1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вторая теорема (8 2.4) относятся к осццлляторному случаьо. Теорема 21, Пусть в заьданнок коне ьном или беслане ььььыт интервале (аь, аг) фрнкьрья 1(х) полозсительна, действительна н двазкдьь дифферень)и)зуельа, д(х) — ььенрерывная действительная или комплексная фуьькция и (2.01) Тогда в этол интервале дьлфференциальное рравььение Нзиь —,„,.; =- Р (х) тл р (х)) имеет двалсды непрерывно дифференцируельые решенит и, (х) = 1 04 (х) ехр Д )Пг (х) дх~ (1 -; — е, (х)), (х) =-)-04(х) 1 ( — ) Уььг( )й )(1+ (х)). (2.
02) (2 03) такие, что )еу(х)~(ехР( — „У' „(г)~ — 1, — мг (х) ~ е (х) ~ ( ехР ( —, У', „(ь")~ — 1 () = 1 2) (2.04) в котором и — большая калош«тельная постоянная: показать, что ори х(х) =' 0 (см (1.09)) отнооьеяие ЛГ-функцмй к соответствующим точным реп«- виям близко к едььниьье, сслл — 8а « 1о х « 8а. Показать тав'ке, что орн в(х) = — х 04 ЛГ-фувьц«ц являются точными решенвямц. 247 Опенкн Остлточных членОВ нри условии л о..к (Е) ( оо.
Если Функция у(х) действительна, то решения также действительны. Интеграл (2,01) будет далее называться функцией контроля ошибки для решений (2.02). Достаточно доказать теорелгу в случае 1' = 1; соответствующггй результат для 1 = 2 мозно будот получить, заменяя в (2.03) х на — х. 2.2. Мы начнем доказательство теоремы 2,1 с применения преобразований (1.05) и и = 1 "'(х) И'. Уравнение (2.02) принимает впд ",'„",' =(1-1- Р(2)) Ит, (2.05) (2,06) '(ср. (1.07) п (1.10)). Выбор постоянной интегрирования в (1.05) несуществен: ои влияет лшпь на величину постояяиого мпожптоля, на который умножается окончательное решение.
Поскольку функция 1 положительна, ьь является возрзстающеи функцией х. Положим с = аг и в = аг в точках х = аг и х = аг соотзотстзенно; тогда при сделанных предположениях фД) непрерывна в (аг, аг) ° Подставив в (2,05) 'ту Д) = ег(1+Й(.) ), (2.07) получим Й" Д)+21г'( ) — гр(ь)1гД) = г) Д). '(2.08) Чтобы решить это неоднородное дифференциальное урзвнение от- носительно ЙД), мы рассмотрим член фД)ЙД) как поправку и перенесем его в правую часть. Применяя метод вариации пара- мотров (пли постоянных), мы найдем, что ьг й(с) = —, ~ (1 — е ы — "*-г)ф(о)(1 Ч-1г(о))г1о. (2 09) а, Молгно проверить дифференцированием, что любое дважды диф- ференцируемое решение этого интегрального уравнении Вольтерра удовлетворяет уравнению (2.08). Уравнение (2.09) можно решить методом последовательных приближений, использованным в главе 5, $1.
Прежде всего, мы предположим, что точка аг конечна, а функция гр($) непрерывна в аг. Определим последоватетьность Й.Д), в = О, 1, ..., соотно- пгсниями ЙоД) = 0 и йг(2) = —, ~ (1 — ез' — м)гР(о)(1+ Й, г(о)) аго (в) 1); (2.10) й, птпвлпжннии лиувилля — гепнв !Гт. 6 в частности, )г, (т) — 1 ~ (1 — ет" '!) гУ(гг) гггг. а, (2.11) Поскош,ку с — и ~ О, мы имеем 0 «( 1 — ег'" г' < 1.
,(2. 12) Следовательно '), (Ь, Д)(-: —. гу($), где Ч' ( Б) = ~ ( р (у) ( ог . а, Предположим топерь, что для некоторого значения и !Ь,(ь) — Ь, ! Д) ~ «Ч-"'()~))(в!2') как, паприъгер, в случае з = 1. Пз (2.10) имеем (2 13); Ьвег(Е) — Ь,(Е) = ь — ) (1 — епв — ") ту (гг) (гг, (и) — Ь,, (гг)) ого ! а, (в ~~ 1), (2.14) Следовательно, ~Ь.; (Ь) — Ь.(Е)(~ — ",, '1 ( р(о)(Ч*() г =- "' (1) г! ч" ' ! ! + 1)! 2'"! а, Позтому неравенство (2.13) можно доказать по индукции для всех з. Так как функция Ч"(ь) ограничена, когда ~ конечно, ряд Ь Л) = ~ (Ьв ь! (Б) — Ь, Й)) в=в (2 15) ') Равоиство имеет место в случае $ = аь сходится равномерно з любом компактном интервале изменения $.
То, что Ь($) удовлетворяет интегральному уравнению (2,09), теперь можно установить, суммируя выражения (2,14) и используя формулу (2.11). т1тобы доказать, что функция Ь(с) дважды днфференцвруема, достаточно убедиться в равномерной сходимости ряда 219 оценки остаточных члкнов % г! ~.(Ь, ь~Я) — Ь,Д)).Дифференцируя (2.11) и (2.14), мы получаем Ь~ (Е) = ) ен' — ".>ф(о) ои, а, с Ь,,, (Е) — 7г,. Д) .—.— ) еп" "~/ (о) (Уг, (и) — Ь,, (и)) й~. а, (2.16) Используя неравенство (2.13) и оценку )еео " ', (1, находим, что !Ь и (В) — Ьз(Е)(е=., ", (з =- О, 1, ...). (2.17) (.
+ г)~ г' Этим устанавливается равномерная сходпмость ряда ~".(Ь;, ~ (Е)— — Ь,(Е)) в любом компактном интервале. Для второго дифференци- рования мы используем соотношения Ь!'(Е) =- — 2Ь,'Д) + Ф(',), Ь, ~(Е) — Ь (Е) = — 2(Ь, ч (Е) — Ь,(Е)) + Ф(Е)(Ь„(Е) — Ь, ~Д)). Суммируя все сказанное, мы видим, что уравненшо (2 05) удовлетворяет функция (2.07), в которой ЬД) задается формулой (2.15). Применяя оценки (2.13) п (2.17) к ряду (2.15) п и его производной, нетрудно установить неравенства ! ЬД) ~, —,) )У (а) ) ( ее'-пе — 1.
(2.18) Возвращаясь к переменной з с помощью дифференциального соотношения И$ = 7"~ел, мы находим, что выражение — ~ ф Д) пь равно функции контроля ошибки Г(х). Поэтому Ч'Д) =У;„,.(Г), и неравенства (2.18) превращаются в нскомгяе оценки (2.04). 2.3. Остается рассмотреть следующие случаи: 1) значение а~ коночно, а функция ф(Е) разрывна при Е = аь и 2) а~ = — оо. Заметим, что функции Ь,(З) определяются теперь через интегралы с бесконечными пределами. Однако, по предполоясению, пнтеграл 3 (ф(о) (досходится, н зто гарантирует (абсогпотную) сходив, мость всех интегралов, встречающихся в выкладках.
Тот факт, что ряд (2.15) удовлетворяет соотношению (2.09), можно установить, воспользовавшись наличием мажорирующего ряда (глава 2, 3 8.2). Остальная часть доказательства проводится, как и раньше. 220 пгпвлижкпик лпувплля — ГРУВА ггл, э Следует отметить, что в силу оценок (2.04) решение шг(х)' удовлетворяет условиям (см. формулу (2.03) ) г,(х) — «О, 1 — ггз(х) ег(х)-«О (х — «аг ла 0). (2.19) Лналогпчноо утверждение справедливо п для второго решения 2.4. Соответствующая теорема для уравнений с решенпямп осцплляторного типа формулируется следующим образом.
'г" е о ром а 2.2, Пред!!алоисам, что выполняются условия теоремы 2,1 и а — произвольная конечная или бесконечная точка из замыкания (аг, аг). Тогда в (аг, аг) дифференциальное уравнеггие —, = ( — 1 (х) + у (х)) ш (2 20) имеет дважоъг дифференцируемые решения шг (х) = 1 — м! (х) ехр (1 3 1Г в (х) дх) (1 + е, (х)), игэ(х) =-1 — М" (х)ехр! — 1) 1ггз(х) г(х~ (1 — ', е,(х)), (2.2!) такие, что УПРАЖПЯ1!ИЯ 2.1. Заменим условия непрерывности 1" (х) и В(х) ва условия кусочвси непрерывности тав, чтобы 1(х) и У(х) остались непрерывными. 11окээать, что теоремы 23 и 2.2 и в этом случае будут справедливыми, если исключить утверждение о непрерывности вторых производных решений.
)е,(х) ( ~( ехр (У,,„(Е)) — 1, '(2.22) 1-гг'(х) )е,(х) ! ~ ехр (У'., (Р)) — 1 (у = 1, 2)' нри условии У;,(Р) ( со. Если функция д(х) действительна, то рсгиения ш,(х) и шг(х) являются комплексно сопряхсеннымш Доказательство аналогично. Интегральное уравнение, соответствугощсо (2.00), имеет впд )г(с)'=-= —, ~ (1 — ез" — тг) гР(о) (1-)- Л (о)) до, (223) а где и есть аначенпе с в точке х = а.
Отсутствие коэффициента 1/2 перед вариацией в (2.22) по сравнению с (2.04) обусловлено тем, что наплучшая оценка ядра в формуле (2.23) имеет впд )1 — еви гг! ( 2, Выбор точки а фиксирует начальные условия, которым удовлетворяют решения: ег(х)-«0, 1-ггз(х)е, (х)-«О (х- а, 1 — -- 1, 2). Лналогпчной свободы выбора нет в теореме 21, посколыгу неравенство (2.12) пе выполняется при с ( о. Асиьгптотзгчиснггк свойствл ю" (х) = (пь" + 2!Ь соз х) ~п (х) пмсот решения р, (и)ехр ( — х+и я ри (х) етр [ — х — е ь где (р<(т) — !( (стр((Ьи+1)04)ои(е "— е )) — 1, ) р, (х) — 1) М ехр ((Ьз -(-1)64)ЫЗ е х) — 1.
2.4. Показать, что если ю" (х) = (1+ х-з(10) ю(х), ю(1) = 1 и ы'(1) = = — О, то ю (2) = [ыи (2) ю! (1) — и г ( ) и „(1)]/(юз (1) и ! (1) — юг (1) ю, (1)), гле функцвя иь(г) и юз(х) задаются равенствами (2.03) прп а~ = 1, аи = 2. Вычяслить проб:шжеяпое значение и (2) и оцешпь макскмааьвую ошвбку етого резуаьтатп. 2.5, Показать с помощью уар. 2.2, что прп действительной функции п(х) урзавеяае (2,20) пмсст общее рсшенпе й(х) = А(-ы'(х) [з!и( ] /ми(х) Ах+ Ь) + е(х) ], в котором А и 6 — постоянные в )е(х) ), ( ьт(х))е'(х) ] ( еяр(У'„(р)) — 1. Показать, что если а~ в ат ковсчвы, а звачевпя и (а,) и и(аи) заданы (срииичииа задача), та (х 5(п ) У (!) с(1~ -)- е1 (х) ( ! (пз) ~!М [ / (х) ] Юп и+ зг (аи) и (аи) + ( '( с [! м м ([мы!ми)~-.,М /(х) ] а)ппжс,(ад) ыз где с=-] / (Г)А и [с.(х)[Метр(У (Г)) — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
