K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 86
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Tatsachlich verschwinden aber die Storungen, wenn auch sehr langsam. Die Linearisierung fiihl'talso bei Ubersehallstromung in groBer Entfemung zu falschen Resultaten, wahrendsie bei Unterschallstromungen mit del'Abnahme der Storungen in gl'oBemM<1Korperabstand besondel's gut wird. BeiUntersehaIlstl'omung ist eine richtigeDarstellung des Anstl'omzustandes inallen Riehtungen besonders wichtig, weilvon tibel'all her Einfltissekommenkonnen.Bei Ubersehallstromung kommt es furAbb.
186. Uber- uud Untergeschwindigkeitsfliichcnbei M < 1 und M > Ldie Verteilung am Profil aber nur aufeine mogliehst riehtige Darstellung desEinfluBgebietes an_ Dieses sieh in unmittelbal'er Profilnahe befindliehe Gebietwil'd aber bei kleinen Storungen bei Linearisierung gut wiedergegeben, woraussieh die Brauehbarkeit der Aekeret-Formel Gl. (3) erklart.Aus dieser Gl. (3) folgt sofort, daB das Gebiet der Uber- und Untergesehwindigkeiten, tiber der Pl'ofilbogenlange aufgetragen, flaehengleieh ist, wenn dasProfil endlieh ist. Dieselbe Eigensehaft zeigt sieh an der Profilstromlinie inzirkulationsfreier Untersehallstromung (Abb.
IS6; siehe aueh Abb. 126 und 141).Es folgt dies aus dem Thompsonsehen Satz, naeh dem die Zirkulation, d. i. dasLinienintegral der Gesehwindigkeit, auf einer gesehlossenen Kurve Null ist,die Beitrage aber in weit entfemter zirkulationsfreier Untersehallstromung versehwinden. Etwas Ahnliches ware zunaehst bei del' isentropen Naherung del'Ubersehallstromung zu erwarten, da aueh hier die Storungen im Unendliehenabklingen. Doeh zeigen Beispiele ohne weiteres, daB in dieser Naherung dieUber- und Untergesehwindigkeiten im allgemeinen keine flaehengleiehen Gebieteliefem (Abb. ISO). Die Aekeret-Naherung im Hodographen, reprasentiertdureh die Tangente an die Charaktel'istik im Punkte der Anstromung, liefertbei einer bestimmten Ablenkung stets zu hohe Werte der Gesehwindigkeit. Diewirkliehen Untergesehwindigkeiten sind also groBer, die wirkliehen Ubergesehwincligkeiten kleiner als naeh Gl.
(3). Dies erklart sieh daraus, daB die Maximalstorungen an der Kopf- und Schwanzwelle wohl mit del' Wurzel aus dem Profilabstand abnehmen, der Abstand von Kopf- und Sehwanzwelle aber mit derWurzel aus dem Profilabstand tiber aIle Grenzen wachst. Dies ergibt einenkonstanten Beitrag zum Linienintegral del' Geschwindigkeit in groBer Entfemung, welcher durch einen entgegengesetzten Beitrag am Profil kompensiertwerden muG, damit die Zirkulation auf del' gesehlossenen Kurve versehwindet.Die Kurvenstticke im An- und Abstromgebiet liefem keine Beitrage.
Die praktische Folge ist, daB ein unten ebenes Profil (Abb. ISO) nicht nach derVIII, 18. Luftkriifte in isentroper Naherung.297Ackeret-Naherung, wohl aber nach der hoheren isentropen Naherung einen Abtrieb zeigt. Denn die Drucke sind uberall etwas hoher als in der ersten Naherung.Vielfach werden durch Hinzunahme des Gliedes dritter Ordnung in den Entwicklungen (55) und (57) noch genauere Formeln aufgestellt, wobei der Ruhedruckverlust in der Kopfwelle am Korper als maBgebend fUr die Geschwindigkeits- undDruckverteilung angenommen wird.
Alle solchen Formeln sind aber im allgemeinenfalsch, abgesehen von ihrer geringen praktischen Bedeutung. Fiir den Zustand desPunktes P der Abb. 185 ist der StoB am Schnittpunkt mit der rechtslaufigenzu P fiihrenden Mach-Linie von Bedeutung. Vom Punkte i ab ist dann die allgemeineVertraglichkeitsbedingung (47) zu verwenden, die sich nun nicht mehr allgemeinintegrieren laBt, da der Ruhedruckabfall mit beriicksichtigt werden muB. Einegenauere Untersuchung zeigt, daB die Anderung des Ruhedruckabfalles in der StoBfront von der Profilnase bis zum Punkte i und die Anderung des Ruhedruckabfalleslangs 11 = konst.
ganz verschieden in die Gleichungen eingehen und eine Reduktionauf die Ruhedruckverluste an der Profilnase im allgemeinen nicht moglich ist. Eineiiber die isentrope Naherung hinausgehende Genauigkeit erfordert also eine Durchkonstruktion des ganzen beeinflussenden Stromungsfeldes.18.
Luftkrafte in isentroper Naherung.Auch in diesem Abschnitt, der wesentlich die Ergebnisse des letzten Abschnittes benutzt, muB von zu groBer Schallnahe (M - 1 ~ 1) oier zu hoherUberschallgeschwindigkeit (M ~ 1) abgesehen werden. Bei einer linkslaufigenCharakteristik ist das Vorzeichen von {} in G1. (55) nur umzukehren. Damit folgtfUr eine Anstellung der Anstromrichtung im Winkel e (Abb. 119) an derOber- und Unterseite eines Profils in isentroper Naherung:p-pcp = 2 12w~= =+=0 1 ({}-e)+ O2 ({}-e)2(60)mit den Werten von G1.
(56) fur 0 1 und O2 , Daraus folgt fur e = 0:±cp =0 1 {}+ 02{}2;Cps= =t= 0 1 -2 02{); cpee =+ 2°2,(61)Nun ist aber oben und unten am Profil:Yo = dh o= h o : {} = arctg dhdxdxy = hu:{}_~ ( dh o )33dx= arctg (_ dh u ) = _ dhudxdx+ ~3 (dhdxu )3 + ... ,also gilt fur den Druckkoeffizienten am Profil bei e.- 0y -_ h o·.CpO -_ h'Y u'Cpu -- 01dh o(lX-1dhudx+ ... ,=0:+ 0 2 (dhdxo )2.'+02(dh u ) 2 •dx'mit derselben Genauigkeit wie in G1.
(61).Fur die auf Breiteneinheit bezogenen Beiwerte gilt daher bei eG1. (VI, 134, 135, 137):=0 mit298 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.oder mit der Symbolik:I (~h: rI (~h: rI ~~ +I= - I1Aon1Adx;=odx .un =I(dhu)ndx'od:J. (dh)n1Bon =dx;XBuno[cpo=oXdx; fur n = 1, 2, ...o1Ct(63)1Cpu~:1dx = C 1 [A02+ A u2 ] + C 2 [A03 + AU3 ];1Cn=[Cpo --Cpu) dx=-C1 [Ao1 -A U1] -C 2 [Ao2 -A u2 ];(64)o1x [Cpo - Cpu] dx = - C1 [Bo1 - B u1 ] oFur die abgeleiteten GroBen ergibt sich bei 8 = 0:CmC 2 [Bo2 -Cte =-CdAo1-Au1]-2C2[Ao2-Au2]; Ctee = 2C d A DlB u2 J.+ A u1];(65)Cne = + 2 C1 + 2 C 2 [ADI + A U1 ]; Cme = + C l + 2 C 2 [BDI + B ul ].Zu den im ersten Abschnitt wiedergegebenen Werten tritt noch ein um eineOrdnung hoheres Glied hinzu.
Entsprechendes gilt auch fUr alle anderen Formeln.Nach Gl. (VI, 144) gilt beispielsweise fUr den Widerstand:Cw (£) ==cw(O)+ (~: )0 8 + ~ ( ~:2w )0 £2Ct(O)+ I( ~:~)o + Cn(O)] f + ~ [( ~~2t)0 + 2 (~CBn)O -Ct(O)] £2.Der letzte Summand in der letzten Klammer liefert aber nur Beitrage, welcheum zwei GroBenordnungen kleiner sind als der Hauptbeitrag von Cn •. In derletzten Klammer ist also C t zu streich en mit dem Resultat:++Cw = C1 (ADZ + A U2 ) + C 2 (Ao3 + A u3 )[2 C 1 (-Ao1 + A U1 ) + 3 C 2 (-AD2 + A U2 )] 8 + [2 C 1 + 3 Oz (AD1+ A u1 )] 8 2 .(66)Der Koeffizient von 8 faUt fUr symmetrische Profile fort.
Gl. (66) stellt dienachsthohere Naherung nach der entsprechenden Gl. (12) dar. Noch hohereNaherungen lassen sich im allgemeinen ohne Berechnung des gesamten EinfluBgebietes nicht aufstellen.19. Einfache anisentrope Profilstromungen.Anisentrope Vorgange sind auch dann noch einfach zu behandeln, wenn dieEntropie in ganzen Feldern konstant ist, d. h.
wenn die StoBe im interessierendenGebiet gerade Fronten besitzen. Unter dieser Bedingung konnen besonders beihoheren Mach-Zahlen (Abb. 187) durchaus brauchbare Profile konstruiertwerden, wahrend das Vermeiden jeden StoBes in dem fUr das Profil maBgebendenEinfluBgebiet der Anstromung zu praktisch unbrauchbaren Profilspitzen mitverschwindendem Keilwinkel fuhrt.Zur Erzeugung eines StoBes mit gerader Front muB die Profilspitze exaktkeilformig sein. Dann bleiben die Fronten bis zu jenem Punkte T gerade, inVIII, 19. Einfache anisentrope Profilstromungen.299welchem die von den Keilenden E ausgehenden (zum StoBe gleichlaufigen) Machschen Linien auf die Fronten treffen.
Durch diese Machschen Linien wird ja dasEinfluBgebiet des Keiles begrenzt. In den durch Kopf- und Schwanzwelle, durchProfil und vom Treffpunkt T ausgehende Stromlinie begrenzten Gebieten ist dieEntropie konstant, im allgemeinen oben (SI) und unten (S2) verschieden von derAnstromentropie (soo). AuBerhalbder T-Stromlinie wird die Stromung dann mit der Krummungder StoBfront anisentropisch. Auchhinter der Schwanzwelle ist dieStromung im allgemeinen, d. h.wenn das Profil nicht exakt keilformig endet, anisentrop.Die Anisentropie macht sichlangs der von T ausgehenden,oben rechtslaufigen (unten linkslaufigen) Machschen Welle geltend.Treffen diese Machschen Liniennicht mehr auf das Profil auf, was.
bb. l 7. Prom mit i cntropem Einflullgebiet .insbesondere bei hohen MachZahlen der Fall sein wird, so lafit sich die Geschwindigkeitsverteilung am Profilexakt angeben. Beispielsweise wird das ganze obere von der von T ausgehendenrechtslaufigen Charakteristik begrenzte Gebiet durch eine einzige Kurve, namlicheben durch diese Charakteristik im Hodographen dargestellt. Sie geht durchjenen Punkt des Hodographen, der sich aus der Keilstromung durch dieStoBpolare ergibt.
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