1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Во многггх иргглогнениях функций Ьесселя существенно используются свойства нулей. В 2$ 6 н 7 мы ограничимся рассьпгтреицем функции Весселгг зг,(х) с действительными значениялси порядка т. Теорема 6.1. 1) Пули (гго х) любого реисения уравнения Бесселя являются ггростыми, исключая, возможно, точку х = О. 2) Буля (по х) ггроизводиой' любого решении уравнеиия Бесселя являются простыми, исключая, возможно, точки х = О и в=~о. Эта теорема является частным случаем более общего результата относительно дифференциальных уравнений второго поряд- 8!4 уРАВнения с иРРегуляРными осовыь1И точклми !Гл 7 ка. Чтобы доказать ее, предполоягим, что ю(зз) = ю'(зо) = О, где зв — обычная точка дифференциального уравнения. Тогда из доказательства теоремы 1.1 главы 5 следует, что ю(з) — = О, Аналогично, если ю'(зз) = юи(зь) = О, то из уравнения Бесселя вытекает Равенство и!(зз) = 0 НРи Условии, что зз Ф -!-У; завеРшаетсп доказательство так же, как в предыдущем случае.
Если з стремится к бесконечности вдоль положительной действительной полуоси, то асимптотическое разложение (4.07) покааывает, что 1 (з) бесконечное число раз меняет знак. Следовательно, каждая из функций лт(г) и л',(з) имеет бесконечное число положительных действптельных нулей. Кроме того, поскольку ут(зв"'"') = е "'1т(г) при целом т, все ветви ли(з) и У~ (з) имеют бесконечное число пулей на положнтельяой и отрицательной действительных полуосях.
Положительные нули лт(з), рас!юложенные в порядке возростапия, обозначаются через 1, 1, 1, к, Аналогично, в-й положятельный нуль|, (з) обозначается через у,,л 62, Теорема 62'). Все нуги функ!!ии У„(г) действительны, если у ) — 1; все нули функ!(ии У„(з) действительны, если т -ь: О. Прежде всего, при данных предположениях относительно у ни один нуль не может быть чисто мнимым, поскольку все членьг степенных рядов для (з)2) 'т'.(г) и (з!2)' '),(г) положительны илн равны нулю при Бе х = О.
Далее, рассмотрим тождество (из — 6г) ~ !от(сс!) 7 (р!) о! =в(л,(аг) — у,(рз) гьг (рг! ~'гт (пф) о (У ) — 1), (6.01) которое легко проверить, если продифференцирозать его и использовать уравненно Бесселя. Если и — корень л,(з) нлп л„(з) то в силу принципа симметрии Шварца комплексно сопряженное число а также является корнем.
Мы моягем положить з = 1 п (! = а в (6.01); тогда если выполняются условия Не и ч~ 0 и 1!па~О, то ~ !З (аО У, (сг!) й =- О. в Мы получим противоречие, поскольку подынтегральное выражение положительно. Теорема доказана. ') Ломмель (!888, $19), 9 е! нули Функции змз Когда — 1 < ч < О, единственным отличием является то, что у„(з) имеет, кроме действительных корней, еще пару чисто мнимых корней; это легко установить, использовав формулу (6.01) п степенной ряд. Если ъ < — 1 и не равно целому числу, то такой метод доказательства становится неприменимым, так как интеграл в (6.01) расходится на нижнем пределе.
На самом деле з1онгпо показать, что в этом случае имеются комплексные корни '). 6.3. Для доказательства теоремы этого пункта нам понадобится следующая лемма. Лемма 6.1. Для людово положительного числа е найдется такое положительное число б, не зависящее от ч, что в интервале (О, 61 изменения х функция У,(х) не имеет корней при ге= е= 1 — 1+в, оо~, а з',(х) не имеет корней при те= [е, оо1. Если ч ~ — 1 + е и 0 < х б, то пз представления в виде степенного ряда следует схр ( — Ез) — 1 « 1, при условии, что б' < 4 1п(1+ е). Поэтому У,(х) в нуль пе ооращаотся.
Для /,(х) доказательство аналогично. Теорема 6.3. Если з фиксировано, то )чл является дифференцируежой функцией ч в интервале( — 1, оо), ау„л — е интервале (О, сс). Чтобы установить первый результат, предположим, что е— произвольное положительное число и а — л1обая точка из ( — 1+е, сс). Из теоремы 6.1 вытекает соотношение У,(у,л) Ф О. Поэтому в силу теоремы о неявной функции существует такая дпфференцируемая фуш цня 1(ч), что у(а) =1,, и /.(у(т)) =0 в некоторой окрестности Х(а). Когда ч изменяется непрерывным образом в )ч(а), график У,(х) (см. рис.
5.1 и 5.2) также изменяется непрерывно. Из леммы 6.1 следует, что слева в интервал 0 х <у(ч) не могут войти никакие новые нули и ни один из имеющихся з — 1 нулей не может выйтн из интервала с этой стороны. Кроме того, появление нлн исчезновение нуля в шобой другой точке интервала исключено, посколы у на графлке видно, что для критических значений т пуль долнзеп быть многократным, что противоречит теореме 6.1. Таким образом, (.я= 1(ч) в Х (а). Так как а и е произвольны, функция )ь . непрерывна и дифференцируема всюду в ( — 1, оо) .
Доказательство для (чл аналогично, с одним лишь отличием: сначала необходимо доказать, что у,л не может быть кратным ') Ватсон (Г949, 1 15.27). 316 УРПВНЕ11ПЯ С ПРРКГУ11ЛРНЫП1П ОСОБЫМИ Т0*1КЛМИ 1Г.1. 7 НУлем Уч(х) пРи т > О, Степенной РЯд показывает, что фрп1'- ции У„(х) и хУ, (х) положительны и возрастают, когда х положительно и достаточно мало. Нз уравнения Бесселя, записанного в виде х(ху (х))' = (тг — тг) у„(х), следует, что в интервале 0 ~ х(т функции (хУ,(х))' и Уч(х) обращаются в нуль одновременно, пли не обраща1отся вообще. Пусть х,— минимальное значение х, при котором онн обращаютсн в нуль; если они отличны от нуля, положим х,= у. То1.- да (хУ, (х))' принимает положптельныс значения в интерва.7о (О, х„); отсюда вытекает, что функции хУ,,(х) н У,(х) положительны в (О, хч).
11озтоп1у Уч',х,) ) О, откуда хч= ч и, следовательно, У,(х))Опри хе— : (О, т]. В силу сказанного 1,,1 т (ч ) 0). Из теоремы 6.1 следует теперь, что никакое значение У,, не может быть кратным корнем У,. (х). Теорема 6.3 доказана. 6.4. Те оре ма 6.4, Если т — 77оло17сительное число, то у,,— возрастающая фуньиия пп Дифференцирование уравнения Уч(1ч,)=-0 приводит к соотношепи1о (6.0» Для вычисления второго слагаемого мы используем тождество У„(*) У (.) (У„(, ) Уч (,) — У„1. ) У,.!х)) а'х-- х и* — ' ()пг Ф тг), которое проверяется дифференцированием (ср. (6.01) ) .
Полагая )и -ч- т, получаем равенство Уг (х) ( ЗУ,. (. ) . ЗУ 1х)) — сух = —,' )У (х) — ' — У, (х) — '. а ' а При условии, что т ) О, пределы интегрированна можно считать равными 0 и ух,; тогда 7ч,ч о Подставляя это выражение в (6.02), получаем "П' г '11чл 2ч )п уч (*) (, 0) 1„(У,'(1„)) откуда и вытекает утверждение теоремы. 317 нули Функция лы»\ 6.5. Лсимптотические разложения для больших положительных нулей функции У,(г) можно найти, обращая разложение (4.07).
В качестве первого приближения мы имеем соотношение соз(г — —,, тп — — я>ЦЦО(г ) =-О. 4 / Отсюда моясво способом, указанным в главе '1, 9 5.2, вывести, что г=-.зл-'; — ъл — — и+0(з ) — 7» где з — большое положительное целое число Для вычисления членов более высокого порядка по.>ожпи 1 сг == з -',— —,т — — ) л. Тогда для больших г 2 4 ) ч (,„, (') /у Л.„. (т)) г — и — атс16> )4тв ( — 1)' „, /> ~„( — 1) ::.3 4 л — ! (4»л — !)(4т» — 29) зг 264 з Замена переменной г на и приводит к разложени>о >уа>с-Магона ') бт' — 1 (4т* — 0 (28тг — 21) Действительно ли зто разлоясепие представляет г-й корень У,(г), а не какой-либо другой, например, ь — 1-й? Общий метод решения задач такого типа опирается на >грипцип аргумента.
Л усть 9)у>сн>1ия >(г) голоморфна внутри одпосвязной области, содержа щеи простой замкнутый контур $'. Предположи»>с, что шсло нулей /(г) подсчитьсвается согласно их кратности и они не лежат на Э'. Тогда число пулей внутри зт равно умноженному на 1/(2п) приращению агу(/(г)), когда г обходит»й один раз в по.сожительно>м направлении. )) интересующем нас случае можно рассуждать прап!е. Разложение (6.03), как легко видеть, равномерно относительно и в любом компактном интервале. Если т = 1/2, то полон и- тельные нули гм(г) равны и, 2п, Зя, ...; ср, главу 2, упр.
93. Следовательно, разложение (6.03) определяет (ю, для этого значения и и. в силу непрерыв>!ости (теорема 6.3) для всех тон я ( — 1, со). ') Относительно следу>ощих членов раздол!ения см. Р, С. (1999). Явной формулы дзя общего члена вет. 318 уРАпнення с иРРегуляРнымн ОсОБыми точкльги [Гл. 7 УПРАЖНЕНИЯ 6.1. Показать, что если т — положительное чксло, то !Н1 С )ю1 ( НО2 ( гю2 (!НЗ ( ' ' ' 6.2. Используя метод 1 6.4, показать, что 31,.'ВУ > О при У > О. ' 6.3. Используя упр.
ОЛ, пекеззть, что если т фяппзпревзво и положктель- З) пе, а р =: з -)- — ч — — ~я, то 2 4)" ' 4чз — ', 3 112тв -',,-328ьч — О, / 1 ) )чл"" Р 8$ 384(Р ' ( зз )' 6.4 Пусть лля:побеге пележптелькеге числа з функция ср,(») епрецелЯсгск фоРмУлой чь(т) = 1„,, если 1 — 1, и феРмУлей гг.-(т) =- Н.. ю еслк — 1 — к ( т ( — 7с для всех зс = 1, 2, ..., з — 1. Пеказвтгь что фуакцяп гр,(т) дафферекцпруемы вскжу в ( — з, сс). й 7. Нули функции У,(х) н других цилиндрических функций 7.1. Функции вида $'„(х) = АУ,'(х)+ ВУ,(х), (7,01)' где А и В не зависят от х (но могут зависеть от т), называются Оилиндрическизги фуннг)пз2зги порядка у. Это название возникло в связи с тем, что такие функции играют важную роль при решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Теорема 7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
