K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 88
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Die Hyperschallstr6mung sei also dadurch definiert, daB das Produkt von Dickenverhaltnis 2 h Tnund Mach-Zahl der Anstromung Moo groB gegen 1 sei, ein Zustand, welcher vonjedem Korper mit Steigerung von Moo einmalerreicht wird:(71)Fiir die Druckverteilung am Profil ist bei Abb. 190. Profil in lIyperschallstromung.hohen Mach-Zahlen vor aHem die StoBforman der Profilnase verantwortlich, da nur von dies em Teil rechtslaufigeMachsche Linien am Profil auftreffen, wenn der Korper schlank ist (Ahb.190).Da der StoBwinkel an der Profilnase stets groBer als der Profilwinkel ist, ist imwichtigen Teil der Kopfwelle M60 sin2 y}> 1, was zu StoBformeln fuhrt, welchejenen des instationaren StoBes nahe verwandt sind [Gl. (III, 79)].
Nach (35) gilt:M2 sin2 y}> 1:ee _11: + 1.11: - l'~ =PoA(PP= ~11: + 1M2 sin2 y .'1)-" (2 11:_)-~11: - 1,,-1__+111:c2_2 11: (11: -1)C2 - ~~_,,-11(Msiny)-M2 . 2 •sm y,>< -2 1+(72)Bei schlanken Korpern, welche ja vor aHem bei so hohen Mach-Zahlen interessieren, ist auch der StoBfrontwinkel klein, so daB die Normalkomponente derGeschwindigkeit gegen die Tangentialkomponente hei der Berechnung der Geschwindigkeit vernachlassigt werden kann. Da nun W t auf beiden StoBseitengleich ist, herrscht also auch hinter dem StoB Maximalgegeschwindigkeit.Demnach gilt mit Gl. (37) und (40) fur:sin2 y~AM*t.<I=gU =1:M*=11: + 111:-1;.11: +2 1 sm Y =- -_AMLIV=~ 11:M2Cc=11:+11-V211:(1I:-l)- siny -.--:if smIX ;Atg Y (.(1)u =1V--sin & '11: - 1 .~ sm IX.AEs herrschen also sehr einfache Winkel beziehungen, wobei die Winkelfunktionentg oder sin ebensogut durch das BogenmaB der Winkel ersetzt werden konnen.Die Mach-Zahl hinter dem StoB ist also auch noch sehr groB.
Der Mach-WinkeliX ist kleiner als y, aber groBer als y - -&, naturlich, denn die Storungen des Korpersmussen ja in den StoB laufen.304 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Cberschallstromung.Nun seien noch die Differentialgleich ungen in Form der Vertraglichkeitsbedingungen langs der Machschen Linien und der Entropiebedingung langs derStromlinie vereinfacht. Dabei seien wieder kleine Storungswinkel {) und wegender Hohe der Mach-Zahl im Anstromgebiet Moo konstante Geschwindigkeitenund kleine StoBfrontwinkel y und Mach-Winkel iX vorausgesetzt. Der zweiteSummand in Gl. (47) kann wie folgt vereinfacht werden:cotIX- - PI; =!!W21x-.P~2cot iX sm iX -P= -1.Pi;=PSIn iX cosXIX --IXXPI;P-.+(74)Die bei achsensymmetrischer Stromung auftretende Bogenlange l, langs denMach-Linien gemessen, kann bei deren flachem Verlauf einfach durch die x-Koordinate ersetzt werden.
Damit gilt auf der links- und rechtsliiujigen Mach-Linie:±d{)+ iX ~x+ {iX {) ~::Jy IdpPO.=(75)Die Winkel sind im BogenmaB zu messen, das letzte Glied faUt bei ebenerStromung(~---->- 0) weg.yLangs einer Stromlinie gilt wegen der dort herrschenden Isentropie fUr einid. Gas konst. sp. W.:o=~-u~P!!r1y--u~=PP+udTT=(l-u).cJ,~p+ 2u~.cDaraus folgt bei naherungsweise konstanter Geschwindigkeit langs derStromlinie:x-I1 dpdiX = - - 2 - iX ",-P + '" .(76)Eine Elimination des Druckes aus den Gl. (75), (76) kommt naturlich nichtin Frage, da diese Bedingungen auf vallig verschiedenen Kurven gelten.Die Randbedingung am Karper y = h(x) schreibt den Stromungswinkel dortvor.
Wegen dessen Kleinheit gilt:auf y = h(x):{) = h'(x).(77)Aus dem Gleichungssystem (75), (76) ist nun sofort ein Ahnlichkeitsgesetz abzulesen, wenn noch die StoBbedingungen (72) und (73) geeignet geschriebenwerden. Diese interessieren nur fUr p, {) und iX, da nur diese Veranderlichen inden Gleichungen auftreten, und allenfalls fur y wegen der Form d~s StoBes.
MitMoo als Mach-Zahl der Anstromung und Poo als entsprechenden Druck giltam StoB:2P------2P!!oo_42.Wbo - XTTy , {) =x!l y = V~(X2- 1;rX.(78)Die Gleichungen (75) und (76) gelten nun in gleicher Weise fUr p wie furP ., _.__2w!!oo00Fur letzteren Ausdruck ist aber die Mach-Zahl der Anstromung ausallen Gleichungen eliminiert.
Es muB sich also bei gleicher Korperform an jederStelle des Raumes derselbe Wert von-~wP -,!!ooiX, {)und y ergeben. Das Bild00der Maehsehen Linien, der Stromlinien oder der StoBfront ist bei gleiehen ebenenoder achsensymmetrischen Karpern dasselbe, unabhangig von der Hyper-MaehW'Zahl Moo, wahrend der Druek wie der Staudruek !!oo 200anwaehst. Damit er-geben sieh aber auch die Beiwerte der Luftkrafte in ebener und achsensymmetri-VIII, 21.
Hyperschallstromung.305scher Hyperschallstromung unabhangig von M oc" ein Resultat, das sich an denexakten Lasungen der Keil- und Kegelstromung erharten laBt und im Gegensatz zu den Ergebnissen von TSIEN 28 steht.Das Ahnlichkeitsgesetz laBt sich noch auf affin verzerrte Korper erweitern.Zu diesem Zweck seien mit h m als Maximaldicke des Korpers oder des Profilsfolgende neue GraBen eingefUhrt:-:& =-hI f};meX = -hI IX;mY=-hI y;mY=hY ;undmp=12002W '00h~'(79)mDagegen bleibe die x-Richtung nach wie vor durch die KarperHinge dimensionslos gemacht.
Dann lautet die Randbedingung:y=aufh(x)hm= f (x):f}= f'(x),(SO)mit f(x) = h(x)/hm als fUr alle affin verzerrten Karper gleichbleibende Funktion.Die StoBbedingungen lauten nun:p=-;-!Iy2;{j =-;-!Iy=VX(X~I)eX.(Sl)SchlieBlich lauten die Differentialgleichungen langs Mach- und Stromlinien:±df}+-I dpIX)iP+ {- f}- yJdx-,O'IXI _d- _IX -dpup'x- I - I- 2 - IXNun kommt weder die Karperdicke h m noch die Mach-Zahl der AnstramungMoo in den Gleichungen und Randbedingungen vor, weshalb sich unabhangigvon h m und Moo fur aBe schlanken ebenen oder achsensymmetrischen Karperdieselbe Losung fUr: eX (x, y), {j (x, y), y(x) und p (x, y) ergeben muB.
Das gibtin Verallgemeinerung des zuerst abgeleiteten Gesetzes gleiche Werte von p an derKarperoberflache. Bei gleichem Staudruck 1200:~und affinen Korpern muBsich der Druck also verhalten wie die Quadrate der Maximaldicken h m ! [SieheG1. (79).] Das ganze Bild von Mach-Linien, StoBfront und Stromlinien verzerrtsich wie die Karperstromlinie.1m Bereich der Karperspitze ist wegen der hohen Drucke das Verhaltnis vonDruck und Staudruck dem Druckkoeffizienten gleichzusetzen:=cp2 P-Poo1200 W~=2p_~_I_1200 W~x M~(S2)2p1200 WboDiese Naherung durfte am und nach dem Dickenmaximum falsch sein, weil dieDrucke dort den Anstramdruck erreichen durften und auch wohl kleiner als dieserwerden. Damit werden die Drucke aber an dies en Stellen bedeutungslos und dieNaherung GJ.
(S2) kann am ganzen Korper verwendet werden, wenn es sich umUberblicke oder Integrale uber den Karper handelt. Fur die Luftkrafte ist in Hyperschallstramung jedenfalls nur der Teil vor dem Dickenmaximum bedeutungsvoll.Wie exakt gezeigt werden kann30, strebt die Stromung urn Korper beliebigerForm undDicke mit Moo ~ 00 einem Endzustand zu, der urn so schneller erreichtwird, je stumpfer die Korpernase ist.
Dabei werden die Beiwerte der Luftkrafteunabhangig von Moo. Bei flachen Karpern ergeben sich in jedem Langsschnittdie gleichen Stromungszustande wie bei ebener Stromung urn ein Profil von derForm des Langsschnittes. Der Auftrieb wachst mit dem Quadrat des Anstellwinkels.In jenem Bereich Machscher Zahlen, in welchem 2 h m Moo'-"'" 1 gilt, kannen nachH. TSIEN Stramungen gleichen Parameterwertes 2 h m Moo urn schlanke Karpermiteinanderverglichen werden. Derdickere KarpermuB darnach mitkleinerer MachZahl angestramt werden und ergibt31 Beiwerte der Luftkrafte proportional zu h m 2 •Oswatitsch, Gasdynamik.20306 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u.
achsensymmetrischeUberschallstromung.Yom Hyperschall zu unterscheiden ist die Supraaerodynamik 29 . Dieses Wortwird fiir jene Stromungen gebraucht, bei welchen die mittlere freie Weglangeder Molekiile eine Rolle spielt. Eine reine SupraschaHstromung wiirde sich dannergeben, wenn die Korper klein gegen die mittlere freie Weglange der Molekiilesein wiirden. Dieses zur Gaskinetik gehorige Forschungsgebiet faUt aus demRahmen dieses Buches. Seine praktische Bedeutung ist noch nicht allzu groBund vor aHem dadurch beschrankt, daB die viel wichtigere kompressible Grenzschichtstromung selbst noch wenig erforscht ist. Es zeigt sich, daB die Supraaerodynamik beim Fluge an der Atmospharengrenze merkliche Effekte ergebenkann. Schon die Stromung stark verdiinnter Gase zwischen zwei ebenen PlattensteUt ein schwer zu losendes Problem dar, wenn die mittlere freie Weglange von derGroBenordnung des Plattenabstandes ist.
Auch die Vorgange im VerdichtungsstoB sind ein Problem der Supraaerodynamik, da seine Tiefe von der GroBenordnung der mittleren freien Weglange der Molekiile ist.22. Berechnung drehungsfreier ebener Uberschallfelder.(Modifiziert es Prand tl- B usemann - V erf ahr en.)Nach dem Croccoschen Wirbelsatz ist eine drehungsfreie Stromung auch stetsisentrop. Die Vertraglichkeitsbedingungen - also die auf die Mach-Linien transformierten Differentialgleichungen - nehmen dann die einfache Form (52) an,die eine feste Beziehung von Geschwindigkeitsbetrag und -richtung darsteUt.Damit liegen die Charakteristiken im Hodographen, wie schon friiher betont, fest.Die Beispiele iiber Profilstromung zeigten, daB auch dann naherungsweisewie bei einer wirbelfreien Stromung gerechnet werden kann, wenn die Entropieunterschiede quer zur Stromungsrichtung geniigend klein sind.
In dieser "isentropen Naherung" ist auf jeder Stromlinie derjenigeRuhedruck anzunehmen, welcher sich aus den VerIustenin den vorangegangenen VerdichtungsstoBen ergibt. Erist wohl fiir die Energiedissipation, nicht aber fiir dieWirbelbildung von Bedeutung. Ein exaktes Beispieldafiir gibt die Stromung an einem Keil. Sie ist eineAbb. 191. Kr<>uzungspunkt Pwirbelfreie Parallelstromung mit iiberaU gleichmaBig abzwcicr !liach·Unlen.gesunkenem Ruhedruck. Tatsachlich ergeben sich, wieman sich leicht iiberzeugen kann, die Vertraglichkeitsbedingungen (52) direktaus der allgemein geltenden gasd. Gl.
(VI, 11) und der Gl. (VI, 9) fiir dieWirbelfreiheit. Das Folgende gilt daher gleichzeitig fiir die annahernd wirbelfreieStromung der "isentropen Naherung".Angenommen, der Stromungszustand sei in zwei Punkten P r und PI derStromungsebene bekannt. Dann gibt es einen Punkt P, welchel" mit demPunkte P r die rechtslaufige und mit dem Punkte P~ die linkslaufige MachLinie gemeinsam hat (Abb. 191). Seine Lage ist also nur indirekt gegeben.Sein Zustand laBt sich allerdings sofort angeben. Die in der Gl. (54) auftretendeGeschwindigkeitsfunktion sei bezeichnet mit:Oh(M*)=1000 -+ arctgVu+T~l arctgVx+,( %I. rI/ -2M*2-1V x=-r- (M+*2-1)M*2---=---i---,- 1 _2_ _ (M*2_1),,- 1wobei die Funktionen arctg in Winkelgraden ausgedriickt werden sollen.(83)VIII, 22.
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