1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Очевидно, что мы 263 АСИМЦТОТИлгЕСКИЕ СВОЙСТВА мои<ем взять /(и, х)=/о(х)+и 1/1(х)+и г/2(х), д(и, х)=0, ио могут оказаться предпочтительными и другие способы выбора, например /(и, х) = /з(х)+ и '/1(х), я(и, х) = /г(х) или /(и, х) =-1/о (х)+ ' ~, б(и, х) =-/з(х) — —; /г( ) 2а/1/2 (х)~ 4/а(х) цоследивя форма имеет то преимущество, что для нее упрощается вычисление интеграла 1/ (и, х) с«х. Конечно, выбор /(и, х) 1 1/2 и я(и, х) влияет ца величину оценки остаточного члена.
Может случиться так, что вариация у,, „(/г) расходится ири одном выборе и сходится прн другом. Очевидно, что предпочтителен тот выбор, при котором оца сходится '). УП1лЛЖИИПИЯ 5.1. Показать, что оценка остаточного члена, получаемая при прнллененаи теоремы 2.2 к уравнению (5.04), превостоднт фактическое значение (е,(и, х) ( приблизительно в дза раза, когда параметр и велик, а функция /г монотонна в (а, х].
5.2. Предположим, что е окрестности начала координат /(х) == х «~~1,х', л(х) = — л )' Ю х', где 1а Ф О. Показать, что У (г") сходитсл в точке х = О тогда н только тогда, 5 когда Га = — и Лл = —. 1 11л 8/а 53. Построив дифференциальное уравнение для(ха — 1)112(г'" (хд показать, что если значение т фиксировано, а п — велико и положительно, го фулкцпа Лежандра второго рода имеет вид (гт (.11 1) я1/2 галала а — 1/2 (2з1л 1) — 1!2 е — (з+1/2)1(1+ 0 (я — 1)) равномерно относительно 1 ш [б,ао), где б — любая полон<ительнан постоянная.
5.4. Показать, что если а, х и а положктельны, причем а фиксировано, алел а и — велико, то в «а, оо) уравнение а л —— (аахз+ каха) м имеет решения ахл аида (1+ 0 (а 2)) х 1/2 (аз + хз) 1/гетр («+ — а (из + ха)~/2), 1 равномерные относительно х ') Интересный пример был дан Джеффрнсом (1953, $33). ПРИБЛПЖЕНПЕ ЛКУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНА (ГЛ. Е Показать таюве, что интервал изменения х мои|но расширить до (ап — '", со) при условии, что равномерное относительно х выражение 0(и ') заменено на 0(и-'). 5.5.
Показать, что при положительных х п и уравнение ен, l ахз ' з:с'' ' ) имеет реп~зине зпда (1+ е(и, х))ехр( — х — 2п 'хн'соз и), где: 1) е(и, х) =-" = 0(х нз) прн х з- со, в фиксировано, 2) е(и, х) =- 0(и ~соз и), когда и — ь оо равномерно относительно х ю (а, оо), и — люоаи поло'юггольнаи постоаннзн. 5 6. Пример: функции параболического цилиндра прп больших значениях порядка 6.1. Дифференциальное уравнение для функиий параболического цилиндра ((йункций Вебера) имеет впд (бз.01) где а — параметр. Едппствепная особая точка находится на бесконечности; опа иррегулярна и имеет ранг. равный 2. В соответствии с этим аснмптотическне решения прп фиксированном а и большом х можно вывести из ПГ-прполижеппп.
Выбор )'= хз/4, д = а является нецелесообразным (псключая случай а = О), поскольку соответствуюгцая функция контроля опшбкп ! расходится на бесконечности. Вместо этого мы положим 1 = — (хз(4)+а, у = Ра( тогда функция 1 "() "')" асимптотпческп приблиясается к Зх зз'2 и У'(Р)( оо. Из результатов у 3 следует, что сушествуют решения уравнения (6.01), асимптотически ведугцве себя как 1 и'с=' прк х-н со, где Прн больших х $ = — ха —,' а)их -)-сопз(-иО(х -). 1 4 Следовательно, асимптотнческая форма решений сводится к постоянной, умноженной на х" '"ему или на х ' изе-"*'4. Главное решение сг(а, х) определяется (полностью) условием с)(а, х) х ' пзе 'п4 (х-з-+оо). (6,62) Как и все решения, оно является функцией, целой по х. В применявшихся ранее обозначениях, введенных Уиттекером, функции с)(а, х) записывалась как Р-,-п,з,(х).
6.2. Как ведет себя функция 6г(а, х) при а-ь+оо? Если мы применим результаты $ 5, положив и' = а, 1 = 4 и д = хз(4, то 255 ПРПМГР 5 з« соответствующая вариация Х (/«) расходится на бесконечности. Следовательно, этот подход дает асимптотические приближения для больших а, справедливые лишь в компактных интервалах измененпя х. Чтобы вывести приближение, которое равномерно справедливо для нее«рани «ет«ых действительных х, иы снопа положим /= =(хз/4)+ а. Переъ«енные удобно отделить друг от друга, положив а = и/2 и х = (2и) '"«.
Уравнение (6.01) принимает вид ам~ —., =- и'(«е — , '1) ин а«е В силу $ 5.1 решение, подчиненное при « — ~-+со, дается форе«улой т(и, «)=(«е+1) "зехр( — ис(«))(1+з(и, «)), где 5(«) .=-) («е+1)' й =- —,, «(«'+1)' '+ —,1и(«-( («'+1)' ). (6.03) Остаточный член удовлетворяет неравенству ) е(и, «) ) ~ ехр((2и) 'У'~ (Р)) — 1, (6.04) в котором ««(«) =') («'+1) ((«'-1-1Г"'М«'== — — '-'.. (.) 4««+1)з'" «2(«+1)"э' При фиксированном и в болыпом «имеем ~(«) = —,«'+ —,(п(2«)+ —.+0(«), Г(«) =- +О(«), е(и, «) =-- 0(«).
Следовательно, «е(и, «)= 2 'ме "ы«и+яме нм(1+0(«-е)). Так как при тех х«е условиях решение 0 (и/2, )~ 2и«) — подчиненное, оно только м««о«кителем отличается от «е(и, «). Фактическое значение этого мяожителя легко яайтн вз сравнения с формулой (6.02); таким образом, мы получим искомый результат, имею«ций вид 0(и/2, «' 2и«) =- =2~ '~~"е"~" и о" ьп«(«э + 1) П'ехр ( — иЕ(«))(1 + е(и, «)).
(606) ПР»ГБЛИЖЕНИЕ ЛИУБИЛЛЯ вЂ” ГРИНА 1ГЛ. т 266 6.3. Соотношения (6.04) и (6.06) выполняются при положительных и и всех действительных» или, если вернуться к первоначальным переьгенпым, при положительных а и всех действительных х. При фиксированных и (не обязательно больших) и больших положительных» имеем е (и, ») = О (» т) .
С другой стороны, поскольку У" „(Р)ч со, мы получаем е(и, »)= 0(и ') для больших и равномерно относительно». Зги результаты иллюстрируют двойную асымптотическую природу е) Г-прнблпнеенигг. Равномерная оценка остаточного члена может быть получена следующим образом. Из (6.05) мы находим, что стационарные точки функции г'(») имеют вид» = -+)'2/3. Далее, Р ( — оо) = 1/12, Р ( — ~г 2/3) =. (1/3) )г 2/5, гг'() ег2/3) = — (1/3) )г 2,'5, /г (оо) = — 1/12.
Следовательно, Уа „, ( Р) = (4,'3) ) г2/5 — 1/6 = 0,67..., откуда ) е(и, ») ( ~ ехр((0,33...)/и) — 1. В частности, если пренебречь остаточным членом е(и, »), то ЛГ-приближение для е/(и/2, ф 2п»)будет верным с точностью до 10'/е, если и ) 3,6, т. е.
если а ) 1,8. Это нижнее значение «большогоь параметра характеризует эффективность приближения. Такая ситуация отнгодь пе является нетипичной. УПРАЖПЕНИЕ 6.1. Проверить с замошью дифференцирования под янеком интеграла, что интеграл екр / х» —, »е)»' 0»е)»г 2 о удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и функции ехр (хе/4)»»(а, х). Ряссмятрнвая есвмптотнческую форму интеграла ири больших х, вывестн, что Г(а-~-1/2) ~ екР( — х» — 2»'/» с'Г ~а > — 2/.
о и 7. Одно специальное обобщение 7.1. Пусть функция ь'(х) имеет простой пол»ос при х = О, и снова обозначает большой положительный параметр, а ю удовлетворяет уравнению е»«ю —, =-( — и + д(х)) ю. 267 одно спиннвльнов ововщкнин е с( При 7(х) = ив функция контроля ошибки для этого уравнения имеет вид — и )ус(хи обращается в бесконечность при х = О. — 1(' Поэтому теорема 2.2 не дает нпкакойс информации в окрестности этой точки. Зтого можно было ожидать: результаты главы 5, $5 показывают, что общее решение уравнения (7.01) имеет логарифмическую особенность в точке х = О.
Следовательно, его нельзя представить в том виде, в каном представляется общое решение уравнения г — —.- — и ис. Дгй (7.02) Однако решение уравнения (7.01), подчиненссое в начале координат, не имеет особых точек п может быть равномерно аппротссимировано прп больших и решением уравнения (7.02), обращающимся в нуль прп х=О. Поскольку эта задача находит прпме- гение в теории рассеяния н представляет интерес сама по себе, мы приводим ниже некоторые детали.
7.2. Так как мы дадим явное выражение для оценок остаточногочлена, то можно считать, что в формулировке глазной теоремы д(х) зависит от и; таким образом в ( и ) д(и, х)) ш. (7.03) рсю, 7.1. юв(г), зш(х) = шах(е(п() о<с ив Очевидно, что зш(х) — неубывающая функция (рис. 7.1)'. Т е о р е м а 7.1. Предположим, что д(и, х) — непрерывная действительная или комплексная функция х в (О, Ь) и интеграл х С(и, х) = — ~ зш(и() ( у(и, Г)(сИ о (7,05) сходится на нижнем пределе ').
Тогда уравнение (7.03) имеет решение ш(и, х), непрерывно диффервнс(ирусмов в (О, Ь), ') т. е, существует 1(пс ( вю (ис) ) л (и, с) ) ос.— прим. перев. в о ~ в Предположим, что х изменяется в конечном или бесконечном интервале (О, Ь), и не будем требовать, чтобы особая точка х = 0 функции д(и, х) была простым полюсом.
Вводом, кроко того, мажоранту (7.04) 1гл. з пгинлижьчгик лнувилля — ГРппл двалсдьс непрерывно дифференцируеное а 10, Ь) и ижеюи1ее вид и (и, х) = яп(их) + г(и, х), (7.00) где (е(и„х) ) (зпт(их) [елр(С(и, х)) — 1). (7.07) Доказательство этого розультата сводится к уточнению доказательств теорем 2.1 и 2.2. Интегральное уравнение для е(п, х) имеет вид х е (и, х) = — ~ е( и ( и (х — 1)) д ( и, 1) (яп (и1) -Р е (и, 1) ) дг. 1 о Решение методом последовательных приближений н использование оценки ~яп(и(х — 1)) ~ ( 1 приводит к результату, эквивалентному теореме 2.2.
Искомое неравенство (7.07) получается, если вместо этой оценки использовать более точную оценку )з1п(и(х — 1))) ( яп(их) (О (1 ~ х). Детали предоставляются читателю. 72. В задачах рассеяния функция у(п, х) == д(х) пе зависят от и, 6 = со, а д(х) — функция, абсолютно интегрируемая на оо. Результаты з 3.5 (при аг —— со) показывают, что и~(и, х) можно записать в виде ю(п, х) = (1 + р) згп(пх+ 6)+ о(1) (т- ) (7 Оя) где р и 6 не зависят от х, 1+р)0 и — л(6 л. При этом и имеет смысл энергии рассеиваемой частицы, д(х) — потенциал, а 6 — сдвиг фазы'). Оцонки для р и 6 можно вывести из равномерной оцопки е (п, х) следуюгцим образом.
Объединение результатов (7.00) и (7.08) дает е(и, х)+ о(1) = (1+ р)з1п(из:+ 6) — яп(их) = = оз!п(их+ г), (7.09) где о и ц связаны с р и 6 соотношениями (1+р)соь6 — 1 = осоац, (1+р)згпб.= оз1п ц, (7.10) и величина о неотр~цательна. Полагая х-з со по последовательности значений, для которых их+0 является нечетным целым нратным числа п12, н используя то, что згп(их) =1 при их вл12, мы получаем неравенство (7.11) ') Калоджеро (1972, глава 2), 269 йП одно спппнлльпог ововщенне Чтобы выразить р н б через а, мы находим из (7.10), что (1+ р)е" = 1+ ае'".
) р ( =' а, ) б ( ~ агсз)п о ~ яо/2. Подстановка (7.11) приводит к искомой оценке )р), 2)б)/и ~ е"" "' — 1 '(7.12)' при условии, что правая часть не превосходит едзшпцы. 7.4. Асимптотнческая форма е(и, х), р и б прн больших и зависит от поведения о(х) при х = О. В этом лшжно убедиться, разбивая область интегрирования в выражении для 6(и, со) точками я/(2и) и /с, где й — постоянная, превосходящая я/(2и). Пагсрнлгер, в случае, упомянутом в $ 7.1, функция д(х) имела простой полюс в точке х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
