K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 85
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201).Fur die exakte Geschwindigkeitsverteilung am Profil spielt das Auftretenvon StoBen keine Rolle, solange das Profil nicht im EinfluBgebiet des StoBesliegt, d. h. solange die am Profil endenden rechtslaufigen Mach-Linien (1] = konst.)den StoB nicht durchkreuzen. In der Regel aUerdings liegt gerade an der Profilspitze eine KopfweUe. Wie im nachsten Abschnitt gezeigt wird, kann in einer"isentropen Naherung" eine urn einen Grad hohere Naherung erreicht werdenals nach den Ackeret-Formeln der linearisierten Theorie.17.
Die isentrope Niherung bei mittleren Mach-Zahlen.Schon in Abb. 163 uber die Ablenkung einer Stromung in einer PrandtlMeyer-Kompression und in dem dazugehorigen StoB faUt das geringe Abweichender "Herzkurve" von der Prandtl-Meyer-Kurve in der log p, -&-Ebene auf. Dieletztere Kurve ist nichts anderes als die in die verzerrte p, -&-Ebene eingezeichneteCharakteristik. Eine Entwicklung beider Kurven im Ausgangspunkt liegt dahernahe und liefert nach A. BUSEMANN2a folgende Resultate fur die Druckanderunglangs der rechtslaufigen Oharakteristik:(55)mit01=.- 2__ =VM.:x,-1=0a =62ta LX.,,00,~2°=+ (x -(M~ -21) t g22)2+ "Mba2(M~-1)2,,+1 tgLXoo + 2-+ 1) M~ + (2,,2 - 7 x + 10 (x + 1) Mba -12 M~ + 8](M~I5)1)'/.
[(x(56)244 LXoo •,M~ +und fur die Druckanderung in einem entsprechenden StofJ:cp17/(M~- I) •=0 1-&+ O2-&2 + (Oa-D)-&a + ..." + 1 M400--1-2--r5 - 4 3" M"00-(3•-x ) M'00+ 2] .(57)24Die Entwicklung stimmt also in den beiden erst en Koeffizienten uberein,zeigt aber im dritten Koeffizienten einen Unterschied, der abhangig von Moosowohl negativ als auch positiv sein kann.Wie die dynamische Adiabate und die Isentrope (Abb. 7), zeigen alsoStoBpolare und Charakteristik in einem Punkt gleiche Tangente und gleicheKrummung.
Dasselbe ResuItat gab es bei der stationaren Fadenstromung_ Auch294 VIII. Stationare, r e ibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.im Hodographen ergibt sich dassel be Resultat und ist direkt aus den entsprechen.den G1. (39) und (54) abzuleiten. Da sich die Entropie erst mit der dritten Potenzdes Druckanstieges andert, macht sich die Ruhedruckanderung bei einer Entwicklung der Geschwindigkeit nach dem Druck erst im dritten Glied geltend,spielt also in allen Entwicklungen nach kleinen Storungen erst im Glied dritterOrdnung eine Rolle.
Das Abweichen beider Entwicklungen voneinander istkeineswegs nur auf das Konto der StoBverluste zu schreiben, es entstammt derVerschiedenheit der Vorgange, von denen einer stetig, der andere unstetig ist.Dies zeigt sich deutlich bei schallnaher Stromung. Dort wird die Konvergenzder Entwicklung (55) und (57) schlecht, da die Werte der Koeffizienten starkansteigen (siehe Abschnitt IX, 3). Die folgenden Naherungen verlieren anGenauigkeit mit Annaherung der lokal auftretenden Geschwindigkeiten an dieSchallgeschwindigkeit.
Auch bei sehr hohen Mach·Zahlen (Moo?> 1) bedarfes einer gesonderten Untersuchung. Beispielsweise wachst C 3 und D mit Moo uber alleYGrenzen.In dem Gebiet, in welchem CharakteristikL......- - t -- - - +- _ _ _..l...._-).) und StoBpolare wegen der Gleichheit derc'"lI.Tangente und der Krummung zusammen.Abb. 1 3.
tollpolare ulld Charakteristik.fallen, kann auf das StoBpolarendiagrammverzichtet und an dessen Stelle das Charakteristikendiagramm verwendet werden. Nur bei kleinen Uberschallgeschwindigkeitenliegt die Charakteristik vollig unter der StoBpolaren gleichen Ausgangswerteswie in Abb.183 (VergI. auch Abb.235). Bei hOheren Mach-Zahlen (Verg1.Tafel I mit Tafel II) ist es umgekehrt. Bei einem Ausgangswert von M = 1,4decken sich die Kurven am besten.Bei dieser Beschrankung der Entwicklung von StoBpolare und Charakteristikauf die ersten beiden Glieder ergibt sich eine einfache Formel fur die StoBfront·neigung . In den Geschwindigkeitskomponenten muB eine Naherung im PunkteU = U l ' V = 0 folgende Form haben:I¢v = a (u l-~u) -(u lU)2-+ ...
,mit zunachst noch unbekannten Konstanten a und b. Nach der Orthogonalitatsbedingung (Abb. 181) gilt nun fur die links- und rechtsliiufige Charakteristikim Hodographen:dvdu = -Daraus ergibt sich ffir die Zustande&1' .fJ. l hinter dem StoB:±cot (Xl=-a; -(58)cot (fJ =+= (X) .U l , VI =cot (.fJ. l =+=al)=0, (Xl> fJ1-a+b=(U 1° vor und Ul> 1\,-U l )·Nach G1. (38) folgt daher fUr den StoBfrontwinkel y der rechts- und linkslaufigenMach-Linie:coty=VIAU1-U1=a - 2b(U 1-U 1 )==+=21[cot(Xl+ cot (a1=+= .fJ.
l )].(59)In volliger Analogie zur Pfriemschen Formel G1. (III, 85) fUr schwache instationare Stolle ergibt sich hier cot y als arithmetisches Mittel der Kotangentenvon den Neigungen der Mach-Linien vor und hinter dem StoB (Abb. 184).Darnach ist die StoBfront die Schwerlinie des aus den Machschen Linien vorund hinter der Front und der Anstromlinie als Basis gebildeten Dreieckes. Dadie Storungen bei isentroper Naherung nicht stark sein durfen, kann die StoB-VIII, 17. Die isentrope Naherung bei mittleren Mach·Zahlen.295front auch einfach als Winkelhalbierende der beiden Machschen Richtungengenom men werden.Die Zustandsanderung in der StoBfront ist dieselbe wie auf einer entsprechen.den Machschen Linie. In isentroper Naherung ergibt sich also in einem Profil·punkt dieselbe Geschwindigkeit unabhangig davon, ob die rechtslaufige Mach·Linie einen StoB durchsetzt oder nicht (Abb. 185).
In der Kopfwelle gehteine sprunghafte Anderung auf der Charakteristik des Hodographen vor sich.Auf derselben Charakteristik andert sich der Zustand hinter dem StoB dannstetig. Ganz wie in Abb. 51, bilden die links·laufigen Mach·Linien zwischen Kopf. und Schwanz.welle eine Geradenschar. Der Teil vor dem Dicken·maximum wird dabei von der Kopfwelle, der Teilhinter dem Dickenmaximum wird von der Schwanz.welle verschluckt und schwacht mit zunehmendemProfilabstand den StoB. Die von der "neutralenMach·Linie" getrennten Teile der Stromungsebene Abb. 1 t. toBfrontneigullg in iSCllmittlerer ) [ach·vor und hinter dem Dickenmaximum sind ohne troper XiiherungZahlo .EinfluB aufeinander. Ebenso kann die Stromungam oberen und unteren Profil vollig getrennt behandelt werden. Fur die Stromunghinter der Schwanzwelle ergibt sich wieder die ungestorte Parallelstromung, dajeder Punkt Kreuzungspunkt einer aus dem Anstromgebiet kommenden rechts·und linkslaufigen Charakteristik ist.
Die Schwanzwelle wird im Hodographennun durch die sonst weggelassenen Aste des StoBpolarendiagramms dargestellt.Ein gegenseitiger EinfluB der Stromung auf beiden Profilseiten tritt erstauf, wenn die Kopfwelle nicht anliegt und ein lokales Unterschallgebiet solcheEinfliisse vermittelt. Dies ist aber ein Problem der schallnahen Stromung.Abb. 185. Iselltrope Niiherung der Profilstromullg fUr mittlere Mach·Zahlen in Stromungsebene und Hodographen.Die Probleme des Abklingens der StoBe mit zunehmendem Profilabstandsind mit den entsprechenden Problemen der instationaren Fadenstromung(Abschnitt III, 24) so nahe verwandt und in ihrer mathematischen Behandlungso ahnlich, daB hier ein Literaturhinweis25 und das Wiedergeben der Resultategenugt.
Das Abklingen einer Kopfwelle an einem endlichen Keil kann exaktbehandelt werden. Die StoBstarke wird mit der Wurzel aus dem Profilabstandgeschwacht. Demselben Gesetz gehorchen Kopf- und Schwanzwelle eines beliebigen Profils bei geniigend groBem Abstand.Da die StoBverluste schwacher StoBe mit der dritten Potenz der StoBstarkeabnehmen, sinken sie mit der Potenz (_3/ 2) des Profilabstandes. Aus der Integration der Verluste muB sich nach dem Entropiesatz (IV, 37) der Widerstandergeben. Tatsachlich gibt die Potenz (- 3/2) bis zu unendlichen Abstandenintegriert - wie erforderlich - einen endlichen Wert. Obwohl Entropieunter-296 VIII.
Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.sehiede naeh dem Cl'occosehen Wil'belsatz Gl. (IV, 27) notwendig Wirbel zurFolge haben, kann die Stromung in einer isentropen Naherung noeh als wirbelfreibetl'achtet werden. Die Wirbelstal'ke hangt namlich von der Entropieanderunglangs del' StoBfront ab und diese Entropieanderung ist bei dem langsamen Abklingen del' kleinen Entl'opieuntel'schiede vemachlassigbar klein. Nieht zuvemachlassigen abel' sind die Verluste in den StoBweIlen, denn sie summierensieh aus allerdings kleinen Entl'opieanstiegen, die abel' auf langen Fl'onten auftreten.
Die Anisentropie ist also ftir die Wil'belbildung bedeutungslos, ftir dieWiderstandsfrage aber entscheidend. Tatsachlich sind die Vel'luste in den SLoBenauch in den mit dem Pitot-Rohr meBbaren Impulsen im Profilnaehlauf expel'imentell nachweisbar.Die aus del' Linearisierung abgeleitete Theorie el'gibt Storungen, die ungedampft in unendliche Entfemungen l'eiehen (Abb. 140).
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