1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рекуррентпые соотношения типа (6.03) можно ш>лучить, сравниван коэффициенты. Из (7.06) нетрудно вывести, что коэффициенты прп х", х" ' и х" з в выражении для Р (х) име>от вид 0 и— (7 14) 2" (и!)1 2" (з — 2)! (а — !)! соответственно. Ото>ода мы получасы 2п+ ( и '(я+1)Р„Р>(х) — (2п+1)хР (х)+пР„,(х) =О, '(7,15) Кроме этого линейного рскуррентного соотношения второго порядка (илп разностного уравнения), Р„(х) удовлетворнет линейному дифференциальному уравнению второго порядка.
Функция — ((1 — х') Р,(х)) =- (1 — х') Ри(х) — 2хР„(х), (7.16) является, очевидно, полппомом степени и н поэтому может быть представлена в виде и ~~~~ С„,Р, (х). (7.17) 8=0 т1тобы найти с„„умножим это выражение на Р,(х), проинтегрируем его от — 1 до 1 и используем формулу (7.12). Тогда, после двукратного интегрирования по частям, мы найдем, что 2гь, !" >) — .
(х) —,((1 — ") — ! 1 ) Р„(х) — ((1 — хз) Р,(х))Ых, -1 ввидвник в спвцилльныв ч тнкции ?2 сгл. з Поскольку Р„(х) ортогонален всем полиномам меныпей степени, пз полученного соотношения вытекает, что с„,=О (з(и). Чтобы определить с, „, сравним коэффициенты при х" в (7 16)' и (7.17). Для с„„получается значение — и(и+1). Искомое диффсронциальное уравнение имеет впд (1 — х') Р„(х) — 2хР„(х) + и (и + 1) Р„(х) =.— О. (7.18) 7.4.
Предположим, что некоторая функция 6(х, Ь) разлагается в ряд Маклорена 6(х Ь) = У <р (х) Ь". п=о Функция 6(х, Ь) называется ироизеодян)ей функцией множества (ц„(х)). В этой заключительной части параграфа мы покажем, как строится производящая функция для (Р (х)) ° Из формулы Родрига (7.0б) и интегральной формулы Коши для и-й производной аналитической функции непосредственно получается интезрал Шлефли (7.19) М где У вЂ” л?обой простой замннутый контур, окружающий точку Г = х; здесь х может быть действительным или комплексным числом.
Для фиксированного %' и достаточно малого (й( ряд Л (Р ()о Ьо во+си ( )и+1 равномерно сходится относительно Г е= Ж (в салу существования мажорпрующего ряда). После интегрирования и суммирования мы получаем (2 () ь) — н, — )1 —, ) — ' — = т Р„(х) Ь" =-6(х,й), 2л '( 2(? — *)) У, — й Г откуда дг А 6(х, й) = — —. СП д ЬР— 2~+(2 — )0 )ОН д (~ — О) (? — ~,)' Ж У' где 2~ = (1 — (1 — 2хй+Ьз) нт)/Ь, ?з = (1+(1 — 2хй+йт) нт)/Ь. Очевидно, что если Ь-+ О, то Г~ -т.х и )Гз) -+.
оо. Поэтому для достаточно малого (й) контур У содержит внутри себя (1 и не кллссичвскив огтогонлльнын полиномы содержит 1ю Из теоремы о вычетах получаем 2 6(х, Ь)— Ь Г,— Г, (1 2 Ь+Ье)(ДГ Следовательно, искомое разложение имеет вид 1 и У и() (7.20) УПРЛЖНЕН11Я 7.1. Показать, что приведенные яиже функции ю(х) удовлетворяют соответствуюьцим дифференциальным уравнениям: шп — 2хю'+ 2пю =.
О, и = Н„(х); ххп+ (с(+ 1 — х)ю'+ пю О, ю= Е( ( (х),' (1 — хв) юп+ (0) + а) — (а+ ((+ 2) х) ю'+ и(и+ а+ и+1) ю = О, ю р(али (, ) и 7.2. Показать, что р(а ы (1) ~и+и) р(а,з( ( П ( 1)и (и+))) 73. Нолипомы Чебьиивва Т (х) и Н„(х) определяются формулаип Т (х) =созна, Н (х) = егл! (и 4- 1) О) и ' и з(пи где О = агс сов х. Показать, что Т (.) 2 (п ) р( — (/2,— (гл ( (2п)! ( ) 22ип! (п + 1)1,((ю (, ю, (зп+ 1)! 7Л. Поназать, что Н (х) — =- елр (2ха — Ьт). и=-с Доказать формулы Н„'(х) = вини, (х) и и ф") Н (х) Н (р) =2и(ЗН 1~+").
(вУ в — в «(т 2((т)' =о в предположении, что величина )Ь) достаточно мала и что выбранная ветвь квадратного корня стремится к 1 при Ь-+.О. При х е= ( — 1, 11 особенности левой части (7.20) лежат на окружности (Ь( = 1; следователыю, в этом случае радиус сходи- мости ряда в правой части равен единице. вввдвнив в спвциьльныи еуннции (гл. а 7.8. Поназаттн что прн (й) и. 1 — хь)(( — ь) г(а)(.))и е — о (1 ))+( г(а — и) (х)],и (1 ) Ь)໠— хь и=о (и+ 1) Ьин ( (х) -)- (х — 2п — а — 1) г'), (х) + (и-(-а) Ьгг ( (х) = О. 7.7.
Показать, что н (т) = ( 1)»2»п( ь( ()гцхг), п„и ь( (х) =- ( — 1)и2 и ( (и( хб(()з) (хз) 7 8. Покааать, что прн п ) 1 хР» ) ' и — ((х) п~ и(*) п(и+ 1)(Р„Ь( (х) — Р ) (х))=- (2»+ 1) (хз — 1) Р„(х). пхР, (х) — »Р, (х) = (лг — 1) Р„(х), ир (х) — пхР„(х) =- (хз — 1) Р„( (х). 79. Выбрав в ннтеграле Шлефлн контур У вида (( — х( =(хз — 1('». получить интеграл Леи.гггеи Р (х) =- и ( ~ (х + (хз — 1)(гтсозе)иг)О. е Показать, что если х гю [ — 1, 1), то )Р (х) ( ~ 1; в более общем случае, если х = с)) (а+ г(1), где а н р — действительные числа, то )Р (х) ( (е" (»б далее показать, что радпус сходнмостн ряда (7.20) ве меныпе, чем е ' '. й 8.
Интеграл Эйри 8.1, Для действительных значений х иягезрал Эйри определяется формулой А((х) =- — ~ сон( — 1 + х() ((Г. 3 '(8 з (8А)1) Хотя подынтегральное выражение не убывает при 1-». со, возраста(ощая частота его осцнлляций обеспечивает сходимость интеграла. Й атом можно убедиться, интегрируя по частям. Действительно, (1 ...(3 +.) ~ сов( 1 (з + х1~ ((1 =, . + 2 ~ з(п ~ — (з + хг),з Вывести па первого разложеннн равенство г(й(и) (х)(г(х = — б» е() (х) (а) (а-)-! ) прн и>1.
7.6. Проверить, что прн и рх 1 Н„.„(х) — 2хп (х) + впН, (х) = О и интвгРлл зйРи В правой части этого равенства при г- оо первый член стремит ся к нулю, а интеграл сходится абсолютно. Когда х не принадлежит действительной осп, интеграл '(8.0()г расходится. Чтобы аналитически продолжить Аг(х) в комплекс ную плоскость, мы преобразуем этот интеграл в контурный. По ложим г = н(ь'. Тогда Аг(х) = —. ~ с)г ~ — Рв — хо) сЬ = —,, ) ехр ~ —. Рь — хн) ~Ь. о г» Предположив на время, что х положительно, рассмотрим интеграл аг"Л" 1(Л) = ~ ~ехр( —..
Рв — хь)гЬ~, бн 1 (Л) = —, ~ ехр ~ — — Лт нй1 Π— хЛ н(п — О) <И г~ з ' з о — ехр ~ — — Лва!ай) дО". „' лю ( —. ~ ехр ~ —, )ПО( —,. о Следовательно, 1(Л) стремится к нули> прн Л-ь оо. Аналогичное утверждение справедливо и для соответствующего интеграла вдоль сопряженного пути. Заменяя х яа з п используя теорему Коши, мы видим, что А(( ) =,— ~~ -р (( —, ' — ) Ь, =гм,) (, З Я' (8. 02) где,У вЂ” любой контур, начинающийся в бесконечно удаленной точке сектора — к(2~ага и~ — я(6 и заканчивающийся в бесконечно удаленной точке сопряженного') сектора (рис.
8.1). Этот результат установлен для положительных значений з. Если б— произвольное малое положительное число, а контур .У начинается Ч т. е. симметричного относительно действительной оси.— йриль род. где Л вЂ” большое положительное число, а путь нятегрирования совпадает с меньшей дугой окружности (Р( = Л. Сделав подста- новку н = РЛе '"з и использовав неравенство )Кордана (З.13), получим % з) ИНТЕГРАЛ ЭНРИ 77 прпходпм к разложению 3! з! 9! -1. А!'(0)(г ! — аз+.— 'агт+ " ' ' ' г'о+...), 4! 7! 1О! (8 03) ГДЕ Л! (О) = — „' .=- „, А1' (О) -.—— Г !1/2) 1 ., ЗИ~Г (2)2) ! З "42ч З-"Г !2,2) ' 2н )' зГ !1)З)' (8.04) Л!" (г) — гЛ1(г) = —., ~(из — г)ехр(1 11з д,~озп = 1 2и1 ' д —,~ехр(! Рз )1 Выраженно в скобках обращается в нуль на концах Ы.
Поэтому функция и4 = Л!(г) удовлетворяет уравпекшо 4)ЗЮ вЂ”,, = гнз. 4)1'"' (8.05) Уравнение (8.05) пе меняется прп замене г яа ге".""з. Поэтому функцзщ А!(ге'"'з) и А!(ге з"'з) также являются решениями. В главе 5 мы увядклг, что только два решения могут быть незавпспмымп; следовательно, функцпп А1(г), А1(ге"з) и А1(ге '"Яз)' свяааны линейной завпспмостыо. Ооответствуизщне коэффициенты можяо найти, пптегрпруя ехр((из/3) — гп) вдоль пути в к-п4лоскостн, который начинается в е-"яз, затем идет в е"яз, далее в — сю, н, наконец, возвращается снова в сое "'з.
Применение теоремы Кошн приводят к искомому результату А!(г) +аз" 1зЛ1(гег; 1з) +е з.. 'зА1(ге з"м) =О. '(8.08)' УПРАЖНКН1!Е 83, Показать, что функция а4 = АР(з) удоааетаоряот урааиеиию ю'и — 4за4' — 2и = О. 8.3. Одно пз напболсс важпьы 1войств функцпп А!(г) состоит в том, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка очень простого вида.
Используя теорему 1.1 и дифференцируя в (8.02) под званом пптсграла, мы д11тодпзг, что 78 ВВЕДЕНИЕ В СПЕПИАЛЪНЫЕ ФУНКПИИ игл. 2 5 9. Функция Бесселя г,(л) 9.1. Для целых значений п и действительных или комплексных значений 2 функция г„(2) определяется на основе интеграла Бесселя У„(2) = — ~ соз(НΠ— 221нО)дО (и =-О, ~ 1, ~ 2,...). (9.01) т Г Переменные и п 2 называются соответственно порядком и аргументом функции г„(2).
Из теоремы 1.1 следует, что г"„(2) — целая функция 2. Чтобы облегчить вычисление коэффициентов ге ряда Маклорена, мы построим сначала представление с помощью контурного интеграла. Равенство (9.01) можно переписать в виде .Т„(2) = —,, ~ ехр ( — ~иО + и з1п О) дО. (9.02) ' Полагая й = г", мы получаем ,Х„(2) = —.~ ехр~ —, 2(й — Ь вЂ” ')~ Ю где Ю вЂ” окружность единичного радиуса. Единственной особой точкой подынтегрального выражения в комплексной й-плоскости является начало координат, и поэтому Ж можно деформировать в любой простой замкнутый контур, содержащий внутри сеоя начало координат. Дифференцируя з раз и полагая 2 = О, мы видим, что г„(0)— го вычет функции ((й — й ')~2)'й " ' в точке Ь = О. Предположим сначала, что п — неотрицательное число. Тогда ') .Т~" (О) = — 0 (О ( г и — 1) ( — 6' В соответствии с зтим У„(2) = ( — 2) ~~~,, (и = О, 1, 2, ...).
(9,04) Соответствующее рааложение для отрицательного и можно получить тем же самым способом, однако проще воспользоваться ') По теореме Коши.— Прим, реа. Фтнкция пксселя .г~ ы) 79 в о] формулой (9.01). Заменяя в пей О па я — О, мы немедленно вы- водим, что о „(г) =( — 1) "о„(г). (9.05) 9.2. Производящую функцию и дифференциальное уравнение для о„(г) можно получить следу]ощпм образом. Используя формулу (9.03) и применяя теорему Лорана о разложении аналитической функции з ряд в окростности изолированной существенно осооой точки, мы находом пропзводящую функцию: ехр(г(Ь вЂ” й — ')12) =- ~' з„(г) 1]"'. (9.06) По теореме Лорана зто разложение сходится для всех значений и и г, исключая точку и = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
