1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда а 7' „(() =- .~ ~ ( ! ' ( (т) ) г' (т) ( с1т. а Для заданной пары концевых точек иар!шции функции !(г), оче- видно, зависит от выбранного пути, чем опа существонно отли- чается от интеграла ( ~(г) г(1, а УПРЛНЛ!КНИЯ 11.1. Доказать, что "'(! + л) У'(!) + У'(ь), У (Л ~ г'(!П). Показать также. мо равенство зо втором соотношении сиразедлиио и случае, когда функция ! действительна и иеирерьц!из. 11.2. Вычислить: 1) У'и! (Миг лчг), где и — целое число; 2) у',,г(!), где ! — ступенчатая функции, заданная услоивямн 1 = 0 (г < О), Г = 1/2 (г = О), 1 = 1 (х ) О) ' ') В данном случае термин чобластьь обозначает открытое связное мно,"кество. 1гд.
т ввкдкнмк в лсимптотичкскик мктодш 1!.3. Вычислить У' ь|(с"); 1) вдоль отрезка, соединянзщего — 1 п 17 2) вдоль трех сторон квадрата с верпшиапи в точках — 1, 1, 1+ 24 — 1+21; 3) вдоль пути, сопряженного укаааиному в 2). 11.4. Пусть, в обозначениях 4 11.5, путь л. разопт точкамп тм зь .. ч жо расположевными в укаавннай последовательности. Показать, что о — 1 у . (7) = зпр ~~ / 7 (з, ,) — 7 (з,) / з=- е для всех и и всех воаможных способов разбиения, если фупкпвя с" (т) ие- прсрывва иа каждой дуге пути;Р.
Исторические сведения и дополнительные ссылки 4 1.4. Детали, касающиеся истории вопросов, изложекяых в этом пункте, были взягы из квяги Бромуича (1926, 4 104) Дальнейшая информация содержится в этой книге, 44 4 — 6. Относительно дальнейших результатов, касающихся интегрирования и дифференцирования асвмптотпческпх соотношений и отношений порядка, а так ке асимптотических решеиий трансцендентных уравнеяпй см, де Брейн (1961), Берг (1968), Дьедоиве (1968) и Риекстыиьш (1968). Результат, содержащийся в теореме 6Л, до сих пор, возможно, так явно сформулирован не был. 1 О. Построения, проведенные в О ОЛ, 4 9.2 и упр. ОЛ, принадлежат ваи дер Корпуту (1956, теорема 1), Ритту (1916) и Карлемаку (1926, глава 5) соответственно.
Обзор дальнейших построений был дан Дэйвисом (1953) и Питтпауэром (1969). Относительно проблемы единственности см. Ватсон (1911) и Дэйвис (1957). Хотя этц результаты представлягот большой теоретическии питерсе. используются яа практике оии редко. 4 10.3. Это обобщение было дано Шмидтом (1937). Относительно дальвейших обобщений см. Зрдейк и Уаймеи (1963] и Риекстыиьш (1966). Пример (10.07) взят из последней из указанных работ.
ГДЛВЛ 2 ВВГаДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1 1. Гамма-функция 1.1. Гамма-функуия возникла как ретпенпе аадачи интерполяции факторпальной функции. Моссспо лн найти функцшо Г(х), имеющую непрерывные производные всех порядков в ((, со) и обладающую снойствамп Г(1) =1, Г(х+1) =хГ(х)? Ответ утвердителен; в действптельпостп требуются дополнительные условия для того, чтобы функция Г(х) была одинствонной.
Мы не будем касаться формулировка этих условий, так как более простым отправным пунктом длн насппх целей является интвгра.г Эйлера ') Г (з) = ~ е '1' ' с(1 (Ве з ) О), в (1.01) в котором путь интегрирования проходит по действительной оси, а 1' ' принимает главпоо значение. Если 6 и А — произвольные полосщгтельяые постоянные и 6 ~ Ве з ~ А, то ') Или, более точно, интеграл Эйлера второго рода; интеграл Эйлере переога рода определен нивсе формулой (1.11). ') Зтв теорема является обобщением ив комплексные первмеииыв обычной теоремы о дифференцировании по параметру интеграла с бесконечными пределами; отиоситезьио доказательства см., например, Титчмарга (1951), 2.83, 284.
Поэтому интеграл (1.01) сходится равпомсрно относительно з в этой полосе. Из этого результата и ниьксследусощей теоремы вытекает голоморфпость функции Г(з) в полуплоскостп Ве з)0. Теорема 1И ') . Пусть т — действительная перв венная, изменясои(аяся в конечном али бвсконещсом интервале (а, Ь), а з— колсплвксная перемеьнсая, измессясои)аяся в области О. Првдпололеим, сто фупкуия /(з, 1) удовлетворяет следуюи(ссл условиям: 1) )(з, 1) непрерыснса по говокуспности переменных; й) для кагкдого фикщсрованного значения 1 функция ?(з, 1) золоморфна по з; Вввлвник В спвцгглльныв Функции !ГЛ.
2 3) интеграл г (2) = ) / (2, г) ггг Г(п) = (и — 1)! (и = 1, 2, ...). (1,02) Но для произвольного значения 2 интеграл нельзя вычислить в замкнутом виде в элементарных функциях. Однократное интегрирование по частям в (1.01) приводит к осгсовной рекуррентной формуле Г(2+1) = 2Г(2). (1.03) Эта формула но только удобна прп вычислениях, воляст продолжить Г(2) аналитически в левуго сРункция Г(г) остается неопределенной лишь в — 2, ... Они и являются особыми точками Г(2).
Выясним прнроду особых точек; из разложения она также позполуплоскость. точках О, — 1, Тейлора имеем Г(2+1) = 1+2/(г), где /(2) — функция, голоморфпая в окрестности точки 2 = О. Поэтому Г(г) = Г(г+1)/г = (1/2)+/(2). Таким образом, точка г = 0 является простым полюсом с выче- том, равным 1. В общем случае, если и — любое положительное целое число, то можно убедиться, что г (г — ц (г — в) ~ г (1 + г/(2))(1 + гд(2))1 а+г ') Т.
е. найдутся такие г ) О, 4 ) О, что интегралы ~ / (г, г) аг, г ь /(г, с) Вг сходятся равномерно. ь — г сходится равномерно на обоих пределах ') на любом компактном лпгожестве в О. Тогда функция г'(2) голоморфпа в О, и ее производные всех порядков можно получить дифференцированием под знакогг интеграла. 1.2. Если 2 = и, п — пологьительное целое число, то интеграл (1.01) можно вычислить с цомощыо повторного интегрирования по частям.
3(ы получим, что ГАММА-ФУНКИИЯ где «(г) — функция, аналитическая в точке г = О. Поатому единственными особыми точками Г(г) явля«отея простые полюсы в г = О, — 1, — 2..... примем вычет в точке г = — п равен «( — 1) "/и! 1.3. Другое определение Г(г), не ограниченное полуплоскостыо Ве г О, может быть получено па (1.01) следующим образом. Поскольку (пп (1 — ~,'и)" .-- е-', «« мы можем рассматривать гамма-функцию как предельное значение интеграла Г,(г) =. ~ (1 — г/п)" г«Ъ (Нег~О) о при п-«- оо; г фиксировано. Сначала мы вычислим Г„(г) в случае, когда п — положительное целое число. Повторное интегрирование по частям приводит к выра'кению 1„(г) = и — 1 в — «1 ( «-',««-~ ! а(й ( +1«(«+В) ''' (г, — 1),) г( +1) ...( +е)' о (1.04) Теперь мы докая«ем, что предел Г,(г) при п — «- со равен Г(г).
Положим Г(г) — Г„(г) = 1,+/,+/и где ыг гг = ~ е Г «(Г, 1«.—.. ~ (е — (1 — (/и) ) 1 «гг, 1~ = ~ (е ' — (1 — Ои)')(* '«1«. в «'г Очевидно, что 1« -+. 0 при п -+- со. Для 1г н 1з при 8~(0, и) 1п ((1 — (/и)") = и !и (1 — Г/п) = — 1 — Т, где Р Г« 1' Т= —,+ — + — + г Зн Следовательно, (1 — г/п)" = е ' ' ( е ', 4 Ф. Олвеа 50 ввкдкник в спгцилльнык фгнкцни !гл. а поскольку Т.= О. В соответствии с этим, п (/п(е ~ е 1 ' д( — »О (и — и оо). пгз Дла /г спРавеДливо ноРавенство т/п =' 1/2. ПоатомУ Т ~ сгт/и, гДе 1 1 1 с= — + —.+ —,+...
31 32 43» с — конечное число. Вследствие этого 0(е ' — (1 — т/гг)"=е '(1 — е ') ~е-'Т(е 'с(г/и и пга (Г ( - — ~ е гк *~'д!-и 0 (и — » оо). о В результате этих вычислений мы приходим к предельной формуле Эйлера; п! п ( ) ) 1) (, )Р 3) (и + и). (1.05) Условие Ве з ~ О, прнннтое при доказательстве, может быть ослаблено до з Ф О, — 1, — 2, ... с помощью рекуррентной формулы (1.03) следующим образом. Ксли Ве з ~ ( — т, — т+1~, где гп — произвольное фиксированное положительное целое число, то Г(»+т) 1 и (= + 1) ...
(. -'; т — 1) и (г + 1) ... (г + т — 1) (» — т)! (и — т) + п! пп Х !ггп = — !пп ( + гп) (г+ т+1) ... (»+и) и г(»+1) ... (и+ п7 1.4. Чтобы привести предельную формулу к стандартной, нли канонической, форме бесконечного произведения, нам понадобится следугощая Л е и м а 1.1.
Т/оследовогел алость чисел и»=1+ 3 + 3 + ... + — — )оп (и =1,2,3, ...) 1 1, 1 стремится к конечному пределу при п-+. оо. Так как функция 1 ' убывает, то при и') 2 1 1 1 !" лг 1 1 — + — +...+ — (~ — <1+ — + — +...+ —. 2 3 '' и .) г 3 3 ''' и — 1 1 ГАММА-ФУНКЦИЯ Позтому 1/я(и„(1.
Далее, 1 / ! ив.ь1 — и„= — + )и (1 — — 1 ( О. ,,\ 7 = 0,57721 56649. Предположим временно, что 2 Ф О, — 1, — 2, ... Тогда соотношения (1.04) можно представить в виде = — зехр (2~1+ —,+ — + ... + — — )пиЯП ~(1 ' ')е з=ч Полагая и-э. со, мы получаем искомое бесконечное произведе- ние в виде ,(Π— — 'П 1(1, —,).— "). (1.06) Этот результат справедлив и в случае, когда 2 равно нулю или отрицательному целому числу, поскольку в этих точках обе части равенства обращаются в нуль. Логарифмируя это равенство, легко показать, что правая часть формулы (1.06) равноморно сходится в любой компактной области, не содержащой точек 2 = О, — 1, — 2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
