K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Wird {} in Winkelgraden gemessen,so muB auch die Korrektur durch Multiplikation mit J_~.O_ auf Winkel grade umngerechnet werden.Etwas weniger anschaulich, abel' noch kurzer fur die Rechnung ist es, wennnach GUDERLEY die GroBen A und flo eingefuhrt werden [Gl. (84)]. Diese beidenVeranderlichen, ursprunglich die Bilder der Mach-Linien einer ebenen isentropenStromung im Hodographen, konnen als zweckmaBig gewahlte HodographenKoordinaten angesehen werden. Mit Ihnen lautet Gl.
(89):d Il.'ISO.+ -2SInnIX' . Q dl0SIn'U' =,ydfloISO.+ -2SInnexakt auf del' links- und rechtslaufigen Mach-Linie.IX' . Q dlSIn= 0'lj' - - -y(98)VIII, 31. Anisentrope, ebene und achsensymmetrische Stromung.321Gl. (98) als Differenzengleichung geschrieben, gibt die A- und,u-Werte in P (A,,u)einfach wie folgt:,,180.2n./I,=/I,~--~-smlXsm{} l-l~--;y1 8 0 . . {} l - l r,u=,ur ----smlXs1n--.2ny99)( ...Die Korrekturen fur die A-, ,u-Werte sind also halb so groB wie jene fur dieWinkel in Gl.
(97), sonst abel' in gleicher Weise zu ermitteln. Gl. (99) gibt direktdie Lage des neuen Punktes im Hodographen, woraus del' gesamte Zustand sofortfolgt. Ein Eintragen del' Punkte ist auch hier zweckmaBig, weil die Lage del'Punkte dort ohnehin fur die Bestimmung del' Richtungen del' Mach-Linienbenotigt wird.
Wegen del' Korrekturen ist eine Beschrankung auf runde A- und,u- Werte bei achsensymmetrischer Stromung naturlich nicht moglich.Je kleiner die Korrektur ist, desto weniger kommt es darauf an, in welchendel' drei Punkte P, P~, P r eines Schrittes die GroBen sin IX, sin {} und y genommenwerden. Urn die Korrektur in Achsennahe klein zu halten, darf del' Gitterpunktabstand nicht zu groB gewahlt werden. Diese Forderung steht im Einklang damit,daB auch del' Gitterpunktabstand fur die Konstruktion des Machschen Netzes indel' Stromungsebene in Achsennahe am kleinsten sein muB, weil dort die starkstenZustandsanderungen auftreten: Bei achsensymmetrischer Stromung klingen dieStorungen in Abstanden ab, welche von del' GroBenordnung des Korperdurchmessers sind.
Daher werden die Gitterpunktabstande nicht groBe:' als del' Korperradius gewahlt werden durfen. Daraus folgt abel', daB del' Aufwand fur schlankeKorper und niedrige Mach-Zahl, wo del' Abstand von Kopfwelle und Korper groBist, sehr groB wird. Del' Aufwand wird also gerade dort gering, wo die linearisiertenVerfahren (SAUER-HEINZ) versagen.Die Genauigkeit del' Methode ist eine Frage des Gitterpunktabstandes unddamit eine Frage des Arbeitsaufwandes, del' mit dem Quadrat des Gitterpunktabstandes wachst. Es empfiehlt sich die Zusammenarbeit zu zweit, eine Rechenkraft am Konstruktionsbrett mit Zeichenmaschine, die andere am Rechenprotoko'.l. Zwei eingearbeitete Krafte berechnen etwa 20 Gitterpunkte in del'Stunde.Del' Behandlung del' Randbedingungen seien die allgemeinsten Methodenvorangestellt.31. Anisentrope, ebene nnd achsensymmetrische Stromung.Einfache strenge Kriterien fur die Grenzen, bis zu welchen mit wirbelfreienStromungen gerechnet werden kann, wurden bisher noch nicht aufgestellt.
Selbstverstandlich ergeben sich solche Grenzen abhangig von del' geforderten Genauigkeit. Ferner hangen die Grenzen von den Krummungsverhaltnissen am Korperab, wobei die Korperkrummung zunachst den StoB krummt. Die dann entstehenden Wirbel wirken abel' erst im EinfluBgebiet stromabwarts. Die Verhaltnisse werden also etwas verwickelt. 1m allgemeinen wird mit zunehmender MachZahl und zunehmender Korperwolbung del' WirbeleinfluB ansteigen, wobei sichAbschatzungen aus den folgenden Formeln ergeben.Mit Berucksichtigung del' Anisentropie nimmt del' Arbeitsaufwand stark zu.Es ist daher nicht einmal so wesentlich, ob die Stromung eben odeI' achsensymmetrisch ist, weshalb die Behandlung gemeinsam erfolgen kann.
Wie auchbei del' instationaren Fadenstromung, gibt es keine grundsatzlichen Schwierigkeiten. Es sei angenommen, daB die Stromung durch StoBe Wirbel erhalten hat.Sie ist dann isoenergetisch, abel' anisentrop. Ruhetemperaturen und kritischeGeschwindigkeit sind uberall konstant, Entropie und Ruhedruck hingegen sindnur auf Stromlinien konstant und gegeben und andern sich quer zu dieser.Oswatitsch, Gasdynamik.21322 VIII. Stationare, reibtmgsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromtmg.Die Bestimmung der Richtung der Mach-Linien erfolgt wie stets mit Hilfeder Orthogonalitatsbedingung, aus der Richtung der A- und ,u-Kurven des Charakteristikendiagramms der ebenen isentropen Stromung. Fur die Bestimmung desStromungszustandes ergeben sich wie bei instationarer Stromung im wesentlichenzwei Moglichkeiten.
Bei der hier erst behandelten wird die Entropie (der Ruhedruck) in die Gleichung eingefuhrt. Die in Differentialen geschriebenen Vertraglichkeitsbedingungen (47) auf der links- und rechtslaufigen Mach-Linie:± df}+cotIXQ W2dP + Ism{ ..smIXf} dl }y0=(100)schreiben sich dann wie folgt. Mit Gl. (1, 35), (II, 25) und (II, 6) ist fUr dasideale Gas:~ dpQ=-+ di =T ds- . W2,lM2U(c pds-cv )W dW-und in Gl. (100) eingesetzt:±df} -cotIXsindwW -IXcosIXu (c pds+ {sin IX sin f}cv )-d1,,1} = O. (101),Wie im letzten Abschnitt konnen nun Winkelkorrekturen eingefuhrt werden,oder es wird mit GUDERLEY wieder mit Aund,u gearbeitet.
Dann ist in Erweiterungvon Gl. (99):, = Al, + ~180 .sm IX cos IXII.,u =,ur180 .+ --.SIn IX cos IX2nS -u (c pS -u (c p180Sl--cv ) -srcv )-I .. {}Il-ll---y---,'2 n IsmIXsm180 { .sIn2nIX. {} l - lr \sIn. - - ~.._-y(102)JHierin unterscheidet sich die ebene Stromung von der achsensymmetrischennur durch das eingeklammerte Glied. Es kommt also jetzt noch eine Entropiekorrektur hinzu. Zu deren Bestimmung mussennun die Stromlinien mitgezeichnet werden (Abbildung 215). Durch Interpolation ergibt sich dieEntropie in den Punkten P, P l und Pr> womitdann auch die Entropiedifferenzen feststehen.Wahrend Gl.
(102) fur ebene Stromung schonrecht praktisch ist, ist es bei achsensymmetrischerStromung zweckmaBig, die Entropieunterschiededurch die Punktabstande auszudrucken. Mit s ist.2: ....Abb. 215. Stromlinien (-Machscllen Netz..:8_ nur Funktion der Stromfunktion-) im"p~und daher..also auf der Stromlinie bekannt. Die Anderungvon s mit l, der Bogenlange langs einer der Machschen Linien, druckt sichbei Achsensymmetrie also wie folgt aus:osfj[ ===ds (OXd~ "pxTz:~ e y [ - v cos (f) ±-~ e y W [sin ({) ±~ds o~d~ fj[ =IX)cos {} -IX)cos ({)oy )+ "pyTz+u sin ({)±IX)+sin {}] ==IX)] =±dds¥ey Wmit dem oberen Vorzeichen fur die linkslaufige Mach-Linie. Es sei "p*=sinIX,0* IW* "pdie auf die kritische Stromdichte der Anstromung bezogene Stromfunktton. DieVIII, 31.
Anisentrope, ebene und achsensymmetrische Stromung.323kritischen Dichten im StoB andern sich wie die Ruhedichten, also wie die Ruhedrucke. Damit ist:eWe; ~*~L=~~e* w*e* w* e*(103)Po'e* w*ist dabei die isentrope Stromdichtenfunktion undPo/Podas auf derStromIinie bekannte Ruhedruckverhaltnis. Mit G1. (103) und G1. (II, 41) fur denRuhedruck ist dann:087Jf =±dBeW.dtp* e* W* Y 13m=.± (cp -£x) 1Cv -Po±=dpod8dtp*PoPoeW.e* W* Y 13meWe£x=.(104)-d* A* W* Y 13m £x.tp:t:,Die Anderung der Entropie mit der Bogenlange auf del' Mach-Linie 1st damitdurch die auf StromIinien bekannte GroBe~~ ~*abhangige GroBesin£x=.SIn£x£xcos(£xdl [ sin {}--Y£xausgedruckt. Damit ergeben sich die beidenletzten Differentiale in G1. (101) zu:.- SInden Abstand y und eine von"d8Cp -Cv+.sIn £x SIn.)_Il'U' -dlY=eW.]=t= -1- -dpod* Y A* W* SIn £x COS £x" Potp(105)eauf der links- und rechtslaufigen Mach-Linie.
Allerdings steht im zweiten Gliednun wieder eine GroBe::~.,die sieh von Stromlinie zu StromIinie andert.Ein Mitzeichnen der Stromlinien kann also im allgemeinen nicht umgangenwerden. Jedoch ist eine genauere Interpolation nun nicht mehr edorderlich, danicht mehr der Unterschied in zwei Punkten, sondern derWert irgendwo zwischen zwei Punkten auftritt.Von gewisser praktischer Bedeutung zur Gewinnungeinfacher Beispiele ist jene Losung, bei welcher :::konstant ist, weil dann auf eine StromIinienkonstruktionverzichtet werden kann.
Das kann nur fur ganz bestimmteStoBformen erreicht werden, weshalb die StromungslTl;;berandung oder die Korperform in einem solchen Fall Abb. 216. Bildpunkte in dernicht vorgeschrieben werden kann, sondern sich aus der In p, II-Ebene bei ebener Stromung.StoBform ergibt. Von den G1. (105) kann leicht zu den entsprechenden Formen der G1.
(102) ubergegangen werden.Die zweite MogIichkeit zur Behandlung anisentroper Stromungen besteht in derVerwendung von o., £x und pals abhangigen VeranderIichen. Ohne die Vereinfachungen, die sich aus der Hyperschallstromung ergeben, kann die VertragIichkeitsbedingung (100) mit G1. (74) fur ideale Gase wie folgt geschrieben werden:± dO.+ sin £x cos £x ~d(ln p)+ {sin £x sin o. ~} = O.(106)Hier wird man neben dem Charakteristikendiagramm zur Ermittlung derNeigungen der Mach-Linien noch eine In p, o.-Ebene zur Ermittlung der Zustandeverwenden.
Es ist dies die Ebene, in welcher die Herzkurven eingezeichnetwerden. Der Zustand im Punkte P (Abb. 216) ergibt sieh aus den Lagen derPunkte P z und P r und den Neigungen der Kurven±..!.. sin £x cos £x"bei ebener21'324 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Vberschallstr6mung.Stromung sehr schnell. Bei achsensymmetrischer Stromung llluB, wie in Abbildung 214 von Punkten i\ und Pr mit korrigierten Winkelwerten ausgegangen werden.
Dabei ergeben sich die Winkelkorrekturen wieder durch Gl. (97),wahrend die Neigungen dieselben sind wie bei ebener Stromung. In jedem Fanewird in der In p, '!9-Ebene zunachst nur Druck und Stromungswinkel im neuenPunkt bestimmt.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
