Главная » Просмотр файлов » 1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9

1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 61

Файл №803490 1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции) 61 страница1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490) страница 612021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Для второй функции Ганкеля соответствующий результат имеет вид ГА — 1 Н,. "(з) —.— ~=) е "(,г„( — 1)' —, + 11жз(з), (13.04) ~г=э г~ где )11, з(з)!(~2)А„(т)) у,, г (1 ')ехр~)тз — —,~Х ь;„(1 ')~. (13.05) Оценки (13.03) применимы к У"*,-г. (1 ") в сопряженных секторах. Оценки остаточного члена для соответствующих разложений Х,(з) и У,(з) легко выводятся из (13.02), (13.03) и (13.05) на основании формул связи (4.08) и (5.01).

13.2. Удовлетворительные асимптотические представчения для Н~~~(з) и Н~~ (з) около границ областей справедливости разложений (4.03) н (4.04) можно построить с помощьго формут продолжения (4.13) и (4.14) методом з 4.3. Полагая в (4.13) У , 1„(1 ").= 'у (гг) (з ( 2у (гг) )1т з ( (О < агя з < я), (- — '-- з — — л< «гя г < 0 плп я < агй з< —, я) ) 1 3 — л < агя г < — —, я плп — 'я--.агд з<2л) ~ (13.03) з (з) оцени)! для Рлзло)пеппи глнкеля и) = 1 и 2, мы получаем ЕЕ(," (гез' ) =- — Н(,"(з) + 2 сов(чп) Н(,') (зеп'). Если агре е-:( — я, и), то г и ге" лежат внутри области справедливости разложении (13.01) и (13.03).

Подставляя в эту формулу разложония для Н, (в) и ЕЕ, (реп ) н заменяя затем г на (!) „(!)( п(Ъ зе ы!, мы получаем разложение (ь — ! =о г' (ь — ! ».=о справедливое при и < агйг -. Зп. Это выражение является полной формой формулы (4.16). При и < агя з < 2п име(отся два различных представления (13.01) и (13.06) для ЕЕ~,'~(г); мы отмечали в $ 4.3, что они эквивалентны в смысле Пуанкаре. В секторе Зс(/2<агяз<2я оценки (13.02) для остатка в (13,06) зависят от псовых двух строк в (13.03); соответствующая оценка для (13.01) зависит от последней строки и поэтому она больше. Аналогичным образом оценка остаточного члена для (13.01) меньше, чем объединенная оценка для (13.06) при и < агя з < Зп/2. Мы можем установить этот результат следующим образом.

Пусть (з( имеет заданное большое значение, а и фиксировано. Когда агй г непрерывно возрастает от л/2, правая часть разложения (13.01) без учета остаточного члена дает хорошее приближение для Н, (з) вплоть до агре = Зл/2, включая и это значение. (!) Птобы добиться сравнительной численной точности в случае Зп/2 < агу з <2п, необходимо добавить к этому приближению второй ряд, стоящий справа в (13.06), хотя е этой области функ(/ия е *' экспопеп(/иплъно лала по сравнению с е'" и ею люлспо пренебречь е смысле Пуанкаре, Когда значение агя з=2п пройдено, функция е ' становится больше по сравнению с е", что заставляет ряды в (13.06) поменяться ролями; учет второго ряда обязателен, а первый нельзя отбросить без некоторой потери точности. За значением агдс = йп/2 оценка остатка для ))„)(зе '"') в (13.06) становится болыной, и чтобы сохранить точность, необходимо использовать новое кратное первого ряда (получаемое из (4.13) при т= 3).

И так далее. Таким образом можно вычис! лить Нтдля всех значений агдз посредством одного или двух прп менений формулы (13.01), где агп з изменяется в численно допустимой области 1 — и/2, Зя/21. Аналогично для Н„з (з). (з) 9 131 ОНкннп дяя глз:1О)1'кння Глн1гкяя УПРАЖНКНИЯ 13.1. При позонгитезьнои х положив ь = х — ти — и п П' '1(х) 1 1 и ! 2~нз — — е" ', Р (лб х) + 1() (л, х) ), так что ( 2 'лл/з ,7„(х) =- ~ — ) л Р (т, х) соз ~ — 4)(г, х) злп ~), ях 2 П!х У (г) — —" ~ (Р (и, х) з(и л+ «1 (и, х) соз л).

Пока,«ать, что ес;ш т — —, и асимптоти испив разложения 1 ~-. г Л«„,, (т) Р(лбх)-) ( — 1)' -", 1)(г, )- Р,(-1)' -'. ' (х- ,,'2« хе'+1 « — —.е ,«.=о оборвзпь« на и-х членах, то соотзегствушщий остаточный член огранлгчен по збсо:потной ве:пшиие 1«ервь«л«отброшенным членом при условии, что 1 1 1 1 гг)» —,, т — 4 для Р(л, х) пзи и» 2 л — 4 ггля ()(т, х) '). 132.

Показать, жо дзя иодпфицироваииых функций Бесселя справедливы форт«узы (и — ! Ги — 1 ( .:) - 1 ~ '" ")' где вели шна )7„( ограипчеиа вырагиенияии Неярка (лт — — )з ~~~ Ли (г) г и$ () агдз) .- — и), 22 (««) ехр( и~~та — )с 1 ~~~ Л (и) (-'' и < ) агй з ( ( и), 4;[ (и) ехр (и ~ (гз — — ) (Не г) 1 ~~ ~ Л„(г) (Ве з) (- я < ) агй г ) ч„и), 3 2 ') Более сложными рассуждениями можно показать в каждом слу чае, что знак остатка совпадает со зиаггом первого отброшенного члена, если л» 0 (Ватсон, 1949, 9 7.32). уРАВнения с иРРеГуляРными осовьпн1 то1клми 1Г11 т а )б„( удовлетворяет тем же оценкам, но соответственно в секторах 3 1 — и < агя г < — †.

и, — †., и < ага г < О, 0 < аги г < †, л (Олвер. 1!!01). 13ть Определим т как в предыдущея упражнении. С помощью упр Л 1 показать, что если т лебствгпельно, = )О и и ) )ч( — 112, то 1„= од,. (т) = гл. О С О С 1. ' 134. Доказать, что в обозначениях формулы (1301) 1 — — т Г ЧН1(г)=- ..

) (1-ес' ')(1( 1),1(1))1 -4 2г Затгм с помощью теореитл 10.2 главьг б показапь что )г)ь ~(г) ) с сгр()тг — 114)У"„,„(1-']) — 1 и, следовательно, ггл и— /<0(г/ /2'"ег-' л, ' / ~1 ° — $г,,„ь-'Л. где вариация У „, (1 ') ограничена по формуле (1303), в котороп гул,по положить и = 1 и Х(1) = я12. $14 ". Неоднородные уравнения 14.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение 1П" + ) (г) юг + я(г) РЛ = г" Ег р (г), () (.01)" е котором сг и р — действительные или комплексные постояппьц, а /(г), д(г) и р(г) — аналитические функции комплексной и пс- моиной г, имеющие сходящиеся разложения гл ) (г) = ~~ — ', е(г) =..

~~ — ', 8 — е ;-=-о ' В области А: ) г) ) а '), Общее решенно уравнетшя (14.01) имеет вид (г) = А1Р1(г)+ Вгвг( )+ И' (г) ° где Л и  — произвольные постоянные, и1(г) и гвг(г) — нглокнгпмые решения соответствующего однородного днффсренцплльпого уравнения, И'(г) — частное репгение (14.01). Аспмптоти некие разложения для и1(г) и 1ог(г) были выведены ранее в зтол глаге; в етом параграфе мы рассмотрим построение аспмптотического приближения для И'(г). ') В действительности рассуждеяпя легко обобгдаготся на случая, когда ряды (14.02) просто ащпгптотнческие пря г — ь оо в заданном секторе.

317 г!и нволиоголнык уэлен!сипя В «!|ежи!, что подстановка са = еэ*п преобразует (!4.01) в и +(1(г)+ 2рсса'+(д(г)+ (11(г)+ Яп = г р(г). Ото ур, щппш! того жс вида, сзо и (14.01)«однако бсз экспоиепцваль»ого множителя и свооодпом члене. Поэтому без потери обпсш ": » мы можс и о! рапичиться изучением уравнения ж" + /(г) ю'+ й(г) са = — г'р(г), (14.00) в кпсс ро.! 1(г), д(г) и р(г) »мнет раэсожеппя (14 02)'. р и' ппс уравнения (14«йсд) н впдс формалыгого ряда можно и!с!! ', !содстаэляс! (11.01) и пса!;,!впивая коэффпписпты. Это даст д„сс« ~ ("; л/, с(с.— э+Иа„,.+ — '(а — з -,'- 2)(сх — г + 1) а, г == р, (! 4!.05) прп з =- О, 1, ...

В прслположеппи, что аэ чь О,— а для простоты лсс! вс.щ;ж будем пришивать это допущеиие,— уравнение (14.05) можно рнпитсч последовательно определяя а., В частности, -- ! а„= дэ р, а! = "о р! — ьэ Ра(к! т п7а). при и = О. 1, ..., так что каждая из функций Г„(г), 6„(г) и Р„(г) ограничена в замкнутой области В: )г!) б дчя левого б, превосходящего а. Введем обозначение Е„(г) = г" =э ' (14.06) 1'«.2. С.! русстурс! рскуррептпого соотношения (14.05) показьтвагт, что в общем глучж! ряд (14.04) расходится при всех ксан чпых э«гачгкиях .

(ср. 4 2.1), Чтобы исследовать возиожвую асям»готическую природу этого разложепия, мы построим ока»а!с!с ли!К«ерепцссалысое уравнение для и-й частичной суммы. Следуя з 12.1, поло7ким «=0 г «--.0 р(г) = д —,' + «.=-О Зга уРлвненпя с нРРеГуляРньп1п Осевыми то !клык !Гл. т и пусть п ) 1. Тогда, следуя 4 12.2, мы найдем, что 1,„(г) + )(г) Х„(г) + д(г) 1.„(г) — г р(г) = г В„(г), где Леее й ( ) Л„(г) ==- — — „!с и Яее.! ! (г) =- (а — п)(с! — и + 1) а» ! — Рчеь! (г) + ч. ~ С „((„г))..

(г)+С „, (г)) :.а Отсюда ((1.0!) ~еч !' где величина г„е! определена равенством г„е! — ег ' зпр ~ Й„.Ь! (г) ~ на в и конечна. 11редположим теперь, что функция И' 1(г) = ь„(г)+ е„(г) (1е!.()8) являетсн решением уравнении (14.03). Тогда остаточный член удовлетворяет неоднородному ураза!пшо е„(г) + ! (г) е,',(г) ->- д(г) е, (г) == — г"В„(г). (14.09) Методом вариации постоянных получаем е„(г) == иг(г) 1~!!(г) — !Р,(г) 1',,'(г), (! 4!.10) где ие!(г) и нег(г) — решении, определенные теоремой 2.1, — е! е з! (!) ! Л, (!) 1Р(г) = у 1, ' а (1.—..

1, 2) (1е 11) Л!" (!) = ие! (!) пе (!) — пе! (е) ш! (е). 11аправленяе В! верхнего предела в (14.11) находится в нашем распоряжении при условии, что интеграл сходится. 14.3. Ио предположению, )а Ф 44'„и до 'Ф О. Следовательно, характеристические значения л! и ),г, определенные в 4 1.2, не равны между собой и отличны от нуля. Используя тождество Абеля (глава 5, (1.10) ) и рассматривая главный член в разложе- Зйе нводнородныв Уравнения 5 ьн нии (2.04) и в разложении, полученном из (2.04) дифференциро- ванием, мы видим, что для уг" (Г) существует сходящееся разло- жение вида рх, о.,н р ьр. ~~ х -0 гдо ыр — — 1. Поэтому ()1!> ).

е ыг 'Ф* 01 Хх — ах (14.12) прп Г-р со в секторе Ьп !агд((яз — Х1)з) ! ((Зл/2) — 6, где 6— произвольная ахалая положительная постоянная (ср. теорему 2.2). Выбирая Ох —— аг1хйх и налаган условие — (Зл/2)+ агя(Хз — Х~)+ 6 =' аглХз ((Зл/2)+ агя(лг — )1) — 6 (14.13)' мы видим, что точка осе '"' лежит в 81 п интеграл 1„' (з) сходится. Из (1хь07) и (!4.12) мы выводим, что (1еЯ П В), где К| — некоторая постоянная. Пусть топерь В(6) — бесконечное кольцо )з() Ьсозесб; обозначим через Т сектор — (Зл/2) + 6 — пип (агд йн агй(Хг — 11) ) ( ( агд з ( (Зл/2) — 6 — пхах(агд )м, агйх(Хз — р~)), так что Т, с 01 и осе ' ' яТх. Если хе= Т, Д В(6), то для 1„(з) моягно найти путь, лежащий в Т, Д В и обладающий ~0 свойством)е "' )(~)е "( (рпс.

14Л). Еслп п)йе(гх — рх)+1,то ~ Е,",~ (з) ! ~~ — х,х ~ ( ! ееее! à — — р,еа+Ы ~~Кз /е ~(~ П У х, ехрг — хргзьп 'х~ )+ е+1 рг -31 — Хх,+а ~ у х, ехр г — 1 ага хп (1 )~' х Если предполонгнть, кроме того, что пути в 1е1-плоскости совпадают с путями, использованными в 1-плоскости в $ 13 главы 6,— зто мы можем сделать,— то обе вариации, входящие в последнее неравенство, имеют порядок О(з "'+ ~~)при з-+.со.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,59 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее