1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Асимптотические приближения для больших собственных значений можно найти следующим образом. Из теоремы 2.2 следует, что общее решение уравнения (9.01)' можно записать в виде х е,.а =леа~-"'а) [.;. [ (а (аа~ 6еа [; —.~,а~, или а, где величины А(и) и б(и) ие зависят от х и (е(и,х))(еир(и ~у'а„х(г)) — 1, (9.ОЗ) аа гйв(ис) -(-е(и, ае) =О, с= — ~ /оз(феИ. (9.04) ~ а, Так как с(и, ае) = 0(и '), то, как и в главе 1, т 5, мы получаем и = пис '+ 0(п ') (п-~-сс), (9.05) где и — положительное целое число. Это и есть искомое приближение для собственных значений. ') Иля собствеииыии фуивцияии.— ларам. рад. причем Р(х) снова определяется формулой (2.01) . Вариация у'...„(Г), по предположению, конечна; поэтому з(и, х) имеет порядок 0(и ') при больших и равномерно относительно х. При х = аь имеем з (и, х) = О.
Следовательно, з1п(6(и) ) = О. Без потери общности можно положить б(и) = О, поскольку все другие значения, кратные и, приводят лишь к умножению й(и, х) на ~1. Из второго граничного условия вытекает ра- венство 275 ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ $ з) 9.2. Чтобы получить оценки для члена с символом порядка О в (9.05), мы введем обозначения И =- у'„,„(/7), 9(и) = агсе1п(е(и, а,)). (9.06) Из (9.03) имеем ) е (и, аг) ) ~ (е"'" — 1. (9.07) Следовательно, если и ) д/)п2, то )е(и, аз) ) < 1 и тогда в силу неравенства Жордана ) В(и) ) < (л/2) (еп 1) (9.08) Уравнение для собственных значений имеет вид еэ(и) — = ис — пл+( — 1) "9(и) = О. (9.09) Пусть и настолько велико, что число (и — 1/2)лс ' превосходит д/1п 2.
Тогда ы((п — 1/2)лс-') = — (л/2)+( — 1) "0((п — 1/2)лс ') -' О, в то время как со((п+ 1/2) лс ') = (л/2)+( — 1) "В((п+ 1/2) лс-') ) О. и=(и+т)лс ', (9 10) где )т) < 1/2. Тогда из (9.09) имеем тл = ( — 1) " '9((п + и) лс-'). Следовательно, из (9.08) мы получаем са )т) < —.ехр) 2 ((а — $72) л) 2 ' (9.11) Соотношении (9.10) и (9.11) содержат искомую формулировку условий для собственных значений. Они справедливы, если и (1/2) + са/(л 1п 2).
Соответствующее собственное решение имеет вид В силу теоремы 2.1 главы 5 0(и) — непрерывная функция и. Позтому по крайней мере одно собственное значение удовлетворяет неравенству (и — 1/2)лс ' < и <(и+1/2)лс '. Чтобы найти более точные границы интервала, которому принадле7кит зто собственное значение, полоншм шл. е пгивл!гнгкнип лиувгглля — ггггня где (.т.,н „(р) ) Собственное решение можно записать и в другом виде, заменив в обоих вырангеггггях аг на аг. 9.3. Чтобы выяснить возможность наличия более чем одного собственного значения вида (9.10), для которого (т~ ( 1/2, мы используем знак производной ю'(гг) (ср.
Е 8А). При сформулированных выше условиях из теоремы 2.2 следует, что для любой точки а пз [сгг, аг] уравнение (9.01) имеет решения го;(и, х) = = / гсг(х) ехр (( — '1)' гйн ) /ь'з(х) ух~~~(1 лп е-(и, х)) (/ = 1/2), текне, что (Х „л (у) ) ) е) (гс, х) ) ( ехр( "" ) — 1, (9.12) Теперь пам требуется информация относительно производных остаточного члена по и. Т е о р е м а 9.1. 12ри условиях 1 9,1 фуннйии е, (и, х), де /дх и дег/ди непрерывны гго и и х при и ) 0 и хе:— (аг, аг), причем ~ '' ~=-Г': де( (и, х) ( (~У„л (1] ((+У'„„(с)) У „„(УП (У „„(Г) ) Здесь у)унссг(ггя Р(х) определяется Яоргггулой (2.01) и /(х) =- ~ /гсз (х) у' . (р) с/х. (9.14) Этот результат можно доказать прямым продолжением докааательств теорем 2.1 и 2.2.
Детали оставляются читателю в качество упражнения. Чтобы применить теорему 9.1 в настоящей задаче, пологким а=аг. Тогда остаточный член, о котором шла речь в т$ 9.1 и 9.2, связан с остагочпымн членамя, указанными в теореме, следующим образом: Ф 2ге(и, г) =- ехр (и ) /'сз (() д( е, (и, х)— ю — ехр — ги ~ /"з(() с(г е,(и,х). а, злдлчгг ггь сонстпеннык знлчяния 9 з! 277 Используя (9.12) и (9.13), мы получаем (3, ( )и 1' " (ь.
лг)~,. ( г + ( -т-.,) .1 »,» . „,»,» „ ди где с п с( определены формулами (9.04) и (9.06) и аа 7, — ( /пг(1) У=, д(Ь') агт, аг Дифференцирование равенства (9.09) и второго соотношения в (9.06) дает ю'(и) = с+( — 1) "6'(и), 0'(и) = (1 — кг(п, аз)) '"(дз(гг, аг)/ди). Если и ) г//!и 2. то е"» ( 2 и !1 иа )а !6' (и) )»-. „,ж ( — '+ .,' +с(1 — е щ»)~ =: р(и). (9.16) Функции р(и) строго убывает от бесконечности при и= Ип2 до пуля при и = оо, Пусть и = ио — корень уравнения р(и) = с в втой области. Тогда из первого соотношения (9.15) следует, что ю'(и) ) 0 при и ~ ио Позтому существует точно одно собствен- ное значенио вида (9.10), для которого )т((1/2 при половин, что и ~(1/2)+ и-'сио. В силу симметрии можно заменить аг на а, «г === ~ / "з (1) У-а,д (Е) «1 а, в выражении для р(и). Прп етом в случае дг ( дг получается более сильная оценка для 6'(и).
УПРАЖНЕП!1Л 9 1. Пусть Ь вЂ” любое число, удовлетворяющее условщо 1 < Ь (1 -!-а — 'м Показать, в обозначенилх 1 9.3, что о(и) ( с, когда и превосходит каждое нз чисел г!а) !и Ь !пЬ а(2Ь вЂ” г 1)мз с(1 Ь вЂ” г)' 9.2, Полагал Ь = 3/2 в предыдущем упражнении, показать, что если в — любое целое число, превосходищсе единицу, то между числами 3»л 3л Г ( 49 ехр) 33 13 1 — 11, лежит точно одно собственное значение 7 14( ( лл — л1 в дифференциального уравнении ма+ игхгга = О, ю(1) = ю(2) = О, ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНЛ ИГЛ. З 278 9.3. Пусть й — постоянная нз интервала (О, 1/3) к ц = Зйк/(2(1 — й)) Покааатьь что для каждого целого числа я, превосходящего (Ч/1в 2) + 1,'2, существует по крайней мере одно такое число ч, что ! У( ~ — ехр~ 2 (,я — 1,2~ 2 и лвфферепцкальвое уравнение зеа, / Зй (7с — 3/г созе 0 — 2 оса О) ) лйа +(("+ ) 4(1+Ьсоа0)ь имеет нетривиальное перводмческое решение, являющееся нечетной фувк- цпсй 0.
5 10. Теоремы о сингулярных интегральных уравнениях 10.1. Доказательства теорем 2.1 и 2.2 могут быть перенесены на другие типы линейных дифференциальных уравнений. Для уравнений второго порядка это делается в следующей последовательности. (а) Построение интегрального уравнения (Вольтерра) для остаточного члена методом вариации параметров. (Ъ) Построение равномерно сходящегося ряда — разложения Лиувилля — Неймана для решения Ь(з) уравнения методом последовательных приближений. (с) Проверка того, что Ь(й) — дважды дифференцируемая функция, с помощью построения аналогичных рядов для Ь'($) и /го(з). (й) Вывод оценок для (Ь(9) ( и (Ь'(З) ) с помощью мажорировання разложения Лиувилля — Неймана. Было бы .утомительно проводить каждый пз зтпх шагов в последующей работе.
Ыы установим далее две важные теоремы, которые исключают необходимость этапов (Ъ), (с) и (д) для большинства задач, с которымп мы будем встречаться. 10.2. Интегральное уравнение будет вьгбпраться в стандартной форме Ь ( ь) = ) К Я, и) Ь (и) у (е) + те (и) Ь (о) + Фг (и) Ь' (и)) с/ш (10 1) о Для уравнения (2.09), например, нужно положить К(5, о) = —,(1 — ек Ы), У(о) =. 1, гр(п) = Фо(о) = гр(п), ф1(о) = О. Ыы сделаем следующие предположения.
(1) Интегрирование проводится вдоль данного пути лг, состоящего из конечной цепочки Лз-дуг в компчексной плоскости. 279 ТБОРвмы о синГуляРных уРлвнкниях и!з! При этом одна или обе концевые точки а, р могут находиться на бесконечности. (В случае действительных переменных У совпадает с частью действительной оси.) (2) Действительные или комплексные фуннции 1(о), с)>(о), з(>з(о) и зрс(о) непрерывны прн се=(а,())м, исключая, возможно, конечное число разрывов нли точен, в которых онн обращаются в бесконечность ').
(3) Действительное или комплексное ядро К (з, о) и его первые две частяыо производные по $ являются непрерывными функциями обеих переменных, когда $, о ен (а, р) Р, вкл>очая точки, в которых соединяются дуги. Здесь, как и всюду далее, все дифференцирования по 9 выполняются вдоль о>. (4) К($, 2) = О. (5) Если б ~ (а,р)м и о ен(а, 9),л, то К (5 о) ~ » (с з (9) >) (о)~ ~ дз ~ (» Р! (е) се(о)~ ~";,.' "~( .(:-)~(и), где Р>(9) и ()(о) — непрерывные действительные функцин, причем Р,(9) положительны. (6) Если с е=(сс, р), то сходятся интегралы с(> (з) = ~ ~ с(> (о) с) ), >уз й) = ~ К ( ) М, 'р! 6) = ~! 'Ф! (Р) с)и ) а и являются копечпыми верхние грани й— = прй($))7(:))), й = =° р(Р (9)йй), й> — = — зпр(Р>(ь)()(9))* исключая тот случай когда й! не сс(и)ествует при ср>(о) = — О.
Т е о р е м а 10.1. При сформулирова>сных условиях уравнение (10.01) имеет единственное решение Ь(9), которое непрерывно дифференцируемо в(а, ())м и удовлетворяет соотношениям — -+О, —,— ~0 ($-~а вдоль У'). (10.02) 6('„] 6' Д) р (ь) ' р~(~~) ') Как в в главе Чс, 1 9.(, символ (а, Р)м обозначает часть л., лежащую мел>до а в (). ггл.
6 280 пРнвлижкнггн лиувгглля — ГРггнА Кроме того '), (.„), ~— ,( — ( ЬФ ($) ехр (ЬоЧ"о (с)+ЬгЧ" г (с)), (10.03) и функция Ь" ($) неггрерывнп, исклюочп, возможно, точки, в которых разрывны ср($)гД), зро(З) и з)гг(ц). 10.3. Теорема 10.!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
