K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 72
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II, 5 kann eleoo leicht durch W/u oo und Moo ausgedriickt werden,indem zunachst eleo und eoo/eo gebildet wird. Nach elementarer Rechnungergibt sich schlieBlich die Krahnsche Beziehung:" -12(48)248 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.Mit ihr ist die Geschwindigkeitsverteilung bei M= auf die Geschwindigkeitsverteilung bei M = 0 zuruckgefUhrt. Die Berechnung der letzteren kann nichtGegenstand dieses Buches sein, weil ihre allgemeine Behandlung fUr sich einBuch fullt. Fur den praktischen Gebrauch sei etwa auf einen Aufsatz VOnF.
RIEGELS verwiesen l l . (Eine neuere theoretische Behandlung gibt beispielsweise LIGHTHILL 30 .) Es ist sehr bemerkenswert, daB die auf vollig anderemWege gewonnene Naherung Gl. (48) fur kleine M=-Werte und Geschwindigkeitsstorungen in die Pr. Regel ubergeht, wie leicht durch Entwicklung zu bestatigen ist.Nach Angaben von E.
KRAHN ergibt sich aus Gl. (48) die Ubergeschwindigkeitbei kleinen Schwankungen als zu klein, bei groBen Ubergeschwindigkeiten alsW·-uzu groG, wobei die Grenze bei __t -~ = 0,4 bis 0,5 liegt.u=Zur Auswertung von Gl. (48) ist in einem Diagrammund VOn M =( ~)u= M=O~abhangig vonUooaufzutragen. Ein entsprechendes Diagramm kann auchfUr die Druckschwankungen hergesteUt werden, womit die Berechnung dann leichtund schnell erfolgen kann. 1m Staupunkt ergeben sich die richtigen Werte.
InAbb. 133 ist ein Vergleich gerechneter Werte mit gemessenen Werten fUr dasProfil NACA 000 12 - 1,130 wiedergegeben. Bei E = 0,1, Moo = 0,70 machtsich die Schallnahe in einem sehr hohen Wert eines MeBpunktes bemerkbar.Hier faUt das Resultat nahezu mit den Werten von KARMAN-TsIEN zusammen(Abschnitt 9), wahrend es bei Moo = 0,60, E = 3,1 etwas hoher liegt. AIlewiedergegebenen Naherungen geben das Geschwindigkeitsmaximum zu £ruh.7. Das Verfahren vonJANZENundRULEIGII.Werden in den verschiedenen Formen der gasd.
Gl., abgesehen von denGliedern, welche im Laplaceschen Operator stehen, aIle Glieder auf die rechteGleichungsseite geschafft, so ergibt sich der Typus einer Poissonschen Gleichung.Es sei dies durchgefuhrt an der Gl. (VI, 20), welche zunachst fUr ein auf u= bezogenes Potential umgeschrieben sei, nachdem c mit dem Energiesatz (II, 2H)auf Coo und Geschwindigkeitskomponenten zuruckgefUhrt ist. Mitrti.'l-' xU.= --,U oorti._'l-' Y -Vc2 -_.--,U oo2Coo -x-I(2--2- u+ v2 -2U oo)kann geschrieben werden:(/)xx+ (/)11'11 =+ (/)'11 2 -1) ((/)xx + (/)'1111) + (/)x 2 (/)xx ++ 2 (/)x (/)11 (/)XY + (/)y2 (/)'11'11}'Mba { x 2 1((/)x 2(49)Die rechte Seite verschwindet mit Mba, was zur Laplace-Gleichung fur dasPotential bei inkompressibler Stromung, d. h.
bei Geschwindigkeiten, die kleingegen die Schallgeschwindigkeit sind, fUhrt. Die Bedeutung der rechten Seiteist diejenige von Quellen, wie aus der Potentialtheorie bekannt ist.Der in der Potentialtheorie Ungeubte iiberzeugt sich davon kurz wie folgt: BeiQuellen ist in stationarer Stromung ffe W" df > 0 [siehe Gl. (IV, 2)].
Nach DOOrtgang zu den Differentialgleichungen mittels des GauBschen Integralsatzes (IV, 6)bleibt rechts cine positive GroBe.Physikalisch ergeben sich die QueUen daraus, daG die Stromdichte mitwachsendem M nicht in dem MaGe zunimmt wie bei e = konst. Im VergleichVII, 7. Das Verfahren von JANZEN und RAYLEIGH.249zur inkompressiblen Stromung wachst der Platzbedarf mit der Geschwindigkeit.Die kompressible Stromung ist exakt deutbar als inkompressible Stromung mitQuellen an Stellen von Beschleunigung und Senken an Stellen von Verzogerung.Die Schwierigkeit liegt nur darin, daG die Quellstarke unbekannt ist, weil siesich aus der gesuchten Geschwindigkeitsverteilung ergibt.Bei kleinem M'60 allerdings ist die Korrektur, welche sich aus der Quellverteilung ergibt, klein und es bedarf zu ihrer Berechnung keiner sehr genauenKenntnis der Stromung.
Gl. (49) kann dann iteriert werden, indem, ausgehendvon der dichtebestandigen Stromung, auf der rechten Seite stets die errechneteStromung eingesetzt wird, urn eine nachste Naherung zu finden. Bei jeder neuenLosung der Poissonschen Gl. (49) sind die Randbedingungen zu erfullen (Verschwinden der Normalkomponente der Geschwindigkeit auf der Profilkontur),worin ein Hauptteil der Arbeit steckt. Dieses Integrationsverfahren wurde zuerstvon JANZEN 12 auf die Umstromung des Kreiszylinders und einige Jahre spatervon RAYLEIGH 13 auf die Umstromung des Kreiszylinders und - unter Ubertragung der Methode auf Achsensymmetrie - auf die Umstromung der Kugelangewendet. Es wird nach beiden Autoren benannt.Die Zusatze, welche sich bei jedem neuen Schritt ergeben, werden im Konvergenzgebiet des Verfahrens immer kleiner, und zwar sind sie proportionalM'/x" Mbo, M~ usw.
ZweckmaGig setzt man daher an:cP=CPo+ M~ CPl + Mbo CP2 + ....(50)Fur jede einzelne der Potentialfunktionen CPi muG die Normalkomponente aufdem Profilrand verschwinden. Die Gleichungen ergeben sich durch Einsetzendes Ansatzes in Gl. (49) und Nullsetzen der Koeffizienten bei den einzelnenPotenzen von Mcx:J" Denn CPo ergibt sich aus M~ = 0 mit i > 0, CPl ergibt sichaus ~00 = 0 mit i > 2 usw.
Fur CPo und CPl gilt beispielsweise:++++CPoxx CP01J1J = 0; CPIXX CPIY1J = CP~xCPoxx2 CPo XCPOY CPOXY cp~yCPOYY· (51)Da die Berechnung der dichtebestandigen Stromung urn ein beliebig geformtesProfil schon einigen Aufwand erfordert, gilt dies urn so mehr fur die Losungeiner allgemeinen Randwertaufgabe bei einer Poissonschen Differentialgleichung,zumal deren rechte Gleichungsseite alles eher als einfach ist. Die Methode vonJANZEN-RAYLEIGH (und ihre verschiedenen, noch zu schildernden Abarten) kommtdaher weniger als allgemeine Berechnungsmethode in Frage. Sie stellt aber einenWeg dar zur moglichst genauen Berechnung einfacher Beispiele, welche dannfUr die Priifung der Genauigkeit einfacher Methoden verwendet werden konnen.Deshalb soIl hier nur uber einige Ergebnisse und verschiedene Abwandlllngendes Verfahrens berichtet werden.Die Anwendung kann wie schon erwahnt auch im Raume erfolgen.
Bei ebenerund achsensymmetrischer Stromung kann dabei ebenso von den Gleichungenfur die Stromfunktion ausgegangen werden. Wieder kommt es auf die LosungenPoissonscher Gleichungen, nun aber fur die Stromfunktion, hinaus. Wenn derenrechte Gleichungsseite vielfach als "Quellverteilung" bezeichnet wird, so entspricht das einem mathematischen Sprachgebrauch, der physikalisch nichtgerechtfertigt ist. Denn die gasd. Gl.
fur die Stromfunktion (VI, 28 und 29)ist eine Wirbelgleichung. Es handelt sich also bei einer Poisson-Gleichung fUr dieStromfunktion um eine Wirbel belegung.Anstatt von der dichtebestandigen Stromung als erster Naherung, kann auchvon der Prandtl-Losung ausgegangen werden. Dieses als Prandtlsche Iterationsmethode bezeichnete Verfahren kann naturlich im ebenen und achsensymmetrischen Fall auch auf P angewendet werden und kommt, als iterative Verbesse-250 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.rung der Prandtl-Naherung, vor allem bei schlankeren Profilen und haherenMoo-Werten in Frage. Fur die Potentialfunktion ware also folgende Gleichungzu iterieren, die nun besser fUr ein Storpotential (rpx = U~l- -1, rp" = ~-)geschrieben wird:00U oo+ l)rpxrpxx + 2rpyrpx.y + (u-l)rpxrpyy] +(52)+ M~{[ ~ ~ 1_rpx2 + --"-2 1 rpy2]rpxx + 2 rpxrpyrpXy +(I-M:'x,)rpxx+ rpyy =Mba [(u+ [~2 lrpx 2+ --"--t~rpy2] rpyy}.Fur genugend kleine Starungen und nicht zu hohe ~Moo-Werte steht linksem Glied erster Ordnung, rechts in der ersten Zeile ein Glied zweiter Ordnung(das allein beim ersten IterationstJ,i!i! 11'..,schritt zu berucksichtigen ist) undlJoo\in der zweiten Zeile ein Glieddritter Ordnung (vgl.
H. GORTIJ,i!QLER14).Eine Abwandlung zur numerischen Berechnung, welche aufII, I!alle bisher genannten Variantenanwendbarist, erfuhr die Methode(1,15durch GaTHERT 15 , der die kontinuierliche Quellverteilung durcheine Quellverteilung in einer An41qzahl diskreter Punkte konzentriert. Der wesentliche Vorteil(l,1i!liegt darin, daD der Aufwand mitder Anzahl der IterationsschritteIpKPmplwsllt/nicht mehr ansteigt und das Veral~+o.'tJ--.L--'---a"',,,-'tJ-------(l,"&"'Il--H.-·",,fahren weitgehend schematisiertwerden kann. E.
KRAHN 1 6, 17Abb . 134. Muximalge chwindi gke it am elliptischcn Zylindcrzeigt, daD zur DurchfUhrung des\'on 10% D icke. 1 bis 4: GOTIIERT-RAYT.EIGH-JAoSZEN 1 bis4te Niiherung (" = 1,40) .zweiten Schrittes, d. h. zur Berechnung von <PI aus der Poissons chen Gl. (51), nur die Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung am Profilrand erforderlich ist. Vielfach 18, 19 wird auch zu komplexen Varia bIen :~ = x +i YMba, 17 = x - i Y VI - Mba ubergegangen, was zu Differentialgleichungen vom Typus derWellengleichung fuhrt, Im einfachsten Fall - derLaplace-Gleichung - wurde ja auch die Lasung (VI, 37) an der welligen Wandauf dies em Wege gefunden.Es ist ublich, als erste Naherung die Laplace-Gleichung zu bezeichnen.
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