1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказать, что зр (Й= з (ззьО,— 1,— 2,...). ,' з(з+ )' Показать затем, что если з прппкмает действктедьвые позожитеаьпые значеквк, то Г(г) имеет простой минимум, зежащкй между 1 к 2. 2,5. Показать, что прк действительном у Х У „=!гп (гр (1+ М ° ! азт у" 2.6.
Проверить, что каждое кз саедующах выравгеппй равно 76 ! -),— .«.)! —.-!К-)ь — ",)( ' ','— ,')., о о г с е Показать, что 7" О. 2.7, С помощью упрзжкеквй 2.2. к 2.6 доказать формулу Гаусса. т й! - ) ('— — ',) с~. > з. 3 3. Интегральные функции: показательная, логарифмическая, синус и косинус 3.1, Интегральная покааательная функ!(кя опредодяется формулой Е! (2) = ) — Ж. (3.О4) Точка 1 = О является полюсом подынтсгрального выражения, и поэтому. з = О является точкой ветвления функции Ег(з). Главная ветвь получается при проведении разреза вдодь отрицательной действительной полуоси.
Одно из интегральных представлений с фиксированным путем интегрирования имеет вид Г,— ! Ед(з) =с * ) — 'гй ((агйз~( — ). 13.02) о Заметим, что это интегральное представление кспоаьзует только однозначные узуггкчии. ввкдвнив в спкцилльнык а:гнкции (гл.
2 Эту формулу легко доказать с помощью замены переменных, ког- да 2 положительно, и последующего аналитического продолжения в область (атд 2( я/2. Дополсситеяьссая интееральная показательная функция задается формулойс Еш(2) = ) ',' с(С (3.03) а и является целой. Разлагая подынтегральное выражение в ряд по возрастающим степеням С и интегрируя почленно, мы получаем ряд Ма!!лорена чр ( — (!' — ' с' Е!п(г) =- с т т! ь=! (3.04) Связь между Ес(г) и Г(п(2) можно установить, временно пред- положив, что 2)0, и преобразовав (З.ОЗ) к виду 1 — е е — с Есп (2) = ~ с(С + !и 2 — ) '— с(С + ) '— сП. с ,) с В соответствии с упр.
2.6 мы получаем, что Е!п(г) = Гс(2) + 1нз+ 7. (З.оз) Сравнение с (3.04) приводит теперь к равенству .~~ ( !) — 1,8 Е (2)= — !пз — у+ т, 1 8=! (з.об) Ег(х) = ) — й (хчьо), (3.07) где интеграл понимается как главное значение в смысле Коши, Аналитическое продолжение расширяет формулы '(3.05) и (3.06) на конплексные значения 2. В обоих случаях выбираются главные ветви Е,(г) и )п г, 3.2.
Когда 2 = х — действительное число, для экспоненциальной интегральной функции часто используется также следусощее обозначение: инткГРАльныв Функции з з~ если х положительно '). Связь с предыдущими обозначениями дается формулами Е,(х) = — Е1( — х), Е1( — х~Ю) = — Е1(х).+гл, (3.03) где х 0 в обоих соотношениях. Этп тоясдества можно вывести, заменяя Г на — Г и используя, во втором случае, стягивающийся контур. Через Е~( — х+Ю) обозначено, например, значение главной ветви функции Е1( — х) на верлнем берегу разреза.
Родственной функцией является нягегральньгй логарифзб который прп полоягггтельных х определяется формулой 1! (х) = ~ — (х~=1), о (3.09) причем при х)1 берется главное значение в смысле Коши: Производя замену переменной, мы находим, что К(х) =Е1(!пх) (0(х(1 пли 1(х(оо).;(3 10) З.З. Интегральные спярсы определяются формулами Э)(г) = — ) — ' ог, з1 (г) .= — ) '— 'и" ЙГ. (3.11) Оое функция — целые. Чтобы установить связь мел ду ними, нам понадобится следующий результат. Л е м м а 3.1.
маг 1 — гй =- —,я. о (3.12) Эту формулу можно вывести, интегрируя е'Й по контуру, изображенному на рпс. 3.1. На малой палуокружности т = ге", 0<0(я, имоем — М .= 1 ~ ел р (еге 'е) ЫО -~- — 1н (г - 0) . (О ( О ( Н1'2). (3.13) г — з кч ') Главное зяачеияе интеграла определяется как 1пя ~ ) + ~ ь-+о ~, На болыпой полуокружности зуем неравенство Жордана зшО ) 20/и 1 = Ие", 0 - О ( я, мы исноль- 60 вввдвнив в спвцизльныв югнкции !гл Тогда з юз — й1~ = ') ехр(!Ве'з)ЫО - 2 ~е "и" ~ЫОе-. О О .лз 2~ е дО= — (1 — е л) 0 (Л-+со). я о Равенство '(3.12) получается прп использовании теоремы Коши и выделении мнимой части. Из (3.11) и (3.12) вытекает равенство 5!(з) = (л/2) + з!(з).
(3.14)' Функцию О!(г) можно выразить чсреа доно:пштельную интегральную показательную функцшо с помощью замены переменной интегрирования г в (3.!1) яа К; тогда 1о ~=л 2!Я!(з) = Е!и(!з) — Еш( — !з). (3.15)' Ф=г Используя теперь формулы (3.05) и (3.14), мы получаем 4 г о!а!(з) = Е~(!з) — Г~( — гз) (3 1О) Рис.
3.!. ьплоскость. В последном соотношении ветви Е~(!з) и Е~( — !з) принимают главные аначения при положи~альных г и всюду непрерывны. 3.4. Пягезральный косинус С!(з) и родственная сй функция С!п(з) обычно определяются формулами С!(з) = — ~ — ~сй С!п(з) =- ! с с(! с о (3.17) Функция С!(г) имеет точку ветвления при з = 0; главная ветвь выделяется введением разреза вдоль отрицательнои действительной полуоси.
Функция С!п(з) — целая. Из (3.01) имеем причем деформация пути интегрирования на бесконечности проводится так же, как в лемме 3.1, Аналогичный результат спра- 61 интеГРлльные Функциъх Ьз! ведлив для функции Е~((г); объедъьняя их, получаем равенство 2Съ(г) = — Е~((г) — Е1( — (г), (3.18) Эта формула соотвотствует соотношешыо (3.16). Для дополнительных функций получаем, заменяя в формуле (3.03) 1 на 1(, соотношение 2Сцъ(г) = Е(п((г) +Е(п( — (г).
"(3. 10) Складывая два последних равенства и используя формулу (3.05), мы приходим к фо!ъъъузье, связывающей два интегральных косинуса: з '(3.20) Здесь также выйиракжся тлавпыо значения С!(г) и )п(г). УПГЛПП!КИПЯ 3.1. Показать, что 81(з) = чч ( П,зз ' ! (2« ж !) (2' с 13 з —.з С!() =1 ° +т "у ' 1)з "" . =-! 3.2. Показать, что я(з ех р ( — зси ) сн =- — з! з) — ( ь 01 (з) + Е (з)). о 3.3. Показать, что при дснстзнтсльнам а н положительном Ь м с(З =- — !о 1+ з ~+ С! (Ь)+ Ве (Е, (и+ (Ь)',. з Ьз ! з 34, Проеорнть спраесдлиаость следующих формул яреобразазияля Лапласа при Пе р ..
О: ~з — Рсз((з) бз= асс!3 Р ) е Ф( ъ(з) аз=- !пП+ Р ) 3,3. Обоза(еяная и«сеззияьная по«азитезьяия Яун«ция опрсделлессм формулой Ея(з) = ) с(з (я = 1,2....) з" при Не з > О и с помощью аналитического продолжения н остальных точках, Покааать, что единственной особой точкой функции Е„(з) яеляетси точка ветвления з з = О. ввкдкнпк в спкииальнык еункции !ГЛ. 2 Доказать также, что »Е» ы(с) = е * — гЕ„(з) )» — » <- )' <ьс» — ' — ' с-с-«-»с.о«-т: — ' (» — Ц! е! (л — з — Ц , --о где штрих и знане суммы означает, что член с номером с = л — 1 должен быть пропущен. 3.6. Показать, что и обозначенпнк предыдущею упралснении » (з) = ) п — с (с) Ес =- ... = ~ ...
— (»СП™, С н, следооотельпо, †» е — с» — с Е (е) = е ~ С,СС (( иге г( е' и]. (и — 1)! с+ с о 4 4. Интеграл вероятностей, интеграл Досова и интегралы Френеля ег1с 2 =- —, е ЫЦ * пыл й (4.01) Обе функции — целые. Множитель 2/и"с, т.
е. 2/Г(1/2)', введен для того, чтобы упростить связывающее пх соотношение ег1 2+ег1с и = 1. '(4.02)' Ряд Маклорена для функция ег12 имеет вид 2 чь» ( — 1)' зг'+с ,с<г ле~ г! 2» + 1' »=о (4.03) Родственный интеграл Г(2) = е ' ) е с(1 (4.04) при действительном 2 называется интегралом Девона. Легко проверить, что я»/2 г (2) = 2.
е ег((<г), (4.05) 4Д. Лнтеграл ееролтностей и лтностей играют важную роль в теории тенлопроводностп. Онп формулами » ег(л= —,, ) е с)С, 2 ( о Ооссолнсстельньсй интеграл веротеорссп вероптностом и задачах определяются соответственно 63 ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ЦОСОНА, ФРЕНЕЛЯ 4,2. Соответствующие интегралы осцилляторного типа 7 7 С (г) == ~ сов( —, л/т) с/1, Я (г) = ~ е)п ~ —, лгт) с(Ь (47.06) 7 1". /1 о е '(при действительных значениях псрелзепг ых) называзотся интегралажи Френеля. Онп также являются пелымп функциями.
Справедливо следующее соотношение, связывающее интегралы Френеля с интегралом вероятностоп: С(г)+Ю(г) — — —,, (1+7)ег(( — „, л (1 — 1)г~. (4.07) 1 ° (1 иг УПРЛЛ1ПЕППП 4.1, Показать, по при а)0 ехр ( — Ю7) в(17 Ыас = — — /' ~ —.~ — =-„—.'Ы 1,1 Ь ' „пг о где фувкпия Г определена бзор71улой (4.04). 4.2. Пусть а и Ь вЂ” положительные чпсла н 1 = ~ ехр( — и')(77+Ь') 'гп о Рассмотрев производпу7о а(ехр( — аЬ')!)/аа, допазать, что / = (1/2)пЬ ' ехв(аЬ7)ег/с(Ъаи7). 43 Показать, что С(с ) = 8(с ) = 1. 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
