K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 94
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Der Ruhedruck im neuen Punkt ergibt sich aus del' Stromungsebene durch Mitzeichnen der Stromlinien. Aus dem Verhaltnis von Druck undRuhedruck ergeben sich dann sofort der Mach-Winkel und die iibrigen gesuehten GroBen.InIn der Praxis wird man zweckmal3igerweise an die Stromlinie den Wert vonFerner tragt man <X uber In !! auf und notiert an die Abszisse auchPo schreiben.~ sin IX cos IXHund Ch(M*).Dann ergibt~fchsehr schnell Inwomit aile anderen Werte aus dem Kurvenblatt folgen.!~=In p - InPo,In allen hier geschilderten Methoden wird die Stromungsebene in kartesischenKoordinaten gezeichnet. Es ist aber durchaus moglich, daB sieh die Arbeit vereinfacht, wenn Stromlinienkoordinaten benutzt werden.
Dies entspricht etwader Verwendung Lagrangescher Koordinaten bei instationarer Stromung. DieRichtungen der Machschen Linien sind dann einfach durch den MachschenWinkel gegeben. Uber eine Entwicklung solcher Verfahren ist bisher nichtsbekanntgeworden.32. Randbedingungen (allgemein).Grundsatzlich ergeben sich bei der Beriicksichtigung del' Randbedingungenkeine neuen Gesichtspunkte. Stets fiihrt zu einem Randpunkt nur eine .MachLinie.
Es gibt also nur eine Vertraglichkeitsbedingung langs einer Mach-Linie.Diesel' Vertraglichkeitsbedingung entspricht stets ein Kurvenstiick in del' Zustandsebene, ob diese nun durchden Hodographen odeI' durch dieIn p, '!9-Ebene repriisentiert wird.•. _Q dlWahrend sich abel' del' Zustand insmd Sill u':feinem gewohnlichen Gitterpunkt-- - -- -- -- als Schnittpunkt zweier solcherKurvenstiicke ergibt, ist der Zustand in einem Randpunkt dadurchfestgelegt, daB eine ZustandsgroBeL--------------+------~lnpIf'/'~/~/' J't/'CIIJ//,ilntl - am festen Rand '!9, am freienStrahlrand p odeI' W - bekanntist.
Die andere ist dann an demAbb, 21 i. Ermittiung des ZlIstandes in einem Randpunktbei achsensymmetrischer anisentroper Striimllng.die eine Vertraglichkeitsbedingungdarstellenden Kurvenstiick abzulesen. Erforderlichenfalls ist, wie in dem in Abb. 217 gezeigten Beispiel, von Punkten P mit korrigierten Winkelwerten {} auszugehen.Wird nach GUDERLEY del' Wert von fl und A berechnet und au13erdem auf dasEintragen in eine Zustandsebene verzichtet, so ergibt sich del' eine Wert aus derVertraglichkeitsbedingung [etwa G1.
(102)] und der andere aus G1. (88). Dabeiist am freien Strahlrand zu beachten, daB die Geschwindigkeit M* und damitCh(M*) aus dem Druck mit dem am Strahlrand herrschenden Ruhedruck zubestimmen ist.Wie ublich, wird hier unter "freiem Strahlrand" die Begrenzung eines Strahiesdurch ein ruhendes Medium bezeichnet. Eine exakte Behandlung ist schwierig,~~VIII, 32. Randbedingungen (allgemein).325wenn der Strahl durch ein mit Unterschallgeschwindigkeit bewegtes Mediumbegrenzt wird.
Dies gehort in den Problemkreis der schallnahen Stromung.Keine Schwierigkeiten entstehen hingegen an der Grenze zweier Uberschallstrahlen. Diese Aufgabe ist zu losen, wenn beispielsweise eine durch einen GabelstoB oder durch eineStoBkreuzung (Abb. 165) entstandene Unstetigkeitslinie in einem veranderlichen Stromungsfeldweiter zu konstruieren ist. Bei Verwendung derIn p, .o.-Ebene ergibt sich ein Punkt auf der Unstetigkeitslinie wie jeder gewohnliche Gitterpunktaus den Vertraglichkeitsbedingungen beiderseits der.rUnstetigkeitsstromlinie. Eine Mehrarbeit erwachstnur daraus, daB die Machschen Linien in derStromungsebene so zu ziehen sind, daB sie sichgerade auf der Unstetigkeitslinie treffen, was in der Regel eine Interpolation erfordert (Abb. 218).
Aus dem gleichen ,Druck, aber den unterschiedlichen Ruhedrucken beiderseits der Unstetigkeitsstromlinie ergeben sich dann die unterschiedlichen Geschwindigkeiten, MachZahlen usw. Am Rand zweier beliebiger "'Oberschal1strahlen springtnicht nur der Ruhedruck, wie aneiner Unstetigke:tsstromlinie nacheinem GabelstoB, sondern auchdie Ruhetemperaturen und damitauch W max, c* usw. Dies darf beider Berechnung der absolutenGeschwindigkeiten nicht iibersehenwerden.Ein konvex geknickter Randin achsensymmetrischer Stromungkann in seiner unmittelbaren Umgebung stets als ebenes Problembehandelt werden. Denn ein Knickbleibt in kleinsten Abmessungenstets eine unstetige Richtungsanderung, also ein endlicher .o.Sprung, wahrend der Betrag desZusatzgliedes der achsensymmetrischen Stromung in der Vert raglichkeitsbedingung beispielsweise in Gl.
(89) - mit abnehmendem Gitterpunktabstand unter aHeGrenzen sinkt. So ergibt sich inAbb. 219 in der unmittelbarenUmgebung der Miindungskanteeine gewohnliche Prandtl-MeyerExpansion. Die Umgebung muB dabei stets klein gegen den Achsenabstand ysein. Nur auf der Achse selbst ist eine ahnliche Betrachtung nicht moglich,jedoch kommt dort ein konvexer Knick nicht in Frage.Wenn die achsensymmetrische Stromung bis an die Achse heranreicht(Abb.
219) ergibt sich dort die Randbedingung # = o. Die Achse ist diesbeziiglich einem festen Rand gleichzusetzen, nur mit dem Unterschied, daB das326 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.Zusatzglied der achsensymmetrischen Stromung [etwa in Gl.
(89)] dort unbestimmtwird, indem y und sin {} verschwindet. Damit ahneln die Verhaltnisse volligjenen an der Achse einer Zylinderwelle (Abschnitt III, 32). In Achsennahe kannbei einer rechtslaufigen Mach-Linie gesetzt werden (Abb. 220):{}=-'L{}Yrr+Damit ergibt sich erster Naherung:..SIn IX SInI--J{} l - l r-y- =(l -ir) sinY<X{}= ~ (l -lr)Yrsin<X{}_r -{}r'(107)Ganz Entsprechendes gilt fur eine linkslaufige Mach-Linie. Die Entropieglieder erhalten keine neue Form. Bei isentroper Stromung folgt daraus fur denAchsenwert einfach nach Gl. (96) (mit {} in Winkely ~_ -;_ _graden):~~1:0"~" (W -W ,)o~ Ch(M,') -Ch(M*) ~ 2 Ii,.(108)Abb . 220. Gitt.erpunkt 900 der Aehsc.Gl. (108) kann auch so gedeutet werden: DieBilder der Machschen Linien im Hodographenhaben in Achsennahe die halbe Neigung der Charakteristiken der ebenen Stromung (Abb.
221). Daraus ergibt sich bei isentroper Stromung also eine Vereinfachung, in Achsennahe liegen die Charakteristiken im Hodographen auchbei achsensymmetrischer Stromung fest. Die besonderen Verhaltnisse inAchsennahe sind auch bei der Bestimmung des Zustandes eines Gitterpunkteszu berucksichtigen, dessen einer Ausgangspunkt auf der Achse liegt (Abb.
222).,x"ItAbb.221. Neiguog der Charakteristiken an der Achseim Hodographen.Abb. 222. Gitterpunkte in Achsenniihc.Beim Auftreffen der ersten Verdunnungen auf der Achse bei einem austretenden Uberschallstrahl (Abb. 219) entstehen dort (ahnlich wie bei einer Zylinderoder KugelweIle) unendliche Beschleunigungen, was nicht immer beachtetwird. Es ergeben sich namlich bei der Rechnung aus diesem Umstand keineBesonderheiten und es kann offen bar ohne wesentlichen Fehler mit der hie,' geschilderten Methode daruber hinweg gerechnet werden. AIle Singulantaten ander Achse konnen im ubrigen umgangen werden, wenn die Achse mit einem sehrdunnen starren Zylinder umgeben wird.
Da der Stromungsquerschnitt dadurchkaum geandert wird, andert so ein Zylinder das Stromungsbild kaum. Damiterklart sich aber auch, daB die Singularitaten auf der Achse fUr die gesamteStromung keine wesentliche Bedeutung haben konnen.Wahrend eine ebene Stromung beliebig gedreU werden kann, ist dies beiachsensymmetrischer Stromung nicht mehr moglich, weil die Achsenrichtungdurch {} = 0 ausgezeichnet ist.
Ebensowenig ist eine Translation in y-Richtunggestattet.327VIII, 33. Konstruktion der Sto13fronten. Beispiele.33. Konstruktion der StoJlfronten. Beispiele.Fur StoBfronten, welche an konkaven Knicken von Berandungen ansetzen,gilt dasselbe, was uber konvexe Knicke gesagt wurde. In einer Umgebung desKnickes, der klein gegenuber dem Achsenabstand des Knickes ist, kann dieStromung als eben angesehen werden.
Die Naherung gilt urn so genauer, je mehrman sich dem Unstetigkeitspunkt nahert. Dasselbe gilt auch fur StoBlrreuzungen,GabelstoBe usw. in isentroper oder anisentroper StrDmung, oder fUr das Auftreffenvon StoBen auf feste Wande und freie Strahlrander. Das Auftreffen von StOBen~~_________ . ___________________________Abb. 223. Stromungsbild und Druckverteilung an einem Rotatlonskorper bel Moonach M. SCHAFER.=~b1,86 (a) und 5,08 (b)auf Unstetigkeitsstromlinien oder der Fall von StoBkreuzungen auf Unstetigkeitsstromlinien ist ebenfalls wie das entsprechende Problem bei ebener Stromung zubehandeln, wobei die Entropie auf der Stromlinie springt, beiderseits des Sprungesaber als konstant angesehen werden kann.
Die Losung solcher Sonderfalle bleibedem Leser uberlassen. Sie ist nach Beherrschung der hier wiedergegebenen Beispiele leicht zu finden und ist durch die Bedingung gleichen Druckes und gleichenStromungswinkels beiderseits der abgehenden Stromlinie stets ausreichendfestgelegt.Es bleibt also die Behandlung der Fortsetzung einer irgendwo entstandenenStoBfront sowie die Behandlung der Verhaltnisse auf der Achse, da dort dasHerausgreifen einer Umgebung, welche klein gegen den Achsenabstand ist, unmoglich ist. Dabei stellt ein konkaver Knick auf der Achse eine kegelige Stromungdar, die der in Abschnitt 12 behandelten Parallelanstromung eines Kreiskegelsurn so naher kommt, je kleiner die Umgebung der kontinuierlich veranderlichen328 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u.
achsensymmetrische Uberschallstr6mung.Stromung ist, welehe man an del' Kegelspitze herausgreift. Aueh dies Problemist damit erledigt. In del' Praxis handelt es sieh in del' uberwiegenden Anzahlvon Fallen iiberhaupt urn die Parallelanstromung von Kegelspitzen. Ein Abweiehen von del' exakt kegeligen Stromung ergibt sieh erst dadureh, daB dieKorperform mit zunehmendem Abstand von der Spitze von del' Form eines Kreiskegels abweieht.Bei der Konstruktion von schwachen StoBfronten ergeben sich keine neuenGesichtspunkte gegeniiber der gleichen Aufgabe bei ebener isentroper Stromung.Die Neigung schwacher StoBfronten ist das Mittel zwischen den Neigungen del'Machschen Linien VOl' und hinter del' Front Gl.
(59). Untersehiede in del' Fortsetzung bei ebener odeI' achsensymmetriseher isentroper odeI' anisentroperStromung ergeben sieh also lediglieh in der Konstruktion des Gitterpunktnetzesvor und hinter der Front. Damit ist aber bereits del' wiehtigste Fall behandelt,da in del' Praxis meistens starke StoBe wegen del' damit verbundenen Verlustevermieden werden. Abb. 223a zeigt eine solche von M. SCHAFER bereehneteAbb. 224.tromu ng bei 1l! 00 = 3,0 an einem DiHu orkopf.Stromung an einem Rotationskorper. Ausgehend von del' exakten Kegelstromung,nahert sich die StoBfront sehr schnell del' Maeh-Richtung del' Anstromung.
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