K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 84
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Sie lassen sich exakt integrieren, denn cot ex selbst ist mit cubeI'den Energiesatz (II, 7) nul' Funktion von W. Fur diesen Zusammenhang von exund Wist beim idealen Gas nur Isoenergie vorauszusetzen und Isentropie nichterforderlich.Die Isoenergie ist allerdings keine Folge del' Isentropie, denn es sind leichtStl'omungen mit konstanter Entl'opie denkbar, welche nicht isoenel'getisch sind. Zudiesem Zweck braucht nul' mit To auch Po entsprechend variiert werden. PraktischeBedeutung haben solche Stromungen bisher allerdings nicht erlangt.Um die Integration ausfuhren zu konnen, muB allerdings del' funktionelleZusammenhang gegeben sein. Fur das id.
Gas konst. sp. W. ergibt sich mitTab. II, 5 nach Ausfiihrung del' Quadratur:f}":fV,,+1,,-1[V--,,-1,,+1arctg- - (Jl;J2 -.~-1) -arctgV1~12 -1~----1= {}*odeI'(54)auf del' links- (oberes Vorzeichen) und rechtslaufigen Mach-Linie. Die Integrationskonstante f}* andert dabei im allgemeinen von einer Charakteristik zuranderen ihren Wert. Sie ist del' Wert von {} furM = M* = 1. Dann ist namlich die nach f} stehende,etwas komplizierte Geschwindigkeitsfunktion gleichNull.Gl. (54) stellt als Zusammenhang von W und f} aufdel' Machschen Linie das Bild del' Machschen Linie imItHodographen dar.
Dieses liegt bei ebener isentroperStromung also von vornherein fest. (Auch bei del' instationaren, ebenen, isentropen Rohrstromung lagen dieCharakteristiken in del' Zustandsebene fest.) Es istdaher zweckmaBig, die Charakteristiken in den Hodographen von vornherein einzuzeichnen (Abb. 178). ManAbb. 17S. Charakteristikenerhalt damit ein im folgenden haufig verwendetes Diader ebenen isentropen Stromung im Hodographen.gramm, welches daher wie das StoBpolarendiagrammals Tafel II in GroBausfuhrung beigegeben ist.Die Unabhangigkeit del' Lage del' Charakteristiken ebener Uberschallstromungim Hodographen von den Randbedingungen ist auch leicht aus jenen Formen del'gasd. Gl.
zu erkennen, die sich nach del' Molenbroek-Transformation Gl. (VI, 93)odeI' nach del' Legendre-Transformation Gl. (VI, 89) im Hodographen ergeben. Eshandelt sich dabei stets urn lineare Differentialgleichungen, d. h. die Charakteristikenkonnen bereits allein aus den Koeffizienten del' hochsten Ableitungen ermitteltwerden.Eine rechtslaufige Mach-Linie ergibt sich im Hodographen bei Betrachten ausdem Ursprung wieder als mit zunehmender Geschwindigkeit rechtslaufige Kurve.VIII, 16.
Die exakte isentrope Profilstromung.291Auch bei beliebiger Zustandsgleichung liegen die Charakteristiken im Hodograph en fest, doch ist zu der Berechnung die Kenntnis der Zustandsgleichungerforderlich. 1m allgemeinen Fall wird es notwendig sein, fur jeden RuhezustandPo, To ein besonderes Diagramm zu zeichnen. Fur viele allgemeine Uberlegungenkommt es aber nicht auf die Kenntnis der Kurven, sondern nur auf die Tatsacheihres Festliegens im Hodographen an. Die entsprechenden Schlusse konnen dannohne weiteres auf nicht ideale Gase ubertragen werden.Die Bildkurven der Machschen Linien in der Geschwindigkeitsebene sinddort wieder Charakteristiken, eine ganz allgemeine Eigenschaft hyperbolischerDifferentialgleichungen oder Differentialgleichungssysteme.
Dies kann an Hand der Gleichungen mit u,v als unabhangigen Veranderlichen leicht gezeigtwerden und ist im ubrigen kein unerwartetes Resultat.Darnach kann vollig eindeutig von Charakteristikenim Hodographen gesprochen werden, womit gleichzeitig sowohl die Begrenzungskurven von EinfluBgebieten im Hodogmphen als auch das Bild del'Machschen Linien vel'standen wird. Der Ausdruck Abb.
179. Rechtsliiufige Mach"Machsche Linie" wird hier nur fur die Charakteri- Linie im Prandtl·Meyer·Facher.stiken der Stromungsebene verwendet.GI. (53) fUr die rechtslaufige Mach-Linie ist mit Gl. (VI, 81) fUr die PrandtlMeyer-Expansion oder -Kompression identisch, wenn die Integrationskonstante {}*gleich Null gesetzt wird. Dies wird sofort klar nach Einzeichnen einer rechtslaufigen Mach-Linie in einem Verdunnungsfacher (Abb.179). Die Konstante{}* fur die rechtslaufige Charakteristik ist dadurch festgelegt, daB fur M* = Mt,{} = 0 ist. Damus ergibt sich aus HI. (54) mit dem unteren Vorzeichen fUr jedesbeliebige {} ein ganz bestimmtes M*, das urn so groBer ist, je starkere negativeWerte {} annimmt.
Jedem{}ist also auch eincx und ein ({}cx)-Wert zugeordnet.Damus ergibt sich fur jede Neigung einer Linie ~ = konst. der gesamte Stromungs-+c"Abb. 180. Mach-Linien der Profilstromung.zustand. Diese Uberlegung gilt auch fiir jede Linie rJ = konst., da ja auch sie aIleaus der Parallelstromung M* = Mt" {} = 0 kommen.Das erlaubt aber sofort eine Verallgemeinerung auf beliebige Wand- oderProfilformen (Abb. 180). Zunachst seien allerdings StoBe ausgeschlossen.Zur Bestimmung der Geschwindigkeit in einem Punkte P mit bekannterStl'omungsrichtung bei Parallelanstromung sei die rm Punkte P endende, ausdem Anstromgebiet kommende rechtslaufige Mach-Linie gezogen.
1hre Konstante{}* bestimmt sich aus den Werten im Anstromgebiet. Sie ist fur aIle ebenenProfilpunkte dieselbe. D. h. aIle rechtslaufigen Mach-Linien uber dem Profilentsprechen im Hodographen einer einzigen Kurve, die dort durch den WertMt" {} = 0 festliegt. Ihr konnen abhangig vom Stromungswinkel sofort dieGeschwindigkeitsbetrage entnommen werden.Die Geschwindigkeit eines Profilpunktes ist also lediglich Funktion derProfiloberflachenneigung im betrachteten Punkt und hangt nicht von der ubl'igen19*292 VIII.
Stationiire, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.Profilform ab, solange die Stromung liberall stetig ist. Die Ackeretsche Formel (3)erfahrt also einfach eine Erweiterung im wesentlichen dadurch, daB an Stelleder Geschwindigkeit eine allgemeine Geschwindigkeitsfunktion tritt. Gl. (3)entspricht der Naherung der Charakteristik im Punkte M* = M:':o, {} = 0 desHodographen durch die dortige Tangente. Aus Gl. (52) ergibt sich dann unmittelbar:W-u___00_=U ootg(Xoo{)+und fUr kleine Storungen also Gl. (3). Letztere Niiherung ist in jedem Punktedes Hodographen moglich. D.
h. die Charakteristik schlieBt in jedem Punktedes Hodographen mit,der Radialrichtung den Winkel 90 0 - (X ein, wenn (X del'zur ortlichen Geschwindigkeit gehorige Machsche Winkel ist. Dies zeigt auchschon Gl. (52). Daraus folgt weiter, daB die linkslaufige Mach-Linie senkrechtauf der Tangente an die rechtslaufige Charakteristik im Hodographenbildpunktsteht und umgekehrt.
Eine Drehung des Stromungswinkels in der Stromungsebene ist ja mit derselben Drehung im Hodographen verknlipft. Bei bekanntem---(<Z~-----~<E(--Abb. 181. Orthogonalitlltsbedingung der Charakteristiken.Abb. 182. Mach-Linien in beschleunigter und verzagerter Stramung.Stromungszustand erhalt man also die Richtung der Mach-Linien durch diein Abb. 181 wiedergegebene sehr einfache Konstruktion. Sie erinnert anAbb.
68. Dort hat es sich allerdings urn die rechtslaufigen (linkslaufigen)Charakteristiken in Stromungs- und Zustandsebene gehandelt.Auf einer von der Wand ausgehenden Mach-Linie ~ = konst. ist W eine durchdie erste Vertraglichkeitsbedingung (54) gegebene Funktion von {}. Das gleichegilt fUr rJ = konst., wobei fUr alle rechtslaufigen Mach-Linien dieselbe Konstante{)*zu nehmen ist. Aus diesen beiden Gleichungen mit den Unbekannten W und {}ergeben sich dieselben Werte fUr den Stromungszustand in allen Punkten einel'linkslaufigen Mach-Welle liber dem Profil.
Also hat eine linkslaufige MachWelle libel'all dieselbe Neigung, sie ist eine Gerade (siehe auch Abb. 51 mitvertauschten Rollen der linkslaufigen und l'echtslaufigen Mach-Linien. Wahrendnamlich die Stromlinien in Abb, 180 im wesentlichen waagl'echt liegen, stehendie Teilchenbahnen in Abb. 51 im wesentlichen senkl'echt). Ihr Bild im Hodographen (Abb. 180) schrumpft auf einen Punkt zusammen. Die ganze Stromungsebene liber dem Profil wird in der Geschwindigkeitsebene durch eine einzigeKul've, namlich eine rechtslaufige Charaktel'istik, wiedergegeben. Damit istdie exakte Losung einer stoBfl'eien, isentl'open ebenen Profilstromung gegeben.Die Neigung del' Machschen Linien zur Stromungsrichtung - d. i.
der MachWinkel (X - nimmt mit wachsender Ges"hwindigkeit abo In einer beschleunigtenStromung laufen deshalb die stromabwarts gehenden Mach-Linien auseinander,in einer verzogel'ten Stromung laufen sie zusammen (Abb. 182). Eine liberallverzogerte Stromung muB also schlieBlich zum Ineinander- oder Ubel'einanderlaufen der Machschen Linien flihren. Dies hat Drucksprlinge, also Verdichtungs-VIII, 17. Die isentrope Naherung bei mittleren Mach-Zahlen.293stoBe, zur Folge. Eine uberall beschleunigte Stromung dagegen ist "harmlos".Langs den yom Profil ausgehenden Mach-Linien in Abb.
180 herrscht nunentweder stets Verzogerung, wenn sie von einem konkaven Wandstuck stammen,oder stets BeRchleunigung, wenn sie von einem konvexen Wandstuck kommen.Ein konkaves Wandstuck hat daher bei der exakten Profilstromung stets einenVerdichtungsstoB zur Folge, der aUerdings sehr weit drauBen in der Stromungliegen kann. Da ein Profil notwendigerweise stets konkave Stromungen zurFolge hat - oft in Form eines Knickes an der scharfen Profilnase - fuhrt esstets zu StoBen und zu Entropieanstiegen, besitzt also nach Gl. (IV, 37) notwendigerweise einen Widerstand. Bei Profilkombinationen hingegen konnenVerdichtungsstoBe vermieden werden, indem ein Gebiet der Verzogerung dannendlich begrenzt sein kann (Abb.
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