K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 81
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Der Herzkurve kann aber der 8to13winkel y nicht mehr so leicht ent-VIII, 8. Der StoLl im Zentrum einer Prandtl.Meyer-Kompression.279nommen werden, weshalb es praktisch ist, y-Kurven in das Herzkurvendiagrammeinzuzeichnen. Aus der StoBtabelle II, 1 folgt fur jedes Druckverhaltnis derWert von M sin y. Mit dem Wert von y weiB man dann auch M, M* und alleanderen Daten hinter dem StoB. AIle thermischen GroBen einschlieBlich desRuhedruckverhiHtnisses ergeben sich direkt aus dem Druckverhaltnis in Tab. II, l.Zur Feststellung des Zustandes 3 wird auch die Prandtl-Meyer-Expansion[GI. (VI, 81)] in ein log ~, -&-Diagramm eingezeichnet (moglichst auf durchsichtigemPIPapier).
Es ergeben sich je eine Kurve fur die Expansion im und gegen den Uhr.,y.<,-OO·NzoI. 75tJ./,.f(l0us-/J,~-IJ,.!,(lploJ'p"10';;;-10'Abb . 161. Prandtl-Meyer-Expansion in der verzerrtenpo, .?-Ebene.Abb. 162. Reflexian am Strablrand im Herzkurvendiagramm.zeigersinn (Abb. 161). An der Kurve sind die zugehOrigen Mach-Zahlen notiert.Eine Parallelverschiebung der Kurve in -&-Richtung kommt einer Anderung desWinkels bei M..=1, eine Parallelverschiebung in log L-Richtung kommt einerPIAnderung des Bezugsdruckes gleich.
Urn die yom Zustand 2 ausgehende Expansion zu erfassen, ist die Prandtl-Meyer-Kurve so zu verschieben, daB sie durchden Punkt 2 der Herzkurve geht und sich mit der dortigen Machschen Zahldeckt. Der Zustand 3 ergibt sich dann auf den Geraden log L..Die Ahnlichkeit mit dem StoBpolarenbild (159) ist deutlich.Pl=0 (Abb. 162).8. Der Sto8 im Zentrum einer Prandtl-Meyer-Kompression.Die Frage, was im Zentrum einer durch eine konkave Wand vorgegebenenPrandtl-Meyer-Kompression geschieht (Abb. 150), kann nun leicht beantwortetwerden.
Der Zustand 2 nachder Kompression ist durchDruck und Richtung volligbestimmt. Da er durch isentrope Verdichtung aus demZustand 1 erreicht wurde,o loti!!J /IIkann er nicht gleichzeitigauch uber einen schiefen StoB Abb. 163. Zustand im Zentrum einer Prandtl-Meyer-Verdich(.ung.hergestellt werden. Dies istnur naherungsweise in "isentroper Naherung" moglich, in der sich der StoB ohneweiteres aus der vorgeschriebenen Richtungsanderung ergibt, wobei an der von Pausgehenden Stromlinie der gleiche Druck entsteht wie bei der stetigen Kompression.Exakt ist der Druck bei gleicher Ablenkung nach einem StoB stets etwaskleiner als nach einer stetigen Verdichtung. Dieser muB also eine von P a.usgehende Expansion folgen, die so groB ist, daB an der Begrenzungsstromlinie vonstetig und unstetig verdichtetem Medium wieder derselbe Druck P3 = p,,280 VIII.
Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstriimung.(Abb. 163) herrscht. Del' Endzustand in den Feldern 3 und 4 ergibt sichsofort aus del' von 1 ausgehenden Herzkurve und del' gegen den LThrzeigerdrehenden, yom Zustand 2 ausgehenden Prandtl-Meyer-Expansion. J.'Jfa ergibtsich dabei aus der Herzkurve, M4 hingegen aus der Prandtl-Meyer-Kurve. DerUnterschied zwischen den Zustanden 3 und 4 ist im allgemeinen gering unddie Expansion von 2 nach 4 schwach (vgl.
auch Abb. 41).Die in P ansetzende Stromlinie liegt an einem Geschwindigkeitssprung, es isteine Unstetigkeitslinie. Mathematisch ware dieser Geschwindigkeitssprung durcheine Wirbelbelegung darzustellen. Die Stromung ist als ganze nicht mehr wirbelfrei, wohl abel' noch in den Teilgebieten beiderseits der Wirbelbelegung. 1mallgemeinen kann also eine Stromung mit schiefen StoBen nicht mehr aIRwirbelfrei angesehen werden.9. Zusammentreffen gleichlaufender StoBwellen.Die Prandtl-Meyer-Verdichtung kann als Grenzfall einer groBen Anzahl ineinem Punkte zusammenlaufender schiefer StoBe aufgefaBt werden.
Der V organgim Treffpunkt zweier gleichlaufender schiefer StoBe hervorgerufen etwa durchzweiaufeinanderfolgendeWandknickt' (Abb. 164, siehe1 /0.ff, auchAbb.42)-ist alsonaheverwandt. Wieder ist der Vel'Abb. 164. Zusammeutreffen gleichgerichteter StoLle.lust in beiden schiefen SWBenzusammen geringer als in dem einen StoB, del' jenseits des Zusammentreffens entsteht. Immerhin ist del' Verlust abel' groBer als bei einer isentropen Verdichtungauf gleichen Stromungswinkel.
Del' yom Treffpunkt P ausgehende Verdiinnungsfacher ist also im allgemeinen noch schwiicher als beim vorangegangenen Beispiel.Die "isentrope Naherung" ist meist schon recht gut, was sich in einelll geringenAbweichen der Herzkurven voneinander auBert.Der Zustand 2 und 3 liegt auf der Herzkurve des Zustandes 1. 1mPunkte 2 setzt die zu diesem Zustand gehorige Herzkurve an und fiihrt zu demdurch den zweiten Wandknick gegebenen Zustand 4.
DerSchnittpunkt del' vondort ausgehenden Prandtl-Meyer-Expansion mit del' Herzkurve von 1 gibt dieZustande 3 und 5, wobei sich wieder M3 und M3* aus del' Hel'zkul've, -,rI5 undJ.:tIt aus del' Prandtl-Meyer-Expansion ergibt.10. Zusammentreffen gegenlliufiger StoBwellen.Die Reflexion eines StoBes an einer Wand (Abb. 157) kommt dem Zus:tmmentl'effen zweier gegenlaufigel', gleichstarker StoBwellen in der Wandebenegleich. Das Zusammentreffen von#StoBen unterschiedlicher Starkesei wieder im Herzkurvendiagramm betrachtet (Abb.
165). Dit'fZustande 2 und 3 liegen nun aufdel' positiven und negativen Seitedel' Herzkurve des Zustandes 1.Abb. 165. Zusammentreffen gegenliiufiger StoLle.Dort sind die Herzkurwn von 2und 3 anzusetzen, aus del'enSchnittpunkt sich nun sofort die Zustande 4 und 5 gleichen Druckes und gleicherRichtung, abel' im allgemeinen unterschiedlicher Mach-Zahl ergeben.
Bei haufiger281VIII, 11. Del' Gabelsto13.Behandlung diesel' Aufgabe empfiehlt es sich, zwei durchsichtige Herzkurvendiagramme zu haben, die auf einem undurchsichtigen verschoben werden. DieMannigfaltigkeit aller Losungen la13t sich gut uberbIicken, wenn man iihnlichwie in Abb. 158 "vollstandige" Herzkurven zu Hilfe nimmt. Zustand 1 undZustand 4-5 sind dann zwei Schnittpunkte del' vollstandigen Herzkurvenyom Zustand 2 und 3.Die entsprechende instationare Aufgabe zeigt Abb. 40.11.
Der GabelstoB.Es erweist sich auch durchaus als moglich, daB beim Zusammentreffen zweierStoBe nul' ein einziger StoB abzweigt, ohne daB es zu einem Prandtl-MeyerFacher kommt. Man spricht dann von GabelstoBen. Sie sind in Wandnahe imZusammenhang mit Grenzschichtvorgangen oft zu beobachten. Urn die Moglichkeiten eines GabelstoBes bei einer bestimmten Mach-Zahl 2111 del' Anstromung zustudieren, sind fur die verschiedenenPunkte del' Herzkurve des Zustandes 1die zugeh origen Herzkul'ven zu zeichnen(Abb. 166).
El'gibt sich ein Schnittpunkt del' Herzkurve des Zustandes 2,weI chel' sel bst ein Punkt del' Hel'zkurve 1ist, mit del' Herzkurve 1, so gibt esAbb. 166. Der GabelstoB.einen GabelstoB. Denn del' Zustand 3ist dann sowohl uber einen StoB alsauch uber zwei St oBe yom Zustand 1 aus erreichbal'. Die Erscheinung kann inisentropel' Naherung naturlich auch direkt im Busemannschen StoBpolarendiagramm studiert werden, wobei sich del' Stromungszustand etwas schnellerergibt als aus dem Herzkurvendiagramm.Mit dem GabelstoB haben sich erstmalig A. WEISE 12 und H.
EOOINK 13 beschaftigt. Verbesserungen und Vereinfachungen gibt W. WUEST 14 . Eine genaueFeststellung aller ~Ioglichkeiten bedarf einer sehr genauen Untersuchung, welcheF. WECKEN 15 gibt. Dabei zeigt sich, daB es unter Umstanden nicht nul' zwei,sondeI'll auch drei Losungen bei gegebenen Zustanden 1 und 2 geben kann.Unter einer bestimmten Mach-Zahl (fUr u = 1,405: Ml = 1,2447 nachW. WUEST) gibt es keinen Gabelsto13. Dies ist interessant, weil die Dberlegungenauch fur einen Punkt einer beliebigen Stl'omung gelten.
Denn del' Vorgang del'Gabelung volizieht sich in einem auBerordentlich kleinen Bereich, in dem dieStromung im allgemeinen als parallel angesehen werden kann.,12. Kegelige Stromung.Wie alle in den letzten Abschnitten behandelten Stl'omungen, zeichnet sichauch die Stromung an einem Kreiskegel dadurch aus, daB del' Stl'omungszustandlediglich yom Polal'winkel abhangt, auf allen von del' Kegelspitze ausgehendenKegelflachen also konstant ist. Voraussetzung ist dabei, daB eine entsprechendeStl'omung uberhaupt besteht, d.
h. daB die Kopfwelle an del' Kegelspitze anliegt.Tut sie das nicht, etwa weil del' Kegel zu stumpf ist, so kann man genau wie beimKeil schlieBen (Abschnitt 5), daB es an einem unendlich langen Kegel keineDberschallstromung gibt.AnschlieBend an die Prandtl-~Ieyer-Stromung wurde in Abschnitt VI, 12eine kegelige Kompressionsstl'omung behandelt. Mit deren Rilfe ist es allerdingsnicht moglich, yom Kegel ausgehend die Stromung VOl' diesem zu bel'echnen, weildie GroBe del' Geschwindigkeit am Kegel unbekannt ist. Doch laBt sich iiiI' einen18 a282 VIII.
Stationare, reibungsfreie ebeno u. achsensymmotrische t~berRchallstromung.gegebenen StoBwinkel y - ausgehend von den Bedingungen hinter dem StoB- die Stromung bis zum Kegel leieht naeh Abb. III konstruieren. Da essieh um eine Konstruktion im Hodographen handelt, ergibt sieh fur jeden StoBAbb. 167. Stollpolare nnd Apfelkurve.Abb. 168. Kegelstromung bei M 00 ~ 1,aO nach TAYLORund :\iACOLL. - _ .vlnch·Linien, ___ Stromlinien.bei einem bestimmten Moo, d. h.
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