K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 70
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Entsprechende Impulsuberlegungen wurden fur inkompressible Stromung schon seinerzeit von M. MUNK 32und neuerdings fUr kompressible Stromung von J. ACKERET 6 durchgefUhrt.Hier sei noch ein anderer Weg beschritten. Bei einem schlanken Rotationskorper kann das erste Glied in Gl. (30) insbesondere in Schallnahe gestrichenwerden, weil die Zustandsanderungen in Achsenrichtung klein gegenuber jenenin radialer Richtung sindvIIl, 50.
Damit ergibt sich, wie schon erwahnt, ineinem Schnitt x = konst. eine ebene Zylinderstromung (Abb 131), namlich:t ti i$. =ee cos X =U oo(r +~2) cos X,(34)VII, 4. Achsensymmetrische Korper, linearisierte Gleichung.241wobei h (x) mit x variiert. Daraus folgt nun sofort am Korper das Ergebnisvon G1. (32):r = h:u.=U oo2h dhdh-r- dx cos X = 2 u oo dx cos X·Fur Schallanstromung gilt G1 (34) innerhalb del' Linearisierung {3 = 0sogar exakt, sie gilt abel' aueh als eine erste Naherung fur Moo < I und furnicht zu groBe Moo > I.Die Anderung der Normalkraft mit dem Anstellwinkel £ kann mit Gl.
(VI, 139)aus G1. (32) berechnet werden. Dabei ist zu beachten, daB folgendes gilt:+++W2 = u 2 WI 2 WZ2; W W. = u u.WI WI'also mit Gl. (32) fur £ = 0 in erster Naherung: W. = U e .Ferner ist am Korper dz = h cos X dX, also:+ Wz Wz.,1 2nn)( dCde e =eooubo02Fk =+ 1200 U oo2Jj'1dh22 h dx cos X dX dx =1200JdFU oodx dx.20 0 0Als Auftrieb und Auftriebsbeitrag del' Lange dx ergibt sich damit_ 2~( dC.!!..)de • = 0 Fk'd (dC n)de. =0=2_1__d!'_dxF k dx=(35)2 dF,Fkworaus sich die Anderung des Momentes (urn die Karperspitze) mit dem Anstellwinkel wie folgt berechnet:1= __2 Jx~dx=( dC m )dE e= 0Fkdxo__2 JXdF.Fk1(36)0Fur einen Spindelkarper, etwa einen Flugzeugrumpf mit verschwindendemEndquersehnitt, ergibt sieh also bei kleinem £ wohl ein Moment, aber keineNormalkraft, d.
h. der Luftangriffspunkt ruckt ins Unendliche. Bei Korpern,welehe - wie die meisten Geschosse - am Ende in einen Zylinder ubergehen,ergibt eine Verlangerung des Karpers bei gleiehbleibendem Quersehnitt keineErhohung der Normalkraft. Aueh die Entfernung des Druckpunktes von derKarperspitze bleibt durch die Verlangerung unbeeinfluBt.Besonders bemerkenswert ist, daB die Anderungen mit dem Anstellwinkelnach G1. (32), (34), (35) und (36) vollig unabhangig von der Maehschen Zahlsind. Die genannten Formeln enthalten {3 nicht! Die praktische Bedeutung dergenannten Gleichungen ist im allgemeinen graBer als jene der Gleichungen fUrden nicht angestellten Korper.
Die Widerstande lassen sich ohne Kenntnis derReibungsvorgange (und ohne Kenntnis des Bodendrllckes eines flaeh abgeschnittenen Karpers) nur ungenau angeben. Hingegen haben die genanntenEinflusse fur die Auftriebsverhaltnisse nur untergeordnete Bedeutung.AIle Aussagen dieses Abschnittes verlieren mit wachsendem Dickenverhaltniswegen der vorausgegangenen Naherungen an Bedeutung. Einen eingehendenVergleieh von Versuch und Theorie geben ACKERET, DEGEN und ROTT29. Dabeizeigt sieh f olgendes interessante Resultat, auf welches fruher schon LIGHTHILL VIII, 64 hingewiesen hatte. Die A uftriebsverteilung erweist sieh in einemweiten Anstellwinkelbereich als richtig.
Wird der Anstellwinkel von der GroBenordnung des Dickenverhaltnisses, was bei sehlanken Korpern sehr leieht auftreten kann, so muB fUr die Druckverteilung ein Summand mitgenommenwerden, del' quadratiseh in £ ist, bei der Integration uber den Umfang aberversch windet.Oswatitsch, Gasdynamik.16242 VII.
Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.5. Verschiedene Fassungen der Prandtlschen Regel bei ebener Stromung.In Abschnitt 3 fiihrte die Linearisierung der Potentialgleichung zu Formeln[etwa G1. (8) und (15)], in welch en sich die Storung der u-Komponente bei Mooals das IJ{1-fache der Storung bei dichtebestandiger Stromung darstellt. Wegender Flachheit der Profile wurde dieses Ergebnis auch gleich flir die Geschwindigkeits- und Druckunterschiede ubernommen.Mit demselben Recht kann aber auch die Gleichung flir die Stromfunktion(VI, 28) linearisiert werden und ergibt fiir die gestorten Gro13en mit:1fJx = -vI}, 1fJy =die Gleichung(1- M~) 1fJxxuI} -+ 1fJyyU oo I}oo=0.Bei dichtebestandiger Stromung ist die relative Starung der Stromdichteund der Geschwindigkeit identisch, woraus man ganz entsprechend zur Pro Regelfiir die Geschwindigkeiten folgende Form fiir die Stromdichte erhalt :-~~-l ={1(~.-1)(!oo U ooU OOM~ 0(:{g)Dieses Resultat ergibt sich sofort aus GJ.
(37), die zu dies em Zweck wie folgtzu schreiben ist:ax+8((!v)8U(!-Uoo(!oo.(!U-uCX)(!oo8(f3y) - - p - - = O , mlt: 1fJx=-VI}, 1fJfJY=--f3~-----~'womit die Laplacesche Gleichung dasteht. Indem wieder die u I}-Storungen milden W e-Storungen gleichgesetzt werden, folgt G1. (38). G1. (38) kann aber auchdirekt aus der Pro Regel fiir die Geschwindigkeiten mittels der PrandtlschenNaherung der Stromdichtekurve durch eine Tangente (Abb.
120) gewonnenwerden.Schlie13lich konnen auch die auf Stromlinienkoordinaten transformiertenG1. (VI, 74 und 75) linearisiert werden, woraus sich ganz allgemein ergibt, daBPro Regeln auch fiir belie big gekriimmte Stromungen aufgestellt werden konnen,wobei sich die Verzerrungen auf die Richtung quer zur Stromung und auf dieGeschwindigkeitsstorungen oder Stromdichtestorungen beziehen.Nach Linearisierung der Stromdichte geht GJ.
(38) ohne weiteres in die Pl'.Regel fiir die Geschwindigkeiten und nach Linearisierung der BernoullischellGleichung in die Regel fiir die Drucke iiber. Werden nun aber die exakten Beziehungen zwischen W, e W und p benutzt, so ergeben sich verschiedene Resultateje nach der Formulierung der Pro Regel und nach dem Rechengang. Die Resultateunterscheiden sich bei flachen Profilen geringer Anstellung dabei nur sehr wenig.Naturgema13 besteht auch bei dickeren Profilen Interesse fiir eine einfacheangenaherte Berechnung der Druckverteilung.
Eine gewisse Berechtigung fureine Prandtlsche Linearisierung besteht dabei insofern, als die Anstromgeschwindigkeit stets auch eine mittlere Geschwindigkeit im Storgebiet des Korpers darstellt. Nach G1. (IV, 25) und Abb. 74 verschwindet das Integral der Tangentialkomponente der Geschwindigkeit uber eine geschlossene Kurve einerwirbelfreien Stromung, wenn die Kurve nirgends das Profil umschlieBt. Wirddie Kurve nun langs einer Stromlinie in Korpernahe, sonst aber in gro13em Korperabstand gezogen, so ergeben sich nur am Korper Beitrage. Die Geschwindigkeitenklingen namlich weit drauBen umgekehrt wie das Quadrat des Korperabstandesab [G1.
(21)], wahrend die Kurvenlange nur mit der ersten Potenz des Korperabstandes zunimmt, was bei genugend groBen Kurven stets belie big kleine Beitrage ergibt. Dabei darf in groBem Korperabstand stets die Pro Regel benutztVII, 5. Verschiedene Fassungen der Prandtlschen Regel bei ebener Stromung.243werden, weil dort die Storungen stets gering sind. Starke Storungen wirken sichdort nur auf den Faktor, nicht aber auf die Potenz des Abklingens aus.
Hiermitgilt fur jede drehungsfreie Stromung Abb. 126.fUrMoo<+001:.r (W -U oocos{}) ds = O.(39)-00Es kommt fUr eine Linearisierung der gasd. GL (VI, 11) auch nicht daraufan, daB die Stromlinienneigungen klein sind, sondern vielmehr, daB die v-Komponente klein gegen c ist. Je dicker das Profil ist, des to kleiner ist jene MachscheZahl der Anstromung Moo, bis zu welcher die Linearisierung noch gute Resultateliefert. 1m folgenden wird es sich immer wieder zeigen, daB jede LinearisierungBowie jede von einer UnterschaIlverteilung ausgehende, sich auf die exaktenGleichungen stiitzende Iterationsmethode unbrauchbar wird, sobald die Schallgeschwindigkeit wesentlich uberschritten wird. Damit sind aIle im Teil VIIbehandelten Methoden auf Stromungen beschrankt, in welchen uberall Unterschallgeschwindigkeit herrscht (M ~ I: unterkritische Stromungen), d.
h. abergleichzeitig, daB bei starken Stromlinienneigungen Moo klein bleiben muB.Die Geschwindigkeit am Dickenmaximum einer axial angestromten Ellipseergibt sich mit T als Dickenverhaltnis aus der Potentialtheorie:W---1U oo=T.Nach E. KRAHN7 sind nun in Tab. VII, I die Geschwindigkeiten verglichen,welche wie folgt aus der Pro Regel fur das Dickenmaximum einer 10% dickenEllipse zu errechnen sind:1. Aus der Pro Regel fUr die Geschwindigkeit:auf y = hmax ..W-U oo= I1+ T _.fJ(40)Bei dieser erstgenannten Form der Pro Regel bleibt die GL (39) fur die Wirbelfreiheit exakt erfullt, weil die Geschwindigkeitsunterschiede sich von den Unterschieden bei dichtebestandiger Stromung nur urn einen konstanten Faktor unterscheiden.Da die Vbergeschwindigkeit am Dickenmaximum bei der Ellipse einfachproportional dem Dickenverhaltnis T ist, entspricht hier die Formel auch gleichzeitig jener Pro Regel, bei welcher die Stromlinien ineinander ubergehen.
N achdieser Regel ist die Geschwindigkeit der I/p2-fache Wert der Storung an einemp-fach schlankeren Korper in dichtebestandiger Stromung.2. Die Geschwindigkeit, gerechnet mit den exakten FormeIn (Tab. II, 5)aus del' Pro Regel fUr die Stromdichte:W fl= IUoofloo+ TP.(41)Hierin kann sich bei hohen Mach-Zahlen ein Wert We > c* e* ergeben,dem wedel' eine wirkliche Stromdichte noch eine Geschwindigkeit entsprechenkann.3.
Die Pro Regel auf die Druckstorung angewendet, ergibt den I/P-fachenWert der GroBe bei Dichtebestandigkeit:cpPoo1 [( - W=p--- -=--1•TflooUoof3Uoo)2]12- 1 =--[(l+T)-lJ.f3(42)]6*244 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.In der dritten Spalte steht die daraus exakt berechnete Geschwindigkeit.Dabei ergibt sich wie in vielen anderen Fassungen der Nachteil, daB am Ort einesStaupunktes weder der Ruhedruck Po noch die Geschwindigkeit W = 0 auftritt.4. Nach E. KRAHN7 kann der "Staudruck" ~ (loo u~ durch den tatsachlichen isentropen Staudruck Po P-PooPO-PooPoo ersetzt werden.
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