )~' х Если предполонгнть, кроме того, что пути в 1е1-плоскости совпадают с путями, использованными в 1-плоскости в $ 13 главы 6,— зто мы можем сделать,— то обе вариации, входящие в последнее неравенство, имеют порядок О(з "'+ ~~)при з-+.со.