K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Wie bei den instationaren Stromungen kann, also von"EinfluBge bieten", "A bhangigkeitsge bieten" und "Fortsetzungsge bieten" gesprochen werden, wobei die Abb. 48, 49, 50 einfach in die x, y-Ebene, die Stromungsebene der ebenen oder achsensymmetrischen Stromung zu ubertragen sind.Jede Machsche Linie kann als Rand eines EinfluBgebietes in Frage kommen.Durch die Zustande aUf der Mach-Linie sind die Ableitungen langs der MachLinie gegeben. Diese durfen nun aber nicht mit den Ableitungen zusammenhangen, welche von der Mach-Linie wegfiihren, weil sonst entgegen der Voraussetzung ein EinfluB uber das EinfluBgebietyhinaus bestehen wurde (siehe Abschnitt III, 25).Es muB also bei der stationaren Uberschallstromung wie bei der instationaren Stromungeine besonders einfache Gestalt der Differentialgleichungen nach Transformation auf dieMachschen Linien erwartet werden.
Diesewerden wieder als Charakteristiken bezeichnet.Beim Blick in Stromungsrichtung sei dielinkslaufige Charakteristik, welche den NeiAbb. 176. Charakteri tikenneigung in dertromungsebene.gungswinkel {}iX mit der x-Achse einschlieBt, mit ; = konst., die rechtslaufigeCharakteristik, welche den Neigungswinkel {} - iX mit der x-Achse einschlieBt,mit 1) = konst. bezeichnet (Abb. 176). Dann ist:+;",j;y= -tg ({) +iX);1)x/1}y= -tg ({}-iX).(42)Diese Gleichungen fuhren zum Spezial£all kleiner Storungen, wenn {} = 0und iX = iXC>:) gesetzt wird. Die Mach-Linien sind dann zwei Scharen parallelerGeraden (Abb. 140) mit den Neigungen:; x/; y= - tg1iXC>:)= - \1M60 _ 1;1) x/1) y= tg iXC>:)=1(43)~--=-i- 'Rier interessiert nUl:' der allgemeine Fall. Es ist zweckmiiBig, entsprechendzu GI.
(VI, 50) die Betrage der Gradienten von ; und 1) einzufuhren. AusGI. (42) foIgt dann:+ IX) Vr:-~-;;x2-+--;~-::y = hI sin ({) + IX);sin ({) - IX) V1)x2 + 1)y2 = - h2 sin ({) -~ x = sin ({)1)x =-2~y =iX);-hI cos ({)1)y =+ IX),h2 cos ({) -IX). (44)Dabei liegt eine Willkur in der Wahl der positiven Gradientenrichtung. DieWahl wurde so getroffen, daB die Zahlung von ~ in Richtung von x und dieZahlung von 'Yj in Richtung von y verlauft, wenn -n/2 < {} < n /2 ist. Der Betragdes Machschen Winkels iX ubersteigt definitionsgemaB nie den Wert n/2.
Die Differentialgleichungen wurden bereits in Abschnitt VI, 6 auf allgemeine Koordinatentransformiert. Vor deren Anwendung sollen noch folgende, haufig vorkommendeAusdrucke mittels GJ. (44) und GJ. (VI, 40) vereinfacht werden:u;xU 1)x+V; =+ v 1)y =y++hI W [sin ({)iX) cos {} cos ({)IX) sin {}] = hI W sin iX = hI C.h2 W [ - sin ({)- IX) cos {} cos ({}-iX) sin {}] = h2 W sin iX = h2 c.+(45)VIII, 14. Transformation der Differentialgleichungen auf die Machschen Linien.287DaB hier nur c vorkommt, kann nicht verwundern, denn es handelt sich urn eininneres PrQdukt von Geschwindigkeitsvektor und Gradient der Mach-Linie(Abb. 177) Die Normalkomponente der Geschwindigkeit auf diese ist aber c.Aus der Kontinuitatsbedingung (VI, 45) sei die Dichte mit dem Energiesatz(VI, 47) eliminiert, so daB sich zusammen mit den beiden Eulerschen Gl.
(VI, 46)drei Gleichungen fiir u, v, P ergeben. Mit Gl. (44) und (45) gilt dann:c (! hI sin ({}+ IX) 'uo -C (! h2 sin ({} -C (! hI cos ({}IX) u7] -+ IX) ~ ++ c(! h2 cos ({} - IX) v7] + hI P~ + h2 P7] + {(}yv c} = 0;c (! hI u~ + c (! h2 u7] + hI sin ({} + IX) P; - h2 sin ({} - IX) P7] =c (! hI v; + c (! h2 v7] - hI cos ({} + IX) P~ + h2 cos ({} - IX) P7] =V0;O.Das eingeklammerte Glied in der ersten Gleichung gilt dabei fiir achsensymmetrische Stromung. Die Eulerschen Gleichungen weisen kein entsprechendes Zusatzglied auf. Nach den friiheren Uberlegungen darf nun etwa auf derlinkslaufigen Mach-Linie (.; = konst.) keine Ableitung U~,v;, Po vorkommen. Aus dem System laSt sich durch Multiplizieren der drei Gleichungen mit1 ; - sin ({}IX);cos ({}IX)und nachfolgender Addition leicht U und v fortschaffen.Tatsachlich verschwindet dann gleichzeitig auch derKoeffizient von Pr;o Nach trigonometrischen UmformungenAbb.177.
Ge chwlndigkeits·und Division durch 2 c h2 cos IX bleibt\"ck tor und Gradient dor+.-sm{}u7]++ cos{}v7] +cosc-(}- prj +IX{- 2h VY 2 cos}IX=) Iach-Linic.O.Es ist hier zweckmiWig, W und {} einzufiihren, mit Gl. (VI, 40) ist:{}'1Prjsin {}}+ cot IX -W2+ {- Y2h -- =(}cos2O.IXFiir ebene Stromung Ware man mit obiger Gleichung schon am Ziel mit einersehr einfachen Gleichung auf'; = konst. als Resultat. Bei achsensymmetrischerStromung ist es jedoch zweckmaBig, die Bogenlange llangs der Machschen Linieeinzufiihren.
Das Bogenlangenelement ist bekanntlich gegeben durch:Vx t + Ytdt,wenn die Kurve durch die Parameterdarstellung x(t), y(t) dargestellt wird. DieKurve .; = ';1 = konst. hat dann die Darstellung X(';l' rJ), Y(';l' rJ). Mit denGl. (VI, 43, 44) ergibt sich nun allgemein:dl =h12 h22 [sin (fJ2+ IX) cos (fJ-lX) -2sin (fJ-lX) cos (fJ1+ 1X)]2woraus fiir das Bogenelement folgt:(.!!,-) = Vx + y( 1);'12'12=1---..,.-_h2 sin 2 IX(46)----0-----0-'eine Beziehung, die sich auch geometrisch deuten lieBe. Wird mit dieser dieGroBe h2 eleminiert, so ergibt sich die Gleichung:{}'1cot( .
IX SIll. {} -1- ;Ol}+ -W2P7] + {SIll- =(}tYIXu~0,(47)288 VIII. Stationare, reibungsfroie ebene u. aohsensymmotrische Uberschallstr6mung.auf der linkslaufigen Charakteristik:von iX genommen wird:ex P~- {}~ -;-, -cotW2~ =konst. Indem das negative V orzeichen+ <(sm. i:lln. {} - 1iXDZ}~e l Y 0,=0,(47)auf der rechtslaufigen Charakteristik: 1] = konst.Die G1. (47) Hind das Analogon zu den G1. (III, 106) auf den }\hch-Linien derinstationaren eindimensionalen Stromung und werden wie diese Vertraglichkeitsbedingungen genannt. Sie reichen zur Berechnung iRentroper Stromungen aus,weil dann auch der Druck nur von TV abhangt, womit {} und TV als einzige Unbekannte auftreten. [Wie .il1 hangt ja auch.x bei isoenergetischer Stromung uberden EnergieHatz (11, 29) stets nur von TV abo Die entsprechenden Formeln inTab.
II, 5 gelten liber VerdichtungsstoDe hinweg.] 1m allgemeinen Fall der i80energetischen Stromung kommt noch G1. (VI, 3) dazu, die amlsagt, daD die Entropieauf Strom1inien konstant ist, daD die Bernoulli8che Gleiehung also auf jeder i:-ltromlinie zwischen SUi/3en gilt mit einemmit der Stromlinie sich andernden Ruhedruek Po.15.
Die l\lachschen Linien als Kurven unbestimmter Querableitnng.Obwohl mit den GI. (47) bereits daR gewunschte Zie1 erreieht wurde, sei hierzur Vertiefung deH Verstandnisses noch eine andere Darstellung gegeben, zunmlein entsprechender Weg auch bei del' im;tationaren eindimensionalen Stromung beRchritten werden kann.
Die Betrachtung sei dabei auf den ebenen Fall beschriinkt.Sie kann dabei an del' gasd. G1. (VI, 11) uml dem Croccoschen WirbelRatz GI. (VI, 25)- ahl zwei Gleiehungen mit den Unbekannten u, v - durchgeflihrt werdell, dochtlei hier wieder daR SYI'ltem von Kontinuitat:,;bedingung und Eulerschei' Gleiehungbevorzugt. Bei Achsensymmetrie i::.;t die Betraehtung nicht nennenRwert andel·s.Es sei von del' Frage ausgegangen, ob es Kmven in del' Stronnmgtiebene giLt,bei denen es nieht moglich ist, auf den i:-ltromungszustand ill deI' Nachbarschaftdel' Kurve zu schlieDen, wenn der Stromungszustand auf der Kurve gegeben ist.Zm Beantwortung del' :Frage seien neue allgemeine Koordinaten ~, II [G1. (VI, 43)]eingefiihrt.
Eine tiolehe (zuniiehst noeh hypothetisehe) Kurve mit del' eben geforderten Eigenschaft sei ~ = konst., so daB die bekannten Ah1eitungen der Zustande liings del' Kurve dureh die Ableitungen nach 17 unLl die gesuchten, von del'Kurve wegfuhrenden Ableitungen durch die Ableitungen nach ~ gegeben Rind.Naeh Elimination der Dichte aus del' Kontinuitatsbedingung Gl. (VI, 45) mitdem Energiesatz (VI, 47) Reien die bekannten Ableitungen auf die rechteGleichungsseite gebracht, mit folgendem Ergebnis:C2 (! ~x1l~+ C2 (! ~y1;~ + (u ~x + V ~y) p~ = - c2 (!"Ix117]-c2(! l].y 'Url-CUllx+ V1]y) Prj;(!(1l~x+V~1JUI;+~xP~=-g(U1]x-f--VI]y)U7]-1I x Pr;;g(1ltx+V~y)VI;+tyPt;=-e(Ul/ x +Vl/y)Vr;- f l ll P'I'Bei gegebenem Kurvennetz ~ (X, Y)' 'fl (X, y) 8tehen oben drei Gleichungen fUr dieunbekannten Ableitungenu~, VI;, p~.
Da das KurVentlYRtem nur indirekt durcheine Forderung gegeben ist, enthalten die Gleichungen die noch zu bestimmendenAbleitungen ~ x' ~ Y' 17x' 'l}y. Nach der Kramersehen Regel fUr die Auflosung lineare~ GJeichungRsy"teme ergibt sich etwa fiir P~:c2 e C;y;0;p~=-C2e1lxU7]-C2 (1)y'O'I- (U'flx- e (U1Jx- e (uYJx +Q(u~x+v~y);c2 e ~x;+ '011Y) U'Ic 2 e ~y;Q(U~x+V~y);O·,0;e(u~x+v~y);+ '01)y) pr;1-1}xPYJV1)y) '011 -1)y P'I(U ~xl v ~y)I:"x~yII(48)VIII, 16. Die exakte isentrope Profilstr6mung.289Wenn PI; unbestimmt sein soIl, so muB die Nennerdeterminante, die ubrigensfur ul; und vI; gIeichlautet, verschwinden. Aus dem Nullsetzen der Nennerdeterminante ergibt sich die einfache Gleichung(u;xv ;y) [(U 2 _C 2) ;x2 2 U V;X;y(V 2 -C2) ;y21 = O.(49)+++Darnach gibt es in einem Punkt drei Richtungen, fur die die Ableitungenunbestimmt sind, und zwar:ul;, VI;.
PI;-~=~ =tg{}'u~yund:~x~ II'(50)uv±cVW2 _-C2 _vVWz=c2±uc_ tgB-±tg<x =tg({}±iX).2 =f v c - 1 =f tg B- tg <Xu 2 - c2U VW2 - c-Zu den beiden Richtungen der Machschen Linien Ltg ({) ± iX)] kommt alsonoch die Richtung der Stromlinie hinzu. Das ist aber auch nach den behandeltenBeispielen nicht verwunderlich (etwa Abb. 163), weil die Geschwindigkeit- allerdings nicht der Druck - bei anisentroper Stromung an einer Stromliniesogar einen Sprung machen kann, der aus der Verteilung auf der einen Seite derStromlinie nicht berechenbar ist. Bei isentroper Stromung tritt die Stromlinieals dritte Charakteristik nicht auf.SoIl nun PI; keinen Sprung machen, dann muB gleichzeitig mit der Nennerdeterminante in Gl.
(48) auch die Zahlerdeterminante verschwinden. Darausergeben sich dann die "Vertraglichkeitsbedingungen" und aus dieser Eigenschaftergibt sich auch ihre Bezeichnung. Durch Nullsetzen der Zahlerdeterminantefolgt nach einigen einfachen Reduktionen:v c2e [; x 1)- {1)x [(u 2 -II -c2 ) ;x1) x ; y] u'1 -+UU+ 1)yv ;y]c2e [; x 1) y -[(V2 -c2 ) ;y1) x ; y] V r,+Uv+;xJ} P'7=O.Nun ergibt sich aus Gl. (50):und+y+(u 2 - - c2 ); xUv;y(v 2 - - c2 );Uv;x ===f ;11 c VW2 - c~± ; x c VW2 -c2•Diese Richtungsbedingung von; = konst. in den Koeffizienten von P'7 eingefuhrt, ergibt fUr ; x 1) II -1) x ;11 =1= 0 sofart:Vu'7 -Uv'71=f cot iX eP'7 = 0,(51)die Vertraglichkeitsbedingung fUr die beiden Richtungen {} ± IX. Sie lassen sichleicht in die VertragIichkeitsbedingungen (47) fur ebene Stromung uberfuhren.Es sei darauf hingewiesen, daB bei dieser Herleitung ; = konst. als eine derbeiden Machschen Linien angenommen wurde, wahrend 1) = konst.
beIiebigsein konnte. Bei der Ableitung von Gl. (51) konnten daher nur Beziehungen fur; xl; y verwendet werden.1m folgenden seien nun aber stets ; = konst. und 1) = konst. die beidenScharen Machscher Linien.16. Die exakte isentrope Profilstromung.In diesem Abschnitt, der mit Abschnitt III, 27 uber die Ausbreitung ebenerWellen nabe verwandt ist, wird die e bene isentrope Strom ung urn ein ProfiI exaktbehandelt. Zu diesem Zweck sei von den entsprechenden Vertraglichkeitsbedingungen ausgegangen, nachdem der Druck mittels der Bernoullischen Gl.
(II, 51)Oswatitsch, Gasdynamik.III290 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.durch die Geschwindigkeit ersetzt wurde. Auf del' links- und rechtslaufigen MachLinie gilt dann:f} - ~ot IX W = o·f}~CO~IX W.; = o.(52)1]W1],+Diese Gleichungen stellen die Anderungen des Stromungszustandes auf denMach-Linien dar.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
