1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 50
Текст из файла (страница 50)
доказывается, как н предыдугцпе теоремы, Мы определяем последовательность (Ь,(с)) условиями Ьо(Ц) = О, Ь, (~) = ~ К (Е, ь) сс (о) г' (о) сЬ (10.04) и: " + 6) — ". Й) =,~ )4 ($ ) (з(г (о) (Ьо 0 ) — Ь' — ( ')) + а + Ф (') ()г — )г,— г ( ))) сго (з 1). (1005)' Используя условия (5) и (О), мы получаем (Ь,©~<Р,(Ь) ~ д( )( р(.)У(.) 7. («=ЬР,© 1 а. а Поэтому, если "„г и „-г — любые фиксированные точки из (а,1г)оо то интеграл (10г04) сходится равномерно относительно $ е=.
(сг, ог]. Объединение этого результата с условиямн (2) и (3) показывает, что функция Ьг(с) непрерывна в (сс, р) '). Далее, дифференцируя (10.04)6) и используя условие (4), мы получаем )гг ($) — -- 1 З.' с( (о) у (о) у . Следовательно, в силу аналогичных аргументов функция Ьг($) неггрерывна и допускает оценку !Ь',а)!~ЬР,афа. Отправляясь от атих результатов н используя равенство (10,05)' н его производную, мы можем проверить по индукции, что ') Слагаемое гггЧгг(6) в (10.03) можно опУстить, если ф,(о) = О. о) Г. 51. Фихте в г о л ь ц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М., «Наука», 1970, и.
508. ') Там жо, и. 507. '281 оценки остлточных члкнов е и) каждая функция Ь,(б) непрерывно дифференцпруема и ) »... (%) — », (2) ) ( »' ., (4) — »', (4) ( (» ч, (4) + »,ч, (1))' (в ~ 0). (10.06) Искомое решение имеет впд Непрерывная дпфференцпруемость зто11 суммы вытекает яз (10.06), так как ряд мажорпруется и поэтому сходится равномерно в [ ь ез1..
Последняя формула также показывает, что Ь(в) удовлетворяет уравнеяию (10.01), и дает искомые оценки (10.03). Соотношения (10.02) получаются непосредственно, поскольку ФД), Ч'з(е) и Ч" 1(с) стремятся к нулю прп е-+а. Сформулированное свойство Ь" (Е) проверяется с помощью второго дифференцирования (10.04) и (10.05). Для завершения доказательства теоремы мы должны показать, что решение Ь(с) единственно. Это можно осуществить способом, аналогичным наложенному в $ 1.3 главы 5.
Детали оставляются читателзо. 10.4. Оценки для Ь(с) п Ь'Д) моягяо уточнить следующим общим образом. Теорема 10.2. Примем условия 4 10.2 и предполозким, кроме того, что гр(о) = ~)в(о), зрч(о) = О. Тогда решение Ь($), описываемое теоремой 10.1, удовлетворяет неравенствам р ~~~ р р) ~~ » (ехр()г~б'(в)) — 1) (10.07) )» б) ) )»л 14) )» Идея доказательства но отличается от предыдущих, и оно снова предоставляется читателю в качестве упражнения. УПРЛЖНЕПНЕ 10лб Показать, квк теорема 10.2 может быль првмекека Лля доказательства теорем 2.1 к 2.2.
4 11. Оценки остаточных членов: комплексные переменные 11.1. Мы обратимся теперь к приближенному решению дифференциального уравнения †, = (7 (г) + д (з)) и (11.01) Г ПРИБЛРЛКННИЕ ЛИУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНА !ГЛ 6 282 в комплексной области П, в которой функции 1(з) и я(з) голоморфны, причем 1(з) не обращается в нуль. Мы предположим сначала, что 0 односвязна; зтим обеспечивается однозначность решения уравнения (11.01) (глава 5, з 3.1). Преобразование ь = 3 ~па(з) дз отображает П на некоторую область Л.
Отображение не имеет особенностей, поскольку 32/дг не обращается в нуль, и его можно считать взаимно однозначным, предполагая (если это необходимо), что Л состоит пз нескольких римановых листов. Функция ф(Б), определенная формулой (2.06) (где персмеппая х заменена на г), голоморфна в Л. Рассул.денна з 2.2 справедливы без изменении до неравенства (212); таким образом, мы снова получаем Ь" а+2Ь'а = фа (1+ЬД)) '(11.02) 1 Ь(о) = — ~ (1 — ен" ы)ф(р)(1 + Ь(р)) пр. (11.03) а, Чтобы оцспкть ядро в случае, когда обе переменные комплекс- ны, мы предположим, что в интегральном уравнении (11.03) ин- тегрирование ведется вдоль заданного пути ~, состоящего из ко- нечной цепочки Лв-дуг в комплексной плоскости, и Веи пеубыва- ет, если р удаляется от начальной точки и~ вдоль ГС. Тогда (ем" "( ( 1, (1 — ем" ") ( 2 прп ре=(аь Цо.
(11.04), Применяя результаты Ь 10 прп я = пь К (Е, и)=- —,(1 — еи" — Ы), 2 дК/д$ = ез' и, Р'Д) = Р ($) = ()(р) = 1, У(и) = 1, 11(п) = = ~ро(р) = $(р) и ~р1(р) = О, мы выводим из теорем 10.1 и 10.2, что уравнение (11,03) Имеет решение, которое непрерывно дпф- ференцируемо вдоль ~ н удовлетворяет оценкам )Ь(ь) (, )Ь'Д) )(еиол — 1, где интеграл вычисляется вдоль гс. 11.2. г1тобы завершить рассмотрение, мы должны показать, что Ь Д) также удовлетворяет дифференциальному уравнению (11.02) в комплексной плосности. Прямой подход затруднителен, поскольку множество допустимых точек Ь не обязательно содержит область '). Вместо етого мы поступим следующим образом.
') Ср. упр. Ы,2, приведенное ниже. Оцеегкн Остлточегых членов Згц Предположим сначала, что аг — данная конечная точка гг. Из теоремы 3.1 главы 5 мы знаем, что при заданных начальных условиях каждое голоморфиое решение И'Д) уравнения (2.05) единственно. С учетом (2.07) это означает, что в Л имеется единственная голоморфная функция ЬД), удовлетворяющая уравиенаго (!1.02) и условиям Ь(а~) = Ь'(сг~) = О.
Вариация параметров показывает, что Ь Д) такяге удовлетворяет уравнению (11.03), а поскольку в силу теоремы 10.1 решение ('11.03) единственно, то отсюда вытекает равенство ггпу) = ЬД) вдоль ~г. Пусть теперь сгг — бесконечно удаленная точка, лежащая па некоторой Лг-дуге .ег'г. Если )г(с) — решение уравнения (11.02), удовлетворягощее равенствам Ь(7) = Ь(7) и Ь'(7) = )г'(7), где 7 — произвольно выбранная конечная точка пути ©, то Ь(ьь) =— = — ЬД) всюду на гг. Для доказательства сначала выводим из (11.02), используя вариациго параметров п условия в точно $=7, что )г (с) =- — ~ (1 — ен™М) гР (и) (1 + )г (п)) ого -'; + — ) (1 — еп" — Ы) ф(и)(1+ Ь(п)) ьггг, 1 а, Вычитание уравнения (11.03) пз этого выражения дает ЬД) — ЬД) = —,)(1 — еню гы)г)'(е)(7г(и) — )г(п)) рл Рассматривая это соотношение как интегральное уравнение для !гД) — ЬД) и применяя теорему 10.1, где 7 играет роль гг, мы получаем, что ЬД) = ЬД)').
Чтобы гарантировать, что Ь(",) — одно и то жо решение уравнения (10.02) для всех путей Щ, мы наложим условие, чтобы эти пути совпадали с л'г в окрестности яг. 11.3. Собирая вместе полученные результаты и аналогичные результаты для второго решения дифференциального уравнения п возвращаясь к первоначальной переменной з, мы приходим к следующей теореме.
') Имеем Рь(ь) = Р~(ь) = г2(и) = 1 или Рь(в) = Р~(З) =(е гг( и 17(о) = (е" (, в зависимости от того, с лавой стороны от т расположена точка $; во поскольку ~в(и) = У(и) = О, то оавлгочеиие о тои, что Ь(с) — Ь($) = = О, справедливо в обоих случаях. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛПУВИЛЛЯ вЂ” ГРПНА 284 1ГЛ. В Теорема 11.1. При условиях, сфорлгулированных в начале $ 11.1, уравнение (11.01) илгеет решения ш1(г), 7=1, 2, голоморфные в 0 и зависяи!ие от произвольно выбранных точек а, и аг, такие, что и,(г)=( '"(г)ехр(( — 1)' 1$(г))(1+г,(г)), (11.05) где 2(г) = ~ (пг[г) сЬ, (11.06) (гт(г)/, ~/ нг(г)е,(г)!(ехр(У', л(Р)) — 1, (1!.07) при условии, что г ен Н,(а,) (см.
ниже), В этой теореме функция контроля ошибки снова имеет впд а ветви дробных степеней функц1ш 7(г) должны быть непрерывныкил в О, причем !"1(г) является квадратом функции !и" (г). а; Рас. !1.1, К, ( — оо+18) Рас. 112. К,! — со — Й), Каждая ооласть справедливости Нг(а,) содер1кпт множество точек г, для которых существует путь Я1 в О, связывающий г с а 1 и ооладающий следующими свойствами: !) о., состоит из конечной цепочки Лг-дуг; 2) когда г излгеняется вдоль о1 от а1 до г, функция Ве (ч(г)) не убывает, если 1=1, и не возрастает, если !1=2.
Вариация функции Р в (! !.07) вычисляется вдоль У',, И наконец, точка аг может быть бесконечно удаленной, лежащей на кривой х„если У'1 совпадает с 2'1 в окрестности аь а У (Е) сходится, 11.4. Если не требовать односвяэности области Р, то решения уравнения (11.01) будут многоэначными функциями. В этом случае каждая ветвь решений ш1(г) удовлетворяет (11.05) и (11.07), 285 оцгнкп остаточных чиннов если оказывается, что путь У~ удовлетворяет в Р условиям 1) и 2). Каждая дробная степень функции /(г) снова должна быть непрерывной вдоль Эт,.
Мы будем называть путь Уь удовлетворяющий условшыг 1) и 2), ~-поступательньгм пргель ОбРаз Уз в плоскости поРеменной 9 будет называться просто поступательным путем. Мы будем называть условие 2) условием монотонности, наложенным на области справедливости. Предположилг, например, что единственной особой точкой функции ~р(9) является е = 0 п вариация функции контроля ошибка сходится на бесконечности. Мы можем считать Л состоящей нз всей плоскости переменной 9 с выброшенным началом координат, и сделать Л односвязкой, введя разрез вдоль отрицательной действительной полуоси.
Положим аз = — со+(б, где д()0) — произвольное число. Тогда Ц-образ К~(сг~) области Н~(а~) содержит сектор — и/2 агбеь ( гг (рис.11.1). Точки в оставшемся квадранте нельзя соединить с яи не нарушая условия монотонности. Области на плоскости переменной $, исключенные таким способом, п их г-образы называются зонами тени '). Хотя решение ит~(г) существует п голоморфно в зоне тепп, оценки (11.07) в ной тгецрпхгенпмы. Решотгпе в зоне тени можно построить, полагая сг~ — — — со — (б, как указано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
