K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 76
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(rechtslaufige Gerade) konstant. ~ = konst . und rJ = konst.sind die beiden Scharen Machscher Linien.Losung (VI, 36) gilt wie die Differentialgleichung selbst nur in der freienStromung, also nicht tiber das Profil hinweg. Die Losung sagt also nur tiber dieWirkungen etwas aus, welche die Profiloberflache auf die Stromung austibt.Eine Anderung etwa an der Unterseite kann sich an der Oberseite gar nicht auswirken.
Die Stromungszustande an beiden Seiten sind demnach vollig unabhangig voneinander. An der Oberseite gilt also:Abb. 140. Schlankcs Profil in ttberschallstromung.VMba- 1 y);cP = Fd x -vcPy = und an der Unterseite:cP = F2 (x=+ V Mba v =1u-u oo = CPx=FI' (x- VMba - 1 y);V M ba- 1 F/(x-VMba- 1 y)y); u -U ooV Mba - 1 F 2' (x=CP x = F 2' (x+ V Mba -1+ V M:'x, -1y);y) .Damit besteht folgende Beziehung zwischen u - U oo und v, d.
h. innerhalbder Naherung zwischen Geschwindigkeitsbetrag und Geschwindigkeitswinkelan der Ober- und Unterseite des Profiles:u-uoo==f-,-v- - .VM'60 - 1(3)Nach dieser Ackeretschen I Formel hangt also die Geschwindigkeitsstorungnur vom lokalen Stromungswinkel, also auch nicht von der Profilform vor derbetrachteten Stelle, abo Oberflachenelemente, welche in die Stromung hereingedreht sind, ergeben Untergeschwindigkeiten und Dberdrucke (Stauwirkung),VIII, 1.
Schwach gestorte ebene Parallelstromung.261OberfHichenelemente, welche aus der Stromung herausgedreht sind, ergebenDbergeschwindigkeiten (Sogwirkung) und Unterdrucke. Fur ein Kreisbogenzweieck ergibt sich also eine Geschwindigkeitsverteilung (Abb. 141), diesich von jener in Unterschallstromung (Abb. 126) ganz wesentlich unterscheidet. An der Vorderkante herrscht Unter17,1 W-uoogeschwindigkeit und Dberdruck, an der Hinter-u;;;;kante Dbergeschwindigkeit und Unterdruck,eine Verteilung, die notwendigerweise Widerstand zur Folge hat. Auch bei schlanken - Q-+----}L----+--~Profilen ergeben sich nach Gl. (3) mit Moo ~ 11,1Joranwachsende Storungen. Diese konnen bei""00 · ?,1.J,.NII11 "17,1q.kleinen M 00- Werten nur mehr fUr kleine Dicken-1J.1verhiiltnisse als klein angesehen werden.
DieDbereinstimmung von Gl. (3) mit den Ver-rautj//1/j/jjiI/J}I/lTT7rrzzsuchen von FERRI2 ist sehr gut. Dber die AbAbb. 141. OescbwlndlgkeitsverteUung anweichungen an der Hinterkante - ein Reibungseinem Krelsbogenzweieck (Parabelbogen)effekt - wird in XI, 7 noch gesprochen werden.nach 01. (3) (_ _ ) und nneh Versuchenvon FERRI' (. 0 • Ober- und Unterseite).Mit ho(x) und hu(x) als Abstand des oberenund unteren Randes von der Profilsehne(Abb. 115) ergibt sich der Beiwert der Tangentialkraft oder des Widerstandesfur die Breiteneinheit beim Anstellwinkel e = 0 nach Gl. (VI, 141) und Gl. (3):1[(~)2+ (~)2]1e = 0: ct = cw =VM&, _2.dx1oFur das symmetrische Parabelbogenzweieck gibt das:ho = hu = 4 h m x (1 -~~x);alsoj'=-~~= 064 h m 2(1 _ 2VM&, - 1 o=X)2dx =4 h m (1 -=1(c w ),dx~3d x.2 x),(2 h m )2VM'00(4)-•1Der Widerstand ist also dem Quadrat des Dickenverhaltnisses 2 h m unddem Faktor 1/VMba - 1 proportional.
Letzteres entspricht der Pro Regel furDberschallstromungen. Sie ist bereits in Gl. (3) enthalten und wird sich entsprechend fur Auftriebs- und Momentenbeiwert ergeben. Mit den Gliedernerster Ordnung von Gl. (VI, 141) und mit Gl. (3) gilt fUr die auf die Breiteneinheit bezogenen Beiwerte:cn= 2[1 [(Uo-cm-= 2)+ y---,>,ooo__U)oo[[ dh o _1.dx2VM60 -dx =]-lIMi,----=1 [ho (l) -11U ooX [( U Uoodh udxo2oU oo( U -Y---'>'O1-=U ooU -•)+hu (l) _y~oJ]dx =+ hu (0)];ho (0)U oo( U UooJdx =)-y~o1VM"200-10x [dh o _dxdh udx]dx.(5)262 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u.
achsensymmetrische Uberschallstromung.Bei kleinen Starungen verschwindet also die Normalkraft, wenn hQ und huan Profilanfang und -ende verschwindet, oder wenn das Profil symmetrisch ist(hQ = hul, Dann verschwindet auch das Moment.Zur Berechnung der Abhangigkeit der Beiwerte yom Anstellwinkel 8 seiennochmals die Randbedingungen fur die abgeleiteten GraBen notiert. NachGl. (VI, ll5, ll6, ll9 120) gilt fur 8 = 0:1m Anstramgebiet:am Profil:U.= 0,V.=U oo ;U ee= - uoo ,0;V. =Vee= 0;Vee=0.Die Differentialgleichung ist fur die abgeleiteten Potentiale ep. und epee dieselbewie fur ep, damit gilt auch dieselbe allgemeine Lasung (VI, 36), die nun nur mehrden Randbedingungen anzupassen ist. Dabei kann zu diesel' Lasung stets nocheine lineare Funktion von x und y addiert werden. Damit ergibt sich fur ep.folgende Lasung:fury~O: ep.=uooY±~1u~F(x=t= I/M~-ly)Mbco-I~(6)mit dem in Abb. 142 wiedergegebenen Funktionsverlauf fur F('Yj).11Abb.
142.ZFunktionsverlauf von F ('I) in GI. (6).Abb.143. Verteilungderabgeleite~en Geschwindigkeitskomponenten beikleinen Storungen in ebener Stromung.Solche aus geraden Strecken zusammengesetzten Funktionen sind typisch fUr"hyperbolische" Probleme. So wurde in Teil III (Abb.
46) die Fortpflanzungvon "Sagezahnen" studiert. Auch die Geschwindigkeitsverteilung in Abb. 141hat diesen Typus, so daf3 also F('Y}) in Gl. (6) nichts Ungewohntes mehr darstellt. Bei"elliptischen" Problemen, etwa bei der Unterschallstromung, treten entsprechendeFunktionen kaum auf und verursachen, wenn sie durch die Randbedingung aufgezwungen werden, meist Unannehmlichkeiten.Aus Gl.
(6) folgt:Fur y ~ 0:U± - - oo-F'('Yj); v. = U OO [1-F'('Yj)],(7)VM&, - Imit der in Abb. 143 wiedergegebenen Verteilung in der Stramungsebene. DieLasung fur die zweifach abgeleiteten GraBen ist, wie in Gl. (VI, 133) schonallgemein gezeigt, einfach: U ee = - Uoo ; Vee = 0 in der ganzen x, y-Ebene.Am Profil gilt also:fur yUe =~0:U·S =Mit Gl. (VI, 143) gilt also fur8 =rU oo± ------;0:1_den = _2_ 2 __u_~ dx =deU oo .\1 M&., - 1ol/M~(8)VM&,-Il.r1oxdx=4(!l)V'M~-IVIII, 1. Schwach gestorte ehene Parallelstromung.Aus Gl. (VI, 142) ergibt sich entsprechend fUr e~de0:=1= -__ 2_VM2002VM&:,-11263~;: = +2 J(~h; +-_ J ( dho__1dxdh!!c...) dx dx0-[ho(I)-hu(I)-ho(O)+hu(O)];(10)a:l:)dX=+2[ho(I)+h u(I)-ho(0)-h u(0)].oDie Ableitungen der Tangentialkraft verschwinden, wenn ho und hu am Profilanfang und -ende Null sind.
Mit Gl. (VI, 144) kann nun leicht auf Widerstandund Auftrieb ubergegangen werden.Z. B. gilt fiir ein an den Endenzugespitztes, symmetrisches Profilfur e = 0:dcw = O.de'(ll)r------r---~~~~--r------~ e4-- =-CWodeVMbo- iDa die Profilneigungen kleinsein mussen, ist C w in den Gleih·· d2cwd dCach ungen f ur ds 2 un ([e nacdC a-10"10"- IUSAbb. 144. cWo ca.emeines 10 % dIcken KrelsbogellZweiecksGl. (4) stets urn zwei GroBenordnac h OJ.
(12) _ _ und nach Vcrs uchcn von FERRIs.nungen kleiner als der Summand davor. Damit ergibt sich fur ein zugespitztes, symmetrisches Profil (eim Bogenmal3!):Cw(e)=cw(O)Ca (8)=Ca+ (~:te+ ! (d;:~ )oe =2(0) + (ddC~)8 +e 0Cm(e) =Cm(O) + (d;m) 8 +e0+ VM~ -1cw(O)VM&,4-18+ ...82+ ...(12)VM"60-12Die Formeln (12) gelten ubrigens auch fur asymmetrische Profile, weil sichdie Asymmetrie erst in Gliedern hoherer Ordnung geltend macht. Abb. 144zeigt Versuche von FERRI und die Werte nach Gl. (12) und Gl. (4).
Wegen dergroBen Widerstande ist man in Dberschallstromung an schlanken Profilen sehrinteressiert, weshalb die hier wiedergegebene Theorie kleiner Storungen starkepraktische Bedeutung besitzt.Die Druckpunktlage ergibt sich entsprechend zu Gl. (VII, 13) bei einemsymmetrischen, zugespitzten Profil fur 8 = 0 mit Gl. (9):a1 = dCdsm / dCde=..!..2 + ....(13)Dies ist ein sehr wichtiges Resultat, weil eine Wanderung des Druckpunktesvon 1 = 1/4 bei Moo < 1 (Gl. VII, 13) nach 1 = 1/2 bei Moo > 1 den Flugzeugkonstrukteur vor ernste Probleme stellt.264 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u.
achsensymmetrische Uberschallstr6mung.Schwach gestorte Parallelstromungen in KaniiJen, bei Flugelgittern usw.sollen mit der linearisierten Theorie nicht behandelt werden, da der Mehraufwand fUr exakte Methoden nur sehr gering ist.2. Profile geringsten Widerstandes.Da Profile unter einem bestimmten Dickenverhaltnis nicht mehr mit dererforderlichen Festigkeit gebaut werden konnen, liegt die Frage nach dem geringsten Widerstand eines Profils gegebenen Dickenverhaltnisses nahe. Zunachst sei gefordert, daB derWiderstandsanteil des oberen Profilteiles von derVorderkante bis zum Dickenmaximum ein Minimum.r" sei (Abb.
145). Diese Bedingung ist notwendig. WennAbb. 145. Skizze zum ProflJ sie nicht erfUllt ware, konnte der Widerstand desgeringsten Widerslandes.ganzen Profiles durchAnderung des genannten Profilteilesbei gleichem Dickenverhaltnis herabgesetzt werden.Es sei m = hm/x m die mittlere Neigung. Dann istXmXmXmJ :: dx = Jlm + (:~ - m)] dx = h + J( :~ - m) dx,hm =m0 0 0also verschwindet das letzte Jntegral.
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