1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 51
Текст из файла (страница 51)
11.2. Оно имеет ту же сахгучо форму (11.05), что и предыдущее решение, но остаточный член е~(г) и область справедливости Н~(а~) в этих двух случаях совершенно различны. Хотя выбор отрицательной действптетьной полуоси в качестве границы для Л упрощает излоя1ецде в этом примере, он слишком сужает области К~(гх~) (и их г-образы). Если гз~ = — со+!б, область К~(п~) можно расгппрптгь вращая разрез в положительном направлении до тех пор, пока он не совпадет с положительной мнимой полуосью. Полная область справедливости принимает тогда впд — я/2(агд$(5п/2. Дальнейшему распшреппю препятствует условие монотонности. Аналогичным образом, при сг~ —— ,= — оо — (б максимальная область справедливости разлоткеппя К~(гг~) имеет вид — 5п/2 ( агд 9 ( и/2. УПРАЖНННИЯ Пд.
Пусть $ = ~ 1 — едвяетвеяяые особые точки функция ф($) в У" (Р) сходится ва бесковечяоств. Используя все необходимые рямвяовы зяоты, тквзвть мвксямвльяую область справедливости К~( — аа). 11.2. Пусть точка а, находятся ва бесконечности, в условия 1) в 2) в 1 11.3 заменены более свльныяв условяямв: 1) $-образ пути Рз представляет собой многоугольную дугу; 2) когда г изменяется вдоль,Уз от а; до з, функция Ке (й 0)) строго возрастает пря 1 = 1 ввк строго убывает яри / = 2. Показвттч что П,(а,) является обвесы ю [Торя, 1960).
') Это название было введено т1еррзт (1950). ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛНУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНА 286 >ГЛ. Е й 12. Асимптотические свойства в случае комплексных переменных 12 1. Аспмптотическне свойства ЛГ-приближения относительно независимой переменной, установленные в зз 3 и 4, переносятся на комплексные переменные. Если Ве $ — >.
— оо при г -~ а> и Йе $ — ~+со при г-~аз, то решение и>(г) является подчиненным в точке а>, а и>г(г) — подчиненным в точке аг. Как было отмечено в главе 5, з 7.3, построение численно удовлетворительного множества решений может потребовать использования более чем двух точек а> и аг (сравните упр. 12.1, приведенное кп;ке). Справедлива следук>щая теорема, аналогичная теореме 3.1. Теорема 12.1, Пусть 2' — конечна>й или бесконечный 5-поступательный путь в 0 и а>, аг — его концевые точки. Предполоясим, что вдоль Ы' функция Р ил>еет ограниченну>о вариацию, Ие еь->- — оо при г->.а, и Ие 5->-+ос пра г>.
аг, Тогда (1) е,(г) стрелим>ся к некоторой постоянной е>(аг) и (г) е, (г)->-0 при г — +аг; >(2) ег(г) стремится к некоторой постоянной ег(а>) и (г)ег(г)- О при г — >.а>; (3) е>(аг) = ег(а>); (4) !е,(а,)1 < †, ! хр (У'т (Р)) — 1). 1 Доказательство пунктов (1) и (2) этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1. Пункт (3) доказывается так, как ука- зано в упражпеппп 3.1. Утверждеппе пункта (4) можно получать, если просуммировать неравенства !1.Д) (~Ч""'(5)!(е+1) > (е = 0, 1, ...), выведенные пз (3.07), н затем положит>, $-~ иг в (3.06). Интересно, что оценка (4) в два раза точнее, чем предельная форма оценки (1'1.07) .
12.2. Как п в з 5, аспмптотпчсские свойства относительно параметров естественным образом выводятся пз оценок остаточно>о члена, указанных в тсорсмо 11.1. Дополнительное свойство, появляющееся в комплексном сяучас, состоит в том, что области справедливости Н>(а, )сильно зависят от параметра и. Для уравнения '(5.01), например, мы имеем 5 = ид 1»г(г) дг. Если параметр и — комплексный, то $-образ области 1> будет поворачиваться вонруг начала координат при изменении агди. Поэтому путь в г-плоскости может быть $-поступательным для некоторых значений агд и, но не быть таковым для других, заставляя зоны тени изменяться я зависимости от а>ц и.
287 ВЫБОР постугьттвльных путкп й 131 УПРАЖПРПП(Н 12.1. Пусть ш — положительное целое число, 1 — целое число или нуль и б(( Зя) — положительная постоянная. Показать, что решение уравнения = з ш,подчиненное на бесконечности вдоль луча згй з = 2/я/и, имслзш ш — 3 оз ет вид ш(з) = (1+ 0(з 'зп))з'з и'ехр(( — 1)зт'2з г'/т) прн з — ь сс в секторе ! т агл з — 2/я ! ( Зя — 6. Сколько необходимо таках решений, 'пабы образовать численно удовлетворительное множество решений в окрестности бесконечностп7 12.2. Показать, что если /(з) =- — изз ~ н у(з) =- з Пз(з+ 1) 4 где и = !и!е '" — комплексный параметр, то границы максимальных областей П,(осе — з") проходят по лучу агй з = я — 2ш и параболе ((х+ Цз!п2ш+ у сов 2ш)' = 4шп о>((х+ 1)з(п ш+ у соз ш), где х и у — соответственно действлтельвзя н мнимая часта переменной з.
2 13. Выбор поступательных путей 13 1. Новой особенностью, связанной с комплексными псремепнымн, явлнется выбор «-поступательньгх путей .У,. Для каждой пары точек з и а, наиболее эффективное использование теоремы 11.1 требует, чтобы л; были определены в 0 таким образом, что полная вариация функции контроля ошибки г(з) вдоль лт, мкппмнзнруется, если выполняется услоиие монотонности. Для общих 0 и /з(з) решение этой аадачи миннмпзацпп не существует.
В приложениях мы выбираем те пути, которые удовлетворягот условию монотонности и находятся достаточно далеко от особых точек функции г", в том числе от точек поворотадифференциалъного уравнения. Соответствующие вариации могут не быть минимальными, но онп часто достаточно малы для того, чтобы дать удовлетворительные оценки остаточного члена. В этом параграфе мы покажем, как выбрать действительно минимизирующие пути в специальном случае /(х)=1 и д(х)= =и ' ', где а — фиксированное положительное число.
ЗдесьН— плоскость переменной з с исключенным началом координат, г'(з) = х-' и Ц = з. В силу сизгзгетрии достаточно рассмотреть лишь случай / = 2. Нолагая, что аз — бесконечно удаленная точка нь действительной положительной полуоси, мы получаем Г щ ! Уь (п)=У, (1 )=п)~ +~~ г причем Ве( не убывает вдоль пути. Тогда Нз(со) представляет собой сектор !агд з) <Зя/2 (ср.
у 11.4). Мы положим 9 = агах и изучим по очереди случаи )9! <я/2, тс/2< )9!<я и я<)9! < '<Зя/2. Но сначала мы установим слсдующуго лемму. пРивлижГник лиувилля — ГРинА !ГЛ. В Лемма 13.1, Пусть 2' — бесконеч»ая прямая линия е комплексной плоскости, а — >голоасительная >гас>'оянная. Тогда уе~,(г — ') =- 22(а)д — ' (13.ОЦ где гг — краткой>иее расстояние от начала координат до 2' и 7(а) =-- я'>зГ( —,а+ 1)/Г( —,а+ —,г 1.
(13.02) Следовательно, >г»>т ~ 2ч (»т Отсюда, если замонпть тг на > п попользовать упр. 1.3 нз главы 2, вьпекает равенство (13.01) . Приведем зпачоппя 2(а) с двумя десятпчныьш знакоми дчя первых десяти целых значений а: т(1) = 1,57; 2(2) = 2,00; 2(3) = 2,36; 2(4) = 2,67; у(5) = 2,95; 7(6) = 3,20; Х(7) = 3,44; у(8) = 3,66; у (9) = 3,87; у (10) = 4,06. Результаты Я 2 главы 2 и з 5 главы 4 показыва>от, что т(а)>, возрастает в (О, оо) и у(а) (яа/2) пг прп а -» оо, 13.2. (1) (О/ (я/2.
Рассмотрим путь, изображенный на рпс. 13.1 и состоящий пз части положительной действптольной полуоси, дуги окружности радиуса Л( )г!) с центром в начале координат и отрезка прямой г = г + те" (О ~ т ( Л вЂ” (г ( ). Легко видеть, что прп Л-» оо вклады в вариацию интегралов по действительной полуоси и по дуге окруя ности стреъштся к нулю, и мы патучае>и ( ) )( +те>о(т>,) >,(+т)» о а Так как зто выражение равняется модулю разности между значе- Чтобы доказать этот результат, предположим, что г — ближайшая к г = 0 точка прямой с', так что )г) = д, Параметрическое уравнение 2' можно записать в виде г = г+ггг ( — оо(т со). "19 вывел постхплткльпых пт тип % си ниямн 1 ' в крайних точкнх пути, никакой другой путь не может дать меныпсй вариации '). 13.3.
(2) л/2()0) =и. 1'»осмотрим путь, изображенный жирной непрерывной линией тта рпс. 13.2, если значение 6 поло>кительно, пли соиряисенный путь, если О отрицательно. Снова, поскольку радиус Л дуги окружности стремится к бесконечности, вклады интегралов ио этой пуго и ио действительной полуоси ст)копятся к пулю, и мы получаем где х+1р = г. Зтим выоором вариация мниимизируется. Чтобы уосдиться в этом, мы »роялем заданное расстояние т вдоль любого допусти- Рнс. '!3.2. — — < О = я. хи~го пути от = до некоторой точки 1.
1!а этом пупс 1нахояитсяв то~не 1а — — г+1т; дли любого другого пути 1 ленгит внутри или иа окружности с центром в - и проходягцей через 1в, как это показ»- по иа рис. 13.3. Оченинпо, что )1! ) )1е) только тогда, иогда 1летит нпутрп запгтрнхованиой лунки, ограниченной этой окружностью и дугой окрунгпостп )1( = (1е(. Однако никакой путь не мои;ст проходить через зту лунку, так как внутри ное )1е1( (Но=. Следовательно, )1)~~)1е), п вариация является мипимизирон»якой. Для целых значений а интеграл (13.04) можно выразить через элементарные функции. Например, у, „(1 — ~):.—.— — »гоги ~ — ~ (х ь О); у-,,„(1 — ~) =.
— (х = О). 1 ! в! )у) ') Сравните главу 1, уир. 11уь Строго говоря, (13.03) является ве внряаПией вдоль допустимого пути, а нижней гранью множестве вариаций. Это отличие ве является существенным ирн получении оценок остаточного члена, и мы не будем его подчеркивать. 4О Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
