1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поэтому опэ определяет в такой областп голоморфну1о функцию. 51ы уже показали, что в исключенных точках Г(2) имеет простые полюсы и, следовательно, функция 1/1" (2) голоморфна в их окрестности. !1оэтому 1/Г(2) является целой функцией. Отсюда в качестве следствия вытекает, что Г(2) ле имеет нулей. 1.6. С помощью предельной формулы Эйлера легко проверяются два важных тоя1дества: Г(2)Г(1 — 2)=Я/юппз,(2ФО, ~1, ~2, ...)' (1.07) и 2ю — 1 Г(22) = —,2 Г(з)Г(з т1/2) (22ФО, — 1, — 2, ...)„(1,03) Таким образом, (и„) — последовательность убывающих поло1кительных чисел, п лемма тем самым доказана.
Предельное значение последовательности и„называется постоянной Эйлера и обычно обозначается через 7. Из приведенного доказательства видно, что 0 = 7 ( 1. Численный расчет даот, с точностью до десяти десятичных знаков, значение ВВГДКНИГ В СПКЦИЛПЬНЫК Ч»УНКЦИИ ' !ГЛ. 3 62 В случае (1.07) имеем 1 Г (г) Г (1 — г) г (г + 1),, (» -4- и) (1 — г) ('» — г\ .. (и + 1 — г)) == (пп и л! и и! «1 =- гЦ(1 — гг/зг) = — гбп пг,'я. ».и Отсюда непосредственно получаем, что Г(178) = я"; (1.00) значение — я "г не подходит в силу условий (1.01) или (1,05).
В случае (1.08) имеем 22»Г (М Г (г+ 1(2») Г (2г) «! л и! и !) ... (г + и) (г -1- !»2) (г + З,'2) ... (г + и + 1)2) Х 2- ( и+1) ... (2:+ 2«и («!)9 22«+! (2«)! (2«), (2 )! «нг = )пп(22* и „~ г(г+ Последняя величина не зависит от г и доля;на быть конечной, посколысу левая часть суп(ествует. Если положить г = 172 в ловой части и воспользоваться равонством (1.00), то можно убедиться, что она равна 2п'".
Отсюда и вытекает соотношение (1.08). 1'авепство (!.07) называется у»о)»:хулой отрижещ!я, а равенство (1.08)— формулой ддиоения аргу»лента плп р»ормуиой ринозхеноя, Формула отри!кения дает возможность выводить свойства гамма-функции отрппи!ельпого аргумента (илн, в более об!цен случае, аргумента с отрнцательной действительной частью) непосредственно из свойств для положительного аргумента (нлн для аргумента с полоягительной действительной частью) .
Рвг. 1.1. Гамма-функция График функции Г(х) для действиу=р(г). тельных значений х приведен иа рис. 1.1. 1.6, Теперь мы выведем формулу произведения двух гамма- функций Г(р) и Г(д). Предположим сначала, что р - 1 и о ) 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ бз Из (1.01) получаем г1р1г1р1=и,! !.— „-'Рр)! !,-"*-'и*)!.= о = 1пп [[ е " Рх" 1У" ~г/хо/Ур к р в где б, обозначает квадрат х, у с=[0, /г]. Повторный интеграл равен двойному, так как подынтегральное выражение непрерывно по обеим переменным. Пусть теперь Ти обозначает треугольник, ограниченный осями и прямой х+ у = Л.
Очевидно, что Поскольку интегралы по оиро и ои имеют одно и то же предельное значение, то Г(р)Г(д) )пп ~ Р)е ' "хо 'уо 'г(хг(у. тк Перейдем к новым переменным и и и с помощью замены х+у=и, у=по. В плоскости переменных х, у лншпг уровня переменной и параллельны пгпотенузе треугольника Ти. А посколы;у у/х и/(1 — о), то линпямп уровня и являются лучи, проходящие через начало координат. Якобнан д(х, у)/д(11, и) равен и. Позтому замена переменных приводит к формуле /к р Г!р1Г1р1=И )(! Ъ"~ 'и /(! ' 'И вЂ” 1' 'Ро/[, 'г.'о т.
е. 1 Г(/р)Г(г/)=-Г(р+д) ~ ' (1 — и)' гг/. (1.10) о Это и есть искомая формула. Ограничения р ~ )1 и г! ) 1 можно ослабить следу!ощип образом..'1евая част|, равенства (1.10) голоморфна по р, когда Ве р ) О, н голоморфна по 11, когда Ве г/ ) О. Из теоремы 1.1 следует, что то же самое справедливо и для правой части. Позтому с помощью аналитического продолжения сначала по р, а затем по г/ область, в которой справедливо равенство (1.10), можно расширить до Вер)0 и Вер/)О. Интеграл 1 В(р,е) = [по '(1 — ц)о 'гЬ (Вор)Ор Вег/~0) (1.1.1) о вввднник в сцкпилльныв юхнкции !гл.
з называется бета-Функцией. С этим новым обозначением формула (1.10) принимает вид В(р, о) —.— Г(р) Г(дУГ(р+о). Огранпчиваясь прн доказательстве нужной формулы положительными действптельнымн значениями параметров и затем обратцаясь к аналитическому продолжению, мы избегаем усложнений, Рзс. 1.3. 1-плоскость.
Рнс. 1зв т-плоскость. Контур длн интеграла Ганнеля но петле. которые могут возникнуть прп прямом рассмотрении комплексных параметров. Этот эффективный метод часто попользуется прп выводе формул преобразований спепиальных функций. 1.7. В атом пункте мы выведем интегральное представление длн гамма-функции, спрзведливое без всяких ограничений ка г. Оно строится не с помощью интегрирования по прямолинейному пути, а использует контур в виде петли в комплексной плоскости. Этот метод, предложенный Гаккелем (1864), применим ко многим подобным интегралам. Рассмотрим интеграл 1е-Ьт 7 (г) = ) с~1 с11, где обозначения в пределах указывают на то, что путь интегрирования начинается при Г = — ео, обходит точку г = О один раз в положительном направлении и возвращается з начальную точку (рис.
1.2). 11редположпм, что выбрана главная ветвь функции г ' в точке (или в точках), где контур пересекает положительную . денствнтельную полуось, и эта ветвь всюду непрерывна. Прп данном выборе пути интеграл равномерно сходится относительно г на любом компактном шедмножестве комплексной плоскости в силу наличия мажорирующего интограла. Выбирая в качестве параметра интегрирования длину дуги и применяя теорему 1.1, убеждаемся в том, что 1(г) — целая функция г.
Пусть г — любое положительное число. Тогда по теореме Коши путь интегрирования можно деформировать, превратив его 55 Гамма-Функция Ь И <е+) — — е ( 'с(1. Г (з) сл1 (1.12) Это н есть интеграл Ганлеля но петле. Аналитическое продолтке- ние по л снимает временное ограничение на г; при этом пред- полагается, что ветвь функции 1 ' выбрана способом, указанным во втором абзаце этого пункта.
УПРАЖНЕНИЯ 1Л. Показать, что при Кее ) О, р ) О и Нее )О ехр( — з1з)Г 'от= 1 Г(~) о р И зт)В где Лля дробных стелекей выбираются главные зиачеяля. 1.2. Показать, что если переменная з действительна и отлична от нуля, то (Г(1у) ) = (л/(увалу)) нз. 1Л, Показать, что при Кел =. О и Ке ч ) О лгз 1в 3н К(р,е)=2 ) З)ПВ тОСОетт 1ОЗО= 1.4 Показать, что если х и у Лействптелькы, то и, слеловательяо, )Г(х+ Пу)) «< )Г(х) ). 1.5.
Доказать равенство Б з(о+ Ь+ з) Г(о+ 1) Г(Ь+1) ,, (е+з)(Ь+е) Г(о+о+1) пРи условии, что а и Ь ие являются отрицательными целыми числами. в два берега интервала ( — ос,— г) и окружность )1(=г (рис.1.3). Предположим на время, что переменная з фиксирована и Ве з ( 1. Тогда при г-ьО вклад от окрупгности в интеграл стремится к нулю. 11а нижнем берегу отр~гцательнойг действительной полуоси' ахи 1 = — и, а на верхнем имеем аго( = л.
Полагая г = )(), получаем о 7(к) = — ~е 'г 'е'"'Йт — ~е 'т 'е '"'Ыт = а = 2(з(п(лз)Г(1 — з) = 2л(/Г(т); (сравннте '(1.07)). Возвращаясь к первоначальному пути, мы можем написать Ввкденне В спвциальные Функции (гл. 3 66 1.6. Показать, что яри любых р и д ц+,е+,! —,е — ! еа — ! (1 г)ч — !Не г "'!е+Ю Р (1 — р) Р (1 — ,) Г (р †, „)' Здесь а — любая точка интервала (О, 1), а пределы означают, что путь интегрирования начинается в е, обходит точку г = 1 один раз в положительном направлеякк и возвращается в а,не обходя точку л =О, затем обходят л = О в яолощительвом направлении в возвращается в а, не обходя е = 1, и т.
д. Рлножвгель в педынтегральном выражении считается непрерывным иа пути интегрирования и прккппающпм главное еу значение в начале его (Похгаммер, 1890). 5 2. Поп-функция 2И. Логарифмическая производная гамиа-функц!Ун обычно обозначается через ф(г) = Г'(г)/Г(г). Боль!пипетке из свойств гр(г) вытекает непосредственно из соответствующих свойств гамма-функции.
Например, единственнымн особыми точками гр(г) явля!отея простые полюсы с вычетами, равными — 1, в точках г=О, — 1, — 2, ... Иногда гр(г) называют дигамма; функцией, а ее последовательные Рис. 2!. Пся-функция у = ч(х). УПРАЖНКИИЯ 2И. Показать, что если г Ф О, — 1, — 2, ..., то гр (г) = !р (г + 1) — — = гр (1 — г) — я сгу лг = 1 г 2,2. Показать, что гу(г) = —.т -+ ~~'~ ( — — — ) (г ~ О, — 1.
— 2, ...) г г+г г= ! производные ф (г), г(Г'(г) — григамма-функцией, геграеаммафункцией и т. д. График функции гр(г) для действительных значении изобраькен на рис. 2.1. 57 инткггальнык жгнкпии й з) и поэтому к — ! Г'(1)=-фП) =- т, г(!(к) = — у+ ~ — (в.=-2,3, ...). з=! 23. Из предыдущего упражоеппк аывестк, что ф(1!2) = — 7 — 21в2 2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
