1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Вывести пз (15.03), 'гто если т стремятся к босконечвосгп эо погледавате:гьностп паложптсльных значений, то тиР и (саэ (х/т)) стремятся к 1„(х). Исторические сведении и дополнительные ссылки Папи весь материал этой главы является класспческнлг. Сущестэевпып образом были использованы ккигв Бейтмева и Эрдегпг (1973) и Уяттекерэ и Ватсона (1963). В данном вьппе выпаде свойств гвпергеометрпчсско(1 функции и функций Лежандра уделено несколько больше внимания апалптл искай тсарпп дифференциальных уравнений, особенно голомарфлостя относительно параметроа (теорема 3.2), Новые обозначения Р и () для решений гипергеометрнческаго уравнения и присоединенного уравнения Лежандра были введены с неноторым колебавием.
Однако в настоящем подходе использование решений, целых по всем параметрам, имеет существенные преимущества. Кроме того, многие формулы, в которые входят Р и 4), упрощаются для функций Р и (). 44 1 — 6. Относительно обобщения яа линейные дифференциальные уравнения более высокого порядка и системы уравнений см., например, Айпс (1939) или Хартьган (1970). Каждая пз этих работ содержит татке обширныо нсторичесние сведения. 44 9 — РП Относительна дальнейших ссылок и свойств гипергеометрической функции и особенно обобщенных гивергеометрических функций, см Бейтмен и Зрдейи (1973), Каратеодори (1960), Слейтер (1966) и Люк (1969а, Ь).
НСТОРНЧЕСКНЕ СВЕДБН11Н 241 Ц 12 — 25. Классической работой по функциям Лелзавдра является книга Гобсона (1952), Другие обширные последовании включают книги Сноу (1952), Робина (1957, 1958, 1959) и Мая-Роберта (1967). В интегральных представлениях в теореие 1ЗИ для Р в(з) на параметры наложены более зкесткпе ограничения, чем в интегралах по петле, испальтоваяных Гобсоном (1952, $118) в качестве определения. Преимущество нашего подхода занлючается в том, что он сразу вынвляет свойство подчиненности фуннцпп Р "(г) в точке з = 1. Интегральное представление в теореме 13.2 для () "(а) совпадает с определением Гобсона (Гобсон, 1952, $125). $ 15.1.
Феррерс (1877) рассмотрел присоединенное уравнение Лсшандра в случае, когда е и р — неотрицательные целые числа, я детально научил только одно решенве, которое он обозначал через Тт"~(л) В наших обозначениях Т~~и1(х) = ( — 1)" Рв(х). ГЛЛВЛ 6 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНА 5 1. Преобразование Лиувилля 1.1. В этой главе мы начинаем изучение приближений длл решении дифференциального уравнения вида — „., =/(х) ш, (1.01) в котором х — действительная игщ комплексная переменная, а /(х) — заданная функция. Все однородные линейные дифферснциальные уравнения второго порядка могут быть прпведоны к этому виду подходящей заменой зависимой плп независимой псремеяно!г. Простсшисе прполпжеппс получается, если предположить, что /(х) — лооп!пиная величина.
Тогда и ='Ае" г'г+Ве ""'", (1.02) тле Л и /г — произвольные постоянные. Приближенно имеет тапок ке вид, если функция /(.т) непрерывна, а рассматриваемые интервал или ооласть достаточно малы и не содержат начала каор;шнат. Другими словами, формула (1.02) дает описание локального ггоеедения решенгш, В частпостщ мо;кио ожидатгч что в интервале, где ((гункцггя /(х) действительна, положительна и модленно меняется, решения уравнения (!.01) имеют энсионенциальныб характер, т. с.
могут быть записаны в виде линейной комбинации двух решений, величины которых монотонно пзменяготся, причем одно возрастает, а другое убываот. /гналогггчно могкно ожидать, что в интервале, где функция г(х) отрицательна, решения (1.01) имоют трнсонолгетричесннн (плн осдилляторный) характер. В последующих параграфах мы увидим, что эти предпологкения, вообще говори, верны '). ') Ясквючеапем является, вапрямер, случай, когда Ял) = а(а — 1)/»', где х ) О и а — такая постоянная, что О ( а < 1. Хотя функция /(л) отрицательна, решения ю = А»" + В»г " прп а + — пля ю = хч (А + В!п х) 1 2 лрв а = 1/2 яе являются осцявлнрующпмп.
24Э ПРКОГРАЗОВАНПК ЛПУВПЛЛЯ в ]] ру = (ь'(х))"'>о. ('1.03) Тогда функция Ит удовлетворяет уравнении> вьИ' а2 (:2У( )+'>> (' — У))И аэь ( ' дэь (1.04) где точка обозначает дифференцирование по $, Это утвержченне проверяотся прямой подстановкой.
Ксгп! рассматривать ~ как независпму]о перел]енпу]о, то уравнение (1.01) преобразуется в а2в х«д ' 2 — — †. †, =-х21(х) и>. Слагаемое с нарвой производной исчезает, если взять новую завпспму>о переменку>о в форме (1,03). Прп этом уравнение принимает впд (1.О!). Преобразование, указанное в теореме, известно под названием преобразования гуиувилля.
У>орое слагаемое в коэ]р])п]циенте перед И' в (1.04) часто записывают в виде а2 : (х "2) == — — (х В а22 в где (х, э) — производная в сжысле Прес>рца, х Э]х (х, с)= —" х х 1.3. Для за;>анной фупкппп /(х) добпться, чтобы коэффициент перед И' в (1.04) был ностоянноп велпчпнон, не проще, чем точно решить первоначальное дпфференпиальное уравненпе (1.01).
Но- этому иы огранпчпмся тем, что выберем э(х) так, чтобы член х21(х) был постоянным, причем мы можем без потерк общности считать его равным единице. Тогда 2(х) = ) )]>2(х) дх. (1. 05) Если предположить, что функция 1(х) дважды днфференцнруема, то можно вычислить производную в смысле Шварца, н уравнение 16* 1.2. Для большинства задач приближение (1.02) слншком гру- Г>о. а]ы попытаемся улучшить его, предварительно преобразовав (1.01) в дпфференцяальное уравнение такого х]е тяпа, в котором функция 1(х) заменена функцней, изменя>ощейся медленнее. Т е о р е м а 1.1, Пусть >о удовлетворяет уравнеии>о (1.01), Ц(х) — - произвольная трижды дифференцируегвая функция х и пгпвлззжвзшв лпувплля — ГР1!Нл (гл в ,(1.04) првнимает впд Взх — = (1+ ~р) Ит, в",' (1.06) 41(х) 1" (х) — 5Г (х) Вз ( 1 19)з (х) )дн Вхз ( УУ /' До спх пор выкладки были точными.
Если же теперь пренебречь вкладом ~р, то незавпсимымп решенпямн уравнения (1.06) будут функции е"'. Возвращаясь к первоначальным переменным и аамечая, что $'(х) =/"з(х), мы получаем й, ~~,тве)тп вх+ В,,д — (тп вх ') Ояе называется также ВКБ (яля ДВКБ-)-врябляжеяяем, см. стр. 291.' з) Джеффрис я Свярлс (1969, $17.122). где А и  — произвольные постоянные, Это выражение называется приближением Лирвилля — Грина (ЛГ) ') для общего решении уравнения (1.01).
Выражения в формуле (1.08)1 пвехр() )псах) и 1 П" ехр — () 1П-'Нх) называются ЛГ-фунщиями. Очевидно, что точность приолпженпя (1.08) связана с вели« чикой отбрасываемой функции у в рассматриваемой ооласти. Строгое исследование втой зависимости будет проведено в следующих параграфах. Здесь же мы просто отметим следующее: можно ожидать, что величина )~р( мала н, следовательно, приближение становится более точным, если велнчина ))' и"'( достаточно мала плп медленно меняется.
Этим условием охватывается и случай. когда применимо более простое приближение (1.02). Отметим сразу же важный случай, когда указанное приблшкение становится неприменимым: интервалы пли области содержат нули функции 1. Очевидно, что тогда функция «р обращается в бесконечность в зтнх точках и приближение теряет смысл. Нули 1 вавывззотся точками поворота плп то гкалш ветвления дифференциального уравнения (1.01).
Основанием для таких названий является то, что когда переменные действительны, а нуль — простой (или, в более общем случае, нечетного порядка), то оп отделяет интервал, в котором решения пмезот экспоненцпальный внд, от интервала, где они осциллируют. В настоящей главе мы предполагаем, что все рассматриваемые области не содержат точек поворота. 1.4. Другой формальный путьз) вывода ЛГ-приближения состоит в использовании уравнения Риккати и'+гх = /, вп ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛИУВИЛЛЯ которое можно получить пз (1.01) с помощью подстановки пт = =-екр( ~ опх). Чтобы решить это уравнение, ыы сначала отбросим слагаемое п' и получим, что о=' ° ~~из = пэ В качестве второго приближения имеем лс ().
о')ы~ ~ еит(1 ~ у ) . р!з ( ~уз! 3 прп условии, что )т") « 2)т') "т. Пнтегрированпе последзтего выражения приводит к формуле (1.08). 1.5. Преобразование, определяемое формулами (1.03) и (1.05), можно применить и к дифференциальному уравнению — „,, =И(х)+И( )) (1.09) Тогда мы получпы (1.10) где функция ср определяется равенством (1.07)'. Так же, как и раньше, осли )ср! « 1 и !у/ « )1) в интересующей нас области, то можно надеяться, что выражение (1.08) приолтпкает решения (),09). Мы можем, конечно, рассматривать коэффициент )(х) + д(х) в (1.9) как одну функцтпо переменной х п использовать формулу (1.08), заменяя / на /+д.
Однако когда коэффициент перед пт разбивается на две части, часто можно получить лучшее приближение '); кроме того, упрощается вычисление интеграла в (1.08). Эти преимущества станут более очевпднымн неже в 2$4 п 5, УПРЛЖПЕНПП )Л. 'Прнменян последовательные преобразования Лнувплля, доказать тазеаееееа ггевли (х, ь) = ~ †, ) ',х, з) -р (з, ь). Вывески формулу Р ~~х УЗ (х, з) =- — ( — е ) (ь, х). 1 2 Показать. что еслн Р— дважды днфференцнруемая функция, а о— двффсренцнруемая функция, то уравнению Кд 4 З РМ й~ е — ЫМ ) Из +Ч И + —,— + — Чз — Р— Р— (р ))Ит О (2 Нх 4 а ха ') Первым это отметил, по-видимому, Джеффрис (1924). пвьгнл11>кешье льгувгглля — ГР!шх 2тьб ьгл з удовлетворяет функция И'= р ьысхр(+ ~ рь)тих — —,) Евх). 1.3.
Показатзь что приблптяевее (1.08) является точным тогда и толь«о тогда, когда 1 =- (ах+ Ь) ', где и и Ь вЂ” постоянные. 1.4. Пусть дано уравненьго азль — =а(а — 1)х гй, ч 2. Оценкп остаточных членов: действььтельиьье Переменные 2.1. Рассуждения, приведшие к формуле (1.08), были чисто формальцымп. Основным допущением бьшо црсдиоложенпе о том, что решения дцффсреьщпальното уравноппя (1.06) нлп, в более общем случае, (1.10), цс отлпчаются существенно от решозьь~ьй упрощенного уравнения аЫ))т!ьЦг = 1)т. Стедугон)ая теорема дает строгое обосновашш в случае решения экспоненциального тцпа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
