1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(2.04)). Далее, из (1.05), (2.00) и (4.02) лгы по.(учаем, что ь(( гр($) == 0~,,) (х-+аз — О), (4.04) Поэтому в неравенство (3.10) первый интеграл в скобках имеет порядок 0(е "") для больших Ц. Разбивая интервал (а!„с) па две части точной —,$,ггы видим, что второй интеграл ограннчоп л выражением ыг е ~ 1 (гр(~))(((!+О(, „,,) ~ сг(' "(а!~, а, т. е. имеет порядок ОД-!-ы("!). Следовательно, вся правая часть (3.10) имеет порядок 0(э м").
Поэтому е!(х) — е((аг) = 0((аг — х)') (х-ьаг — 0). '(4.0з) Соотношения (4.03) н (4.05) являются искомыми уточнениями поведения е! (х) и ег(х) в точке аг. Следует отметить, что условия (4.01) включают случай, когда дифференциальное уравнение (2.02) нлп (2.20) имеет в аг ир- сходиьтость т" <и> в осовои точки 257 /(х) схем о, д(х) = 0(х" ' о) (х- со), '(4,06) где с, а п р — положительные постоянные. Первое из этих соотвогпений снова должно быть дважды дифференцируемым: если а = 3/2, то мы считаем, что /'(х) — ~-с и /"(х)= 0(х '); когда сс = 1, то мы требуем, чтобы /'(х) = 0(х ') и /и(х) = 0(х ').
Оти условия охватывают случай иррегулярной особой точки произвольного ранга а на бесконечности. Рассуждая, как и прп выводе формул (4.03) и (4.05), мы получаем ез(х) = 0 (х '), з~(х) — з1(оо) = 0 (х ') (х в-со), (4 07) где снова б = гаш(а, 'р). 4.3. Теперь мы рассмотрим вопрос о том, .!Г-приближение в регулярных особых точках. (глава 5, з 4.1) точка ао является регулярной уравнения справедливо ли По определению особой точкой с7ви —,, = — д(х)ю, (4. 08) если функция !7(х) может быть разлоясена в ряд вида д(х) = ~ я (аз — х) з-.: о сходящпися в окрестности аь Уравнение (4.08)' можно записать в стандартном виде, входящем в формулировки теорем 2.1 илн 2.2, произвольно разбивая д(х) на две функции, т. е. д(х) = -+/(х) + д(х), где /(х) ==, ~/,(аз — х)', д(х) =-,,ь д,(аз — х)' .=о =-о (4.09) и -+-/.
+ д, = д,. й(ы предположим, что числа /. действительны и /о ) 0 (поскольку функция /(х) должна быть положительной). ') Обозначении / и д используются теперь в другом смысло. $7 Ф. олвер регулярную особую точку произвольного ранга а; сравните главу 5, т 4.1 '). 4.2; Аналогичным образом, если а = со, то достаточнымп условиямп выполнения неравенства У „(Р)( со нвляюгся соотно- гпения НРивл11женик лиувилля — ГРинА 1ГЛ. 6 258 Допустим сначала, что /з Ф О.
Тогда для достаточно малых ( аз — х ( имеем -114 0-1/4)" — 112 1 Х ( ) а — х '=з где коэффициенты с, зависят от /. и д.; в частности, сз = = — (уз+1/4)/з "2. Ясно, что ДлЯ схоДимостп У'„„(Р) необходимым и достаточным нвлнется выполнение условия сз = О. Р)сключая случай дз = — 1/4, этого монгно добиться, полагая дз = = — 1/4 и /з = ~уз+ 1/4(. Если цз ) — 1/4, то применимы соотношения (3.02) и (3.11); если же дз( — 1/4, то применимо соотношение (3.12) . В исключительном случае дз = — 1/4 функции / и д нельзя выбрать так, чтобы уз„л, (г") ( оо. Поэтому предположим, что /, (г ) 1) — первый не равный нулю коэффициент в разложении (4.09) фушгции /(х). Поскольку уз.— — — 1/4, то имеем (/ ' ) — е/ ' 18 г /, "2(аз — х) " ' '(х — «аз — 0).
Следовательно, Х'„,,(г") = со. Если дз = — 1/4, то некоторые усложнения возникают и в теории, наложенной в главе 5, зз 4 н5, поскольку определяющее уравнение имеет в этом случае равные корни. Аналогичные рассунгдения и выводы справедливы такгке в случае, когда аз — регулярная особая точка, расположенная в +со; детали предоставляются читателю. 4 44. Основные результаты у 3 и настоящего параграфа можно объединить в следующем утверждении.
При подходящем выборе функций / и д Л/-функг(ии дают асимптотнческие представления доминирующего и 14одчиненного решений в окрестности иррегулярной особой точки произвольного ранее, а также в окрестности регулярной особой точки, если показатели в ней не равны. УПРА1НННННЯ 43. Доказать, что прн больших положительных х уравнение и" — хзв'+ х-'и = О имеет независимые решенвя вида 1+ 0(х — ') и х зехр(хз/4) (1+ 0(х 4)). ь 42. Пусть функция е(х) непрерывна в (О, Ь) к ) х)з(х) (Ых ( вз; поз казатгч что уравнение 4гч = д(х) ы имеет решения вида 1+ о(1) н х+ о(х) прн х«+О.
4.3. Пусть функция /(х) аналитична в конечной точке а н имеет в нза нуль произвольного порядка, а функция Е(х) ограничена прн х — «а, Пока- вать, что у'(р) расходятся в а. Асимсттотичксссссе своиствл в 5! 4.4*. Показать, что если / ~ О, /" непрерывна, Е=ои] ]/ з/з/" ]ах<со, то У'х, х(Р) < оо и ] /~~~ах = оз [Коппель, 1965]. 4.5ь. Пусть /) О, вторая производная /" непрерывна, у = О, у'„, (х! < с гз с 5 з з < оо п ] /Ы-Вх < со;вывестп из упр.
44, что] / М /о"ах = <х и, следоаах х тельно, / зп/' — — оо при х оо. у1з этих результатов и тождества (/-и')' = сопя! — ] / с/ (/ П ) /с ах х вывести, что / Вх " в /' — 4лх-з при х — ~- оо, где о' — положительная постоянная [Поннель, 1966]. 5. Лсимптотические свойства относительно параметров 5Л. Рассмотрим уравнение —., = — (из/(х) + д(х)) ис, (5.01) в котором и — полон!игольный параметр„а функции /(х) и у(х) не зависят от и. Уравнениям этого типа удовлетворяют, например, различные специальные функции, рассмотренные в главах 2 и 5.
Мы снова предположим, что в заданном интервале (ас, аз) функция /(х) положсггельна, а /п(х) н у(х) — непрерывны. Применяя теорему 2.1 и отбрасывая не относящийся к сути дела множитель и "з, мы видим, что уравнение (5.01) имеет решения пс/(сс, х) =/ см(л)ехр(( — 1)~ ~и1/п~(х)ссх/(1-[-е/(и, х)) Ц = 1, 2), так что !Уо хйг! ]е/(и, х)](охр~ '" ,[ — 1, (5.02) Здесь штрих обозначает частное дифференцирование по х, афункция г'(х) снова определяется формулой (2.01). Поскольку г(х) пе зависит от и, правая часть (5.02) имеет порядок 0(и ') при больших и и фиксированных х.
Кроме того, если Уя,лн(Р)~ со, то член с символом порядка О является равномерным относительно х, поскольку У оях(Р) ~~(7 „, „(Р). Таким образом, сс,(и, х) / сыехр и — 1)' сй!/ссзс/х) (и-с-оо) '(5.03) равномерно в (ас, аз). ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛПУВИЛЧЯ вЂ” ГРИНА !гл, е 260 Мы получили (5.03) как непосредственное следствие оценок остаточного члена, выведенных в теореме 2.1.
Кроме того, как мы видели в з 4, этп оценки указывают на асимптотическое свойство приближения в окрестности особой точки дифференциального уравнении. В силу этой двойной асимптотической природы ЛГ- приближение является мощным средством для получения аппроксимирующих решений линейных диффере!щиальяых уравиенпй второго порядка. 5.2. Насколько оценки остаточных членов превосходят нх фактические значенпя? Частичный ответ на этот вопрос дается асимптотнческимн выражениями для е!(и, х) при и — ь оо. Вводя крьппечки над буквамн дла того, чтобы отличать символы в настоящем случае от соответствующих символов в з 2, мы полу- чаем 6 .== ИВ, а, — ос!во вР ( с) = и вР(с), вв" ( с) = Чв(3) == и 'У' Ф) Выделяя первый член разложения (2.15) н используя (2.11), мы видим, что е, (и, х) = е,, (х) =- (2и) ' ~ в)! (Р) гЬ вЂ” О, (и, х) + Оз (и, х), а, где (5.05) 0„(и, х) =- (2и) ' ) е '" ~'вр(о) до, й„ О, (и, х):=,вв (!, ь! ( 1) — !в, (с)).
в =! Так как функция ф(о) непрерывна в (а!, аз), метод Лапласа (глава 3, з 7) дает О!(и, х) = 0(и з) '(и — в-со)в нск.почва, возможно, случай х = аь Из (2.13) вытекает нера- венство Важное значение ЛГ-приближения вытекает нз этого свойства и аналогичного результата, получающегося при применении теоремы 2.2 к уравнению —, = ( — ив7'(х) + д(х)) и!.
Звм (5.04) 261 лспмптотичкскнв своиствл Подстановка этих результатов в формулу (5.05) дает з|(и, х) = — (2и) '(г'(х) — г'(а1)) + 0 (и ') (5.06) прп и- со. Это и есть искомый результат. Лспмптотпчоская форма оцопкп (5.02) для (е1(и, х) ) имеет внд / е, (и, х) ) =- (2и) 'у'... (Г) + 0 (и ). Очевидно, что она тесно связана с формулой (5.06).
Действительно, с точностью до 0(и о) это выражение совпадает с абсолютной величиной (5.06) в случае, когда функция Р монотонна в интервале (ан х). В этих условиях оценка остаточного члена является особенно точ~ой. 5.3. Дифференциальное уравнение может иметь особенность как в одной, так и в обеих концевых точках, причем формула (5.03) остается равномерно справедливой при условии, что У'(Р) сходится в обеих концевых точках. Этот случай имеет место, например, тогда, когда функции /(х) н д(х) удовтетворают условиям (4.01), если ао — конечная точка, плн условиям (4.06), если аг= со Пусть теперь концевая точка, например, ам является регулярной особой точкой. При малых ~ ао — т, ~ функции /(х) и а(х) могут быть разложены в сходящиеся отененные рлды /(х) =. о ~~ /о (ао х) ~ .=о Р(х) = , , д,(а, — х)', 1 =о в которых коэффициенты /.
действительны и /о') О. Предполоионм сначала, что /о чь О. Р(ак и в э 4.3, мы можем показать, что У'(г') сходится в ао при до = — 1/4. Если до Ф вЂ” 1/4, то можно получить сходящуюся вариацию, введя новый параметр причем верхний значок относится к уравнению (5.01)', а нижний — к уравяению (5.04). Тогда дифференциальное уравнение принимает внд — ';.'", =- (~ .э/(х) 6- й (х)) ю, где ь.(х) — я(г) /о (4 +Ко)/(х).
пгивлиигеиие лиувилля — ггпнл !Гл. а гзй В разложении д(х) в ряд по возрастающим степеням разности аг — х коэффициент перед (аг — х) 2 равен — 1/4; следовательно, вариация новой функции контроля ошибки сходится в аг. Предположим теперь, что /ю = О, но /! ~ О. В окрестности точки аг / — 4/4 (/ — !/4)л / — !/2 ( ) — г/2 ~~ ( )г =ю ' где сю =- — (дю -!)-3/16)/, ' . Поэтому У'(Р) сходится тогда п только тогда, когда дю = — 3/16.
Однако на этот раз мы пе можем рассмотреть случай, когда л» Ф вЂ” 3/16, с помо>цыо простого переопредоления парамотра. Этот более сложный случай мы затрагивать не будем. Если особенностягпл /(х) и д(х) являются полюсы, то результаты этого пункта можно суммировать следую>цнм образом. Пусть в конечной точке а функция /(х) имеет полюс порядка пг, а у(х) — пол!ос порядка >г, причем если и = О, то будем считать функцию д(х) аналитичесгюй. 1) Если >и «2 и 0 = и ((1/2)пг+1, то У'(с) сходится в а. 2) Если >и = 2 и п = О, 1 или 2, то с помощью переопределения паролютра лгож>го добиться того, чтобы У'(Е) сходилась во.
3) Если >и = 1, то У" (Г) расход!>тся в и, га искл>осе>гием осо- 3 бого случая, когда д(х) — — — '„. (х — а) при х — «а. Аналогичные результаты справедливы и в случае, когда /(х) и б(х) сингулярны в бесконечно удаленной точке. 5.4. Мы можем также исследовать некоторые дифференциальные уравнения, в которые параметр и входит иным образом. Рассмотрим более общее уравнение —, =- (и'/ (и, х) + а (и, х)) и>. (5.07) Из теоремы 2.1 нетрудно вывестп, что существуют решения и>,(и, х) уравнения (5.07), которые удовлетворяют услови>о (5.03) равномерно относительно х при выполнении следующих условий для хе=(а>, аг) и всех достаточно больпп!х положительных и! 1) /~и, х) ) 0; 2) д /(и, х)/дхг и л(и, х) — непрерывные у>унынии х; 3) Ул,„„(р) = о (и) при и-«ою. Точки а! и аг могут зависеть от и. Форма (5.07) охватывает, например, уравнения вида — = (иг/„(х) + и/г (х) + /ю (х)) и>, в которых функции /.(х) пе зависят от и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
