K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 89
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Berechnung drehungsfreier ebener Uberschallfelder.307Die Funktion Oh(M*) ist wie der Stromungswinkel dimensionslos. Sie wirdnach BUSEMANN willkurlich bei M = M* = I auf 1000 festgelegt. Dies erweistsich spater als zweckmaBig, um moglichst negative Werte zu vermeiden. Oh(M*)steigt mit dem Druck und faUt mit wachsender Geschwindigkeit und wird auch"Druckzahl" genannt.Fur den Zustand in P gilt dann (mit {} in Winkelgraden):{} + Oh(M*) ={}-Oh(M*)=+{}zOh(M z*),{}r-Oh(Mr*),zwei leicht lOsbare Gleichungen fUr die Unbekannten {} und Oh(M*). Es ist zweckmaBig, die Verhaltnisse im Hodographen zu verfolgen, wozu in der Praxis einbesonderes Charakteristikendiagramm verwendet wird (Tafel II).
Eine rechtslaufige Machsche Linie ergibt sich dort, aus dem Ursprung betrachtet, wieder alsrechtslaufig, wodurch dort der Punkt P vollig festliegt (Abb. 192). Einerder beiden Punkte P r oder P z oder auch beide Punkte konnen dabei ebensogut beihoheren Geschwindigkeiten Iiegen als der Punkt P.Offenbar gibt es noch einen zweiten Punkt, welchermit P r und PI je eine Charakteristik gemeinsam hatin Stromungs- und Geschwindigkeitsebene. Seine Lageund sein Zustand ist dadurch festgelegt, daB er mit P rdie linkslaufige und mit P z die rechtslaufige Charakteristik gemeinsam hat.Aus Tab. VIII, 2 (S.
446) kann fur x = 1,400 zu jedemF un kt'lOnswert von Oh(M*) , d er SIC. h et wa b'Abb.192. Gemeinsame Lage dcrel d enPunkte auf Charaktcristiken imRechnungen ergibt, die zugehorige Geschwindigkeit,Hodographen.Mach-Winkel, Druck, Stromdichte usw. abgelesenwerden. AuBerdem ist noch, beginnend mit {} = 0 bei M* = 1, der Stromungswinkel einer linksdrehenden Prandtl-Meyer-Expansion notiert. Nach Gl. (54)erganzt sich dieser Winkel mit Oh(M*) gerade zum Werte 1000.Fur kleine Ablenkungen ergibt sich im StoB dieselbe Geschwindigkeits- undDruckanderung mit dem Ablenkungswinkel wie in stetiger Stromung, so daBTab. VIII, 2 auch fur Abschatzungen bei StoBen sehr gute Dienste leistet.Durch Aufeinanderlegen uberzeugt man sich, daB sich Charakteristiken undStoBpolaren in der Umgebung der StoBpolarenspitzen weitgehend decken.
Furdie isentrope Naherung kann also gleich das Charakteristikendiagramm alsStoBpolarendiagramm verwendet werden, was den Vorteil hat, daB das Diagramm nun nicht mehr fur die jeweilige Richtung vor dem StoB gedreht zu werdenbraucht. Die StoBpolaren sind im Diagramm im iibrigen fur diskrete Anfangswerte der Funktion Oh(M*) gezeichnet, wobei die Polaren fur 990, 980 usw. besonders hervorgehoben sind.Jede Charakteristik im Hodographen ist durch einen besonderen Wert gekennzeichnet.
Ais solcher konnte nach Gl. (54) etwa gewahlt werden {}*, der Winkelbei M = M* = 1. Es ist aber praktisch, die Charakteristik mit folgenden ebenfalls konstant bleibenden Werten zu bezeichnen:~ = konst.:'YJ= konst.:! (1000 + {}*) = ! [Oh(M*) + {}] = A (linkslaufig);! (1000 - {}*) = ! [Oh(M*) - {}] = fl (rechtslaufig).(84)Diese werden im Diagramm (Tafel II) verwendet. Aus ihnen ergibt sichStromungswinkel {} und Druckzahl Oh(M*) auf kiirzestem Wege wie folgt:Oh(M*)=A+ fl;{}=A-fl.(85)20'308 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u.
achsensymmetrische Uberschallstromung.Aus Tab. VIII, 2 (S. 446) konnen dann aIle anderen GroBen leicht entnommenwerden. Dabei steht es vollig frei, die Zustande entweder durch Ch(M*) und 1}oder durch A und fl festzulegen. Das erstere ist etwas anschaulicher, das zweiteetwas kurzer, denn es gilt einfach fur die Punkte der Abb.
191 :(86)Die Zahlenwerte von Ck und f} und von A und fl sind dabei so unterschiedlichgewahlt, daB aus ihrerGroBe schon hervorgeht,urn welche Funktion essich handelt.yFiir die Werte von }. undhatte ebenso in Gl. (84)der Buchstabe ~ und 1] verwendet werden konnen. DieslLwurde aber bewuJ3t vermieden, urn ~ und 1) fur beliebigeAbb. 193. Fortsetzungsgebiet der Kurvc C in Striimungsebene undFunktionen zur VerfugungHodograph.7.U haben.Auf ). = konst.ist ja auch jede beliebigeFunktion von A konstant.
Es kann also ~ = ~(A), 1] = 1](fl) noch eine ganz beliebigeFunktion sein, die aber im allgemeinen monoton gewahlt werden wird. Beispielsweisekame {}* selbst in Frage.flBei Vorgabe des Stromungszustandes auf einem Kurvenstuck C liegt dieStromung im ganzen Fortsetzungsgebiet fest, das ist das gesamte von den Machschen Linien der Endpunkte eingeschlossene Feld (Abb. 193). Es genugt,die Konstruktion des rechtsgelegenen Teiles zu betrachten, wobei die Stromungsrichtung in Schreibrichtung angenommen werden kann. Auf C seien diskl'etePunkte herausgegriffen. Die Aufgaben werden dabei zweckmaBig moglichst sogestellt, daB sich runde Wertedel' ZustandsgroBen ergeben, daBdie Ausgangspunkte also moglichst auf Kl'euzungspunkten del'im Hodographen eingezeichnetenCharakteristik liegen.
(Doch istdies natiirlich keineswegs notwendig.)Das gesamte Strolllungsbildim Hodographen liegt damit nun.-\bb. 19 ~ . Richtu ngen der ~(ach-Lilliell.bereits fest, und die Aufgabebesteht nur mehr darin, die Machschen Linien in der Stromungsebene zukonstruieren, um so die Lage der auf den verschiedenen Kreuzungen del'Mach-Linien liegenden Punkte zu finden. Dies geschieht einfach mit der Orthogonalitatsbedingung (Abb.
181), wobei das Punktgitter so eng zu nehmen ist,daB die Naherung der Machlinien-Richtungen durch Geradenstucke ausreicht.Fiir die Neigung eines Machlinien-Stiickes wird dabei am best en der Zustandzwischen den entsprechenden Bildpunkten im Hodogl'aphen gewiihlt (Abb. 194).Die Richtung des Stl'eckenstiickes 7 bis 9 wird also orthogonal auf die Tangente an die linkslaufige Charaktel'istik im Zwischenpunkt 7 bis 9 des Hodographen genommen. (Wegen diesel' Orthogonalitatsbedingung ist es ein bedeutender Vorteil, wenn ein Zeichenbrett mit Zeichenmaschine zur Verfiigung steht.)Damit ist die Aufgabe der Konstruktion ebener Stromungsfelder gelost.
DieMethode wird als Ckarakteristiken- Verfakren bezeichnet. In den nachsten Ab-VIII, 23. Randbedingungen bei ebener, drehungsfreier Stromung.309schnitten wird noch die Behandlung der Randbedingung und die StoBkonstruktion zu besprechen sein.Die Verwandtschaft mit den entsprechenden Methoden der instationarenFadenstromung ist offenbar. 1m entsprechenden Abschnitt (III, 28) ist insbesondere auch auf den Unterschied zwischen Gitterpunktverfahren - wie dashier wiedergegebene - und Felderverfahren - , wie es ursprunglich von PRANDTLund BUSEMANN 32 entwickelt wurde, hingewiesen.
1m ursprunglichen PrandtlBusemann-Verfahren wurden aIle Zustandsanderungen in Unstetigkeitsfrontenverlegt, wahrend die dazwischen gelegenen Felder Parallelstromung zeigten.Daraus ergeben sich duale Beziehungen zwischen Stromungsebene und Hodographen. Felderverfahren erweisen sich jedoch zur Verallgemeinerung bedeutendweniger geeignet als Gitterpunktmethoden, weshalb das Prandtl-Busemann-Verfahren hier nicht mehr in seiner ursprunglichen Form wiedergegeben wurde.23.
Randbedingungen bei ebener, drehungsfreier Stromung.Zu einem auf einer Berandung der Stromung liegenden Punkt P fiihrt nureine einzige Mach-Linie, weshalb die eben geschilderte Methode nicht anwendbarist. Dafur ist aber der Stromungszustand im Randpunkt zum Teil bekannt.Abb. 196. Abhiingigkeitsgebiet im geschlossenen Kanal..... hb. 105. Itundj)ll!lkt.Handelt es sich urn eine teste Wand, so ist der Stromungswinkel bekannt.
Bei demin Abb. 195 wiedergegebenen Fall, daB eine rechtslaufige Mach-Linie nach Pfuhrt, errechnet sich die Geschwindigkeit (ganz wie an einem Profil in unendlichausgedehnter wirbelfreier Stromung) einfach aus der zweiten Vertraglichkeitsbedingung Gl. (84):(87)An einer treien Strahlgrenze hingegen ist der Druck vorgegeben. Bei isentroper Stromung ist damit aber auch die Geschwindigkeit bekannt.
Nun errechnet sich der Stromungswinkel aus Gl. (87) bei bekanntem M*.Wird nur mit den Unbekannten A und f.l gearbeitet, so errechnet sich im FaIleder Abb.195 der A-Wert im Randpunkt mit der Gl. (85) sehr einfach:+ f.lnfur die feste Wand:A=fur den Strahlrand:A = Ch(M*) -f.lr.{}(88)Ganz Entsprechendes gilt naturlich fur einen Randpunkt auf linkslaufigerMach-Linie.Die Lage des Randpunktes ergibt sich wieder ohne wei teres aus der Richtungder Mach-Linie mit Hilfe der Orthogonalitatsbedingung.Dabei zeigt sieh, daB ein Rand das Fortsetzungsgebiet vergroBert.
Das kannnieht anders erwartet werden . Beispielsweise kann sich bei einem geschlossenenKanal das Abhangigkeitsgebiet am Kanalanfang fur einen Punkt am Kanalende(Abb. 196) nur uber die Kanalbreite erstreeken. Rander sind eben stetsSpiegelungen gleichzusetzen (siehe auch Abb.32), was einer entspreehendenVergroBerung des Stromungsbildes gleichkommt.310 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.24.
Sto8fronten in ebener, drehungsfreier Stromung.Der StoBwinkel muB stets groBer als der Mach-Winkel vor der StoBfront sein,weil die Laufgeschwindigkeit eines StoBes hoher ist als diejenige einer Schallwelle. Anderseits miiBten die gleichlaufenden Mach-Linien hinter der Frontstets in diese hineinlaufen, weil der StoB durch die Bedingungen hinter der Fronthervorgerufen wird. Uberall dort, wo eine Front auftritt, iiberlappen sich also diestetigen Felder der Stromung vor und hinter der Front, und diese kann beischwachen StoBen nach Gl.
(59) so eingezeichnet werden (Abb. 197), daB siedas Mittel der gleichlaufenden Mach-Linien vor und hinter ihr bildet. DieVerhaltnisse unterscheiden sich von j enen derAbb. 185 nur insofern, daB die stetigen Stromungsfelder nun eine kompliziertere Strukturaufweisen, wie sie sich eben aus del' Konstruktionbei vorgegebenen Randbedingungen ergibt. Daraus ergibt sich, daB das Feld hinter dem StoBnur schrittweise mit dem StoB zusammen aufgebaut werden kann, weil es unter dem EinfluBder Strahlen des Feldes davor steht. Das Feldvor dem StoB hingegen kann leicht iiber diesenmung.hinweg fortgesetzt werden.Da die Vertraglichkeitsbedingungen in isentroper Naherung iiber den StoBhinweg gelten, ist der Zustand eines Kreuzungspunktes einer rechtslaufigenMach-Linie vor dem StoB mit einer linkslaufigen Mach-Linie hinter dem StoBin Abb.
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