K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 87
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Bei den Druckberechnungen darf dabei der Ruhedruckabfall nicht vergessen werden.Das Beispiel zeigt, daB eineisentrope Naherung auch dannnoch getroffen werden kann,/PI1 l!.wenn lediglich das Abhangig" PIkeitsgebiet des Profils auf dem.JStoB genugend geringe Krummung aufweist. Der StoB selbstdarf dabei belie big kraftigsein. Entropieanstieg undRuhedruckabfall lagert sichdabei mit einem konstantenPlattenstromnng in Stromnngsebene nndBetrag liber die Stromung Abb. 188. Isentrope Herzkurvendiagramm.nach dem StoB. Flir ausreichend kleine Profilkrlimmungen an der Profilspitze ist die Stromung alsoauch noch als einfach anzusehen. Dber die GroBe der zulassigen Krummunggibt der nachste Abschnitt Anhaltspunkte.1m allgemeinen Fall erfolgt das Abstromen vom Profil hinter der Schwanzwelle nicht mehr in Anstromrichtung.
Das erkennt man leicht am einfachstenFall einer anisentropen Stromung, der Stromung an einer stark angestellten, unendlich dunn en Platte (Abb. 188). Die Zustande miissen in Druck undRichtung an der vom Plattenende ausgehenden Strom-Wirbel-Linie iibereinstimmen. Daher erweist sich wieder das Herzkurvendiagramm als geejgneteZustandsebene. Vom Zustand 1 flihrt eine Herzkurve auf den Zustand 3 undeine Prandtl-Meyer-Expansion auf den Zustand 2 mit demselben negativen Ablenkungswinkel.
Etwas flacher verlaufend geht nun vom Zustand 3 eine Prandtl-300 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.Meyer-Expansion aus, etwas steiIer verlaufend yom Zustand 2 eine Herzkurve. 1mTreffpunkt 4, 5 ergibt sich Druck und Richtung der Abstromung. Aus demBusemannschen StoBpolarendiagramm sind aus der Abstromrichtung dannleicht die in 4 und 5 verschiedenen Geschwindigkeiten zu ermitteln. Wegendes starkeren Ruhedruckverlustes muB gelten W4 < Ws, M4 < Mo'Bei sehr geringen Ruhedruckabfallen kann bei verschwindenden ocipr geniigend kleinen Profilkrummungen an der Nase einfach das dritte Glied dpf Entwicklung (57) genom men werden. Doch ist entsprechend der Ungenauigkeit derEntwicklung der StoBverluste nach kleinen Storungen (Tab.
II, 2) nur bis zuDruckanstiegen bis zu 20% mit einiger Genauigkeit zu rechnen, das pntsprichtRuhedruckverlusten von weniger als 1 %. Diese werden aber nach dem 8to13polarendiagramm bei hoheren Mach-Zahlen schon bei kleinen Ablpnkungenerreicht..20. Wand- und StoLlkriimmung am Profil.Die Stromung hinter einem Keil bei anliegender 8to13welle ist eine ParalIelstromung. Bei einer leichten Storung dieser Stromung, etwa durch Kriimmungder Wand, kann wie bei schwach gestorten Parallelstromungen vorgegangenwerden, wobei als Hauptrichtung die Richtung der Wand an der Profilspitze zuwahlen ist (Abb.
189). Dabei muB allerdings beachtet werden, daB schwacheStorungen hier zu einer Anisentropie der Stromung fiihren, weil der 8toB selbstbeliebig kraftig sein dad, wenn er nur anliegt.Fiir den Ruhedruckverlust ergab sich Gl. (35), aus welcher nach logarithmischer Ableitung fdgende Formel folgt:-dpodyPo1 -__ ..,.W2sm y co" y ~%(x +2 1 ) 2l 1 -IM2 sin2 y12 .(0.' -, )Dabei jHt vorausgesetzt, daB vor dem StoB Parallelstromung del' Mach-Za,hl J1und der Geschwindigkeit W herrscht. Bei schwachen 8toBen (M sin y - I ~ I)verschwindet die Anderung des Ruhedruckes mitder Frontrichtung allerdings quadratisch, beysonders aber bei hoheren Mach-Zahlen muB dieRuhedruckanderung berucksichtigt werden. Auchbeim senkrechten StoB y = n/2 ist dPoldy = O.Wie stets bei anisentropen Vorgangen werden.rzweckmaBig P und {} als ZustandsgroBen verwendet.
In der Umgebung der Profilspitzp konnenAbb. 189.toll an einer geicriimmtendie Zustande durch den Zustand 0 hinter demPIofilspitze.StoB an der Spitze sowie durch die Ableitungendort ausgedriickt werden. Die Anderungen konnen dabei sowohl in x- und y-Richtung als auch in StoBrichtung ausgedruckt werden. Da die Kriimmungen von StoBund Profil nur Abweichungen in der zweiten Ordnung der Abstande ergeben,brauchen sie fur die Lage des Punktes PI am StoB sowie fUr die Abstande dx, dyin der Koordinatenrichtung und dl in StoBrichtung nicht beriicksichtigt Zllwerden. Damit ist:191-{}o=(~!)o dx + (::)0 dy--dxPI-PO = ( _oP)AX 0=(~~)o dl=(~)(~) (!!L) dl'dp St dy St dl 0 '+ .(~)dy = (~) dl =oy 0ol 0(~: )St (~~ )0 dl(!!'dyL) St (~)dl0dl.VIII, 20. Wand· und StoJ3krummung am Profil.301Bei fester Anstramungsrichtung und Mach-Zahl ist die Anderung von p und {}mit dem StoBfrontwinkel: (~~-)St' (~: )St aus den ~.toBgleichungen leicht zu ermitteln.
Es ist zweckmiiBig, in die Gleichungen die Anderung des Winkels {} mitdem Druck p am StoB:(~: ) St einzufuhren. Die Ableitungen nach x und y gehorchenden Differentialgleichungen, welche wegen v = 0 und u = W in Po wie folgtlauten:+ e ~~ + e ;;~~Aus G1. (VI, 1): u=0;(VI, 2): u~+~~=O'(VI,4): ~oxe ox°P-C2~~e ox'O.=e oxFerner ist im Punkte Po mit {}= 0:1l= W;;: = W x sin {}+ W cos {} {} x =W {} x;:; = W {} y'Damit ergibt sich fur die Ableitungen in Po nach einfacher Elimination:11(M 02 - 1)-W2 Px+{}y=O.{}x+-W2 Py=O;eoeo00Ferner sind die Anderungen der Richtung mit der Bogenlange einfach dieKriimmung, also sind die Kriimmungen Kp des Profils und K st des StoBes gegeben durch:(68)Zwischen den Differentialen aber besteht mit {}o als Anstramrichtung und Yoals StoBfrontwinkel in Po der Zusammenhang:dx = cos (Yo -{}o) dl;dy = sin (Yo -{}o) dl,womit sich die Entwicklungen nun wie folgt schreiben lassen:+ Kpcos (Yo-{}o) + (M02-1)~W2(px)osin(yo-{}o) =eo0Kp(dd{)) '(ddP ) K st ;PSt.11( dp )Slll(Yo-{}0)+-W2(Px)ocos(Yo-{}0)=--W2-deoeo00yyStSt K st·Daraus ergeben sich die Formeln:-11+eoW02(~:)Sttg(yO-{}0)_- - (p )0 - Kp----·· .
- - - - - - - - - - _. . - - eo W 02xeo W 02 ( : : )St + (M02 - 1) tg (Yo - {}o) ,--eo=~02 (~f)o =Ksteo~02 (~~)St =1Kp cos (Yo - {}o)(eo W 021-d{})liP(69)sin2 (Yo - {}o)- - - --- "------..St + (M02 - 1) tg (Yo - {}o)M02Die im Punkte Po mit dem Index 0 bezeichneten Werte geben den Zustandhinter einem StoB am Keil. Auch die Werte ( ~~ ) St und (:: ) St sind fiir y = Yozu nehmen. Beide GraBen sind fiir {} = {}max positiv, wie aus dem StoBpolarenund Herzdiagramm folgt.302 VIII.
Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.Das Problem wurde zuerst von L. CROCC0 26, dann von M. SCHAFER27 undschlieBlich von MUNK und PRIM56 und von H. RICHTER ll behandelt, von welchemdie folgende Diskussion fUr die AblOsung der Kopfwelle stammt. Der Punktmaximaler Ablenkung f} = f}max liegt stets bei M 0 < 1. Mit Anniiherung anf} = f}maxkehrt sich das Vorzeichen von (M02 -1) urn, wiihrend ( : )St immerkleiner wird. Vor Erreichen von f) = f}max wiichst also der Bruch iiber aIle Grenzen.Der Druck liings dem Profil (Px)o fiint nicht mehr ab, sondern steigt plOtzlichauBerordentlich an.
Dies fiihrt zuerst in der Grenzschicht zu Gegenstromungen,also zu einer Ablosung der Kopfwelle. Der exakte Ablosungszustand hiingt alsowesentlich von der Reynolds-Zahl abo Allerdings spielt sich der ganze Vorgang ineinem auBerordentlich klein en Winkelbereich ab, in dem sich die Zustiindehinter dem StoB ganz wesentlich andern.Der Ziihler I-Mo2 sin2 (yo-f}o) in G1.
(69) ist stets positiv. Bei Mo > 1 istja liMo = sin (Xo und (Xo > (yo-f}o)' Bei Mo = 1 ist die Behauptung trivial.Mit (Px)o> 0 folgtalso (it ) > 0 und K st < O. Bei positiver (konvexer) Profil0kriimmung wird die StoBfrontkriimmung negativ (konkav gegen die Anstromung).Der Wert der Formel (69) Iiegt aber nicht nur in dem mehr theoretischinteressierenden genauen AblOsungspunkt, sondern vor allem auch in der Moglichkeit der Berechnung gewisser anisentroper Vorgange.21. Hyperschallstrornung.Bei hohen Mach-Zahlen nahert sich die Geschwindigkeit in stationiirer Stromungbekanntlich einem Maximalwert, wiihrend der thermodynamische Zustand desMediums variabel bleibt.
Die Anderung der Mach-Zahl .111 in diesem Bereichberuht fast ausschlie13lich auf der durch die Temperaturiinderung bedingtenAnderung der Schallgeschwindigkeit. Bei geniigend hohen Mach-Zahlen kannschlie13lich mit sehr guter Niiherung an die Wirklichkeit die Anderung des Geschwindigkeitsbetra,ges vernachlassigt werden, und es herrschen gerade die umgekehrten Verhiiltnisse wie bei sehr niederen Unterschallgeschwindigkeiten(M1), wo die relativen Anderungen (Anderungen der GroBe im Verhiiltnis zur<(!2!...< 1,Geschwindigkeitsiinderungen zu beriicksichtige~ sind.GroBe selbst) des thermischen Zustandes vernachlassigbar klein sind!!:!L< 1, ~c < 1)t!und nurDie in Fra,ge kommenden Mach-Zahlen sind gar nicht so sehr hoch.
Denn beiM = 5 hat sich die Geschwindigkeit ihrem Maximalwert bereits auf 9%, beiM = 10 auf 2,5% geniihert. Der Hauptwert einer Behandlung solcher Extremfiilleberuht aber weniger in der gegenwartigen Bedeutung solch hoher Mach-Zahlen.Wenngleich eine Losung noch nicht gefunden ist, miissen doch besondere Vereinfachungen in diesem Gebiet erwartet werden, mit deren Hilfe die Asymptotenetwa der Luftkrafte fiir extreme Mach-Zahlen einfach zu berechnen waren.Damit wiire aber auch fUr die Machzahl-Abhangigkeit mittelhoher Uberschallgeschwindigkeit viel gewonnen.Die Entwicklung des Druckkoeffizienten nach dem Ablenkungswinkel beiebener Stromung Gl. (55), (56) und (57) gilt uneingeschriinkt und nahert sichfiir hohe Mach-Zahlen beim StaB folgender Beziehung;"_...M ooc p -=2(Moof})+U~l-(M oo f})2+- u2utP-P oo _Poo1-(1 __ 58~U)(Moof})3+ ....(70)VIII, 21.
Hyperschallstromung.303Die entsprechende Entwicklung fiir die Charakteristik unterscheidet sichdabei nur um das unterstrichene Glied im Ausdruck dritten Grades.Bei Beschrankung auf das erste Glied der Entwicklung (70) ergibt sich derDruckkoeffizient proportional zu l/Moo . Das ist einfach die Ackeret-Formel (3),in welcher 1 gegen M60 vernachlassigt wurde. Zu entsprechenden Ergebnissenkommt auch TSIEN 28 aus allgemeinen Uberlegungen heraus, die sich allerdingsnur auf die stetige Stromung, nicht aber auf den StoB erstrecken. Fur eine sichauf die ersten heiden Glieder von (70) erstreckende Betrachtung erhalt man dieisentrope Naherung mit etwas vereinfachten Koeffizienten. Doch versagt dieEntwicklung (70) fur jedes belie big dunne Profil, wenn nur zu genugend hohenMach-Zahlen Moo gegangen wird. Dann wird namlich im allgemeinen Moo-& == -&/1X 00 }> 1 und von Isentropie kann keine Rede mehr sein.
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