K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 66
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S. Tsien: Two-dimensional subsonic flow of compressible fluids. J. aeronaut.Sci. VI/lO (1939), S. 399-407.14 H. GLAUERT: The effect of compressibility on the lift of airfoils.Proc. Roy.Soc. (A) CXVIII (1927), S. 113-119.15 K. Osw ATITSCH: The effect of compressibility on the flow around slenderbodies of revolution. KTH - AERO TN 12 (1950).16 K. Osw A~!TSCH: Der Kompressibilitatseffekt bei schlanken Rotationskorpernin Unter- und Uberschallstromung. Arch. Math.
II/6 (1949/50), S.401-404.17 E. V. LAITONE: The extension of the Prandtl-Glauert Rule. J. aeronaut. Sci.XVII (1950), S. 250-251.18 A. BUSEMANN :Aerodynamischer Auftrleb bei Uberschallgeschwindigkeit.Voltakongress (1936), S. 329-332.19 H. LUDWIEG: Pfeilflugel bei hohen Geschwindigkeiten.Lilienthal-Ges. Ber.127 (1940), S.44.20 E. MACH und P. SALCHER: Photographische Fixierung der durch Projektile inder Luft eingeleiteten Vorgange. S.-B.
Akad. Wiss. Wien (IIa) XCV (1887), S.764bis 780.21 E. MACH und L. MACH: Weitere ballistisch-photographische Versuche.S.-B.Akad. Wiss. Wien (IIa) IIC (1889), S. 1310--1326.22 L. MACH: Weitere Versuche uber Projektile.S.-B. Akad. Wiss. Wien (IIa) CV(1896), S. 605-633.23 I. OPATOWSKI: Two-dimensional compressible flows. Proc. Symposia appl.
Math.I. (1949), S. 87-93.24 J. H. GIESE: Stream functions for three-dimensional flows.J. Math. Phys.XXXII (1951), S.31-35.VII. Stationare, reibungsfreie,ebene und achsensymmetrische Unterschallstromung.1. Quellartige Singularitliten.Die Losung der - der Pr. Regel zugrunde liegenden -linearisierten gasd.
Gl.,welche hier zuerst behandelt werden solI, kommt auf die Losung der LaplaceschenGleichung hinaus. Dabei interessiert allerdings nur die Umstromung schlankerKorper, weil eine Linearisierung im allgemeinen nur unter der Voraussetzungkleiner Storungen sinnvoll ist. Es soIl dabei nur die Umstromung von Korpernin einer unendlich ausgedehnten Parallelstromung behandelt werden. Wegen derLinearitat der Gleichung kann die Losung durch Superpositionen aufgebautwerden.
Dafur bietet sich als Grundlosung fur das Storpotential [Gl. (VI, 21)]die Funktion:cp = -q+ (I-M~) (y_'r})2 + (i -M~) (z -(1)-:---;c==--==c=:;===c==~~====-==:==::c:=:=.==;:::-411: V(x- ~)2Oswatitsch, Gasdynamik.C)215226 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.mit den Storgeschwindigkeiten:q(x -~)(y - rJ)2+ (1- Mba)+ (1 -u-uoo=---;-::-;-----;:=--,---77""--;;-;c~-':-----'-'7::-.,......,,..,,__-_;;""7::__:___;_-__;:_:;;_:;_:;_,._4 n [(x -v=w~)2q(l-Mba) (y -+~~-:-::-~4 n [(x -~)2(l-M~)(y_rJ)2+---~--~-~)2]3/2----(I-Mba) (z- ()2]'!,''(2)0q (I-Mba) (z -=Mba) (z -rj)an. DaB es sich wirklich urn eine Losung der Gl. (VI, 42) oder des GIeichungssystems (VI, 146), (VI, 6) handelt, ergibt sich allein schon aus der Anwendungder Pro Regel auf die dichtebestandige Quellstromung mit dem Potential:cpA= - .~/('y -- ~)2+ CfJ -'ij)2+ (z -C)2Die Storungen wachs en im Punkte.
x =~, Y = 1], Z = , libel' aIle Grenzen.Natiirlich ist die Losung, wie auch aIle folgenden, nur dort sinnvoll, wo dieStorungen klein im Vergleich zu den Wert en der Hauptstromung bleiben. Dieexakte Quellstromung (Abb. 103) reicht gar nicht bis in das Zentrum. LosungGl. (1) gibt darnach dort das Verhalten der Stromung keineswegs richtig wieder.Zunachst kommt es aber nur darauf an, eine Losung von Gl. (VI, 42) zubesitzen.Physikalisch bedeutet q die durch eoo dividierte Quellstarke. Dies lal3t sichdurch eine Integration zeigen, die sich durchaus nur liber Gebiete kleiner Storungenerstreckt.
Urn eine im Ursprung befindliche Quellsingularitat werde namlichein Kreiszylinder mit der Langsachse als x-Achse gelegt, dessen Radius r groBgenug ist, urn die Radialkomponente der Geschwindigkeit WI auf seinem Mantelals klein gegen U oo ansehen zu konnen. Aus v und w nach Gl. (2) ergibt sichmit dem Prandtl-Faktor {J (=Mba) leicht:WIVI (:::2-V v2 + w 2 =1=q f32 r4 n [X2+f32 r2]>/, •Die Quellstarke Q ergibt sich aus der Kontinuitatsbedingung nach Linearisierungwie folgt:+ 0000Q =ffeWndl• .ZyIinderR:;2rnfeooWIdx =qeoor2{J2([2•.x-000+d;22]3/r.2=q(!=,womit die Behauptung bewiesen ist.Derjenige Abstand vom Zentrum, bei welchem noch von kleinen Storungengesprochen werden kann, ist ausschliel3lich eine Funktion der Quellstarke.Losung (1) kann direkt zum Aufbau achsensymmetrischer Stromungen verwendet werden. Zur Erzeugung ebener Stromungen sind Quellstarken anzunehmen,welche unabhangig von z sind.
W ollte man allerdings das Potential der ebenenQuellstromung einfach durch eine Integration von (1) mit q = q (~,Y)) liber , erhalten, so kame man im allgemeinen nicht zum Ziel. Das Geschwindigkeitspotential besitzt ja eine willklirliche Konstante, welche von Quellpunkt ~, 1], !;zu Quellpunkt verschieden sein kann. Die Summation solcher willklirlicherKonstanten unendlich vieler Quellpunkte ergibt fUr sich unendlich groBe Werte,wenn nicht besondere Vorkehrungen getroffen werden.Da die ebene Stromung in allen Ebenen z = konst. gleich ist, wird sie ameinfachsten in z = 0 berechnet.
Wird die verfligbare Konstante im PunkteVII, 2. Wirbelartige Singularitaten.227'fj, , so gewahlt, daB das Potential im Koordinatenursprung x = Y = z = 0den Wert rp = 0 annimmt:~,rp=q4n [-V(x -~)2 + {J2 (y -~ 1))2+ {J2 (z -,)2-II ~2 + {J2 ~2 + {J2 '2}80 ergibt auch ein Integral uber solche Potentiale einen verschwindenden Wertim Koordinatenursprung, also endliche Werte im Endlichen. Damit erhaltman als Quellpotential der ebenen Stri::imung (Integraltafel, 2):J[V(x-- ~;-+ p~--;;~#-+pti +00rp=q4n--00=- q- [In ({3'-4n{Jd,V~2 + {J2 ~2 + {J2 C2 J+ V(x- ~)2 + {32(Y_'fj)2 + (32 '2) - In ({3 , + V ~2 + {32 'fj2 + {32 '2)]~:und nach Grenzubergang das logarithmische Potential:rp+ -2! {J=[In V(x-~)2+ {32(Y_'fj)2 -In V~2 + {32'fj2].(3)q (loo hat nun die Bedeutung einer Quellstarke pro Breiteneinheit der ebenenStri::imung.
Der zweite Logarithmus in Gl. (3) stellt eine additive Konstante dar,welche im allgemeinen bedeutungslos ist und nur das Potential auf den Wertrp = 0 im Ursprung normiert. Fur die Geschwindigkeitskomponenten ergibtsich aus Gl. (3):uu-00-q2n{J~x -__ .(X_~)2+{J2(y_1))2'v -_q_2n{J (y - 1))(X_~)2+{J2(y_1))2'(4)Fur zahlreiche Anwendungen interessiert das Verhalten der Stri::imung ingroBer Entfernung vom Storzentrum, also hier vom Quellpunkt. Ein isolierterQuellpunkt in einer Parallelstromung stellt dabei in der Ebene wie im Raumeeinen Halbkorper dar. Gl.
(2) und (4) zeigen, daB die Geschwindigkeitsstorungenim Raume umgekehrt wie das Quadrat des Abstandes, in der Ebene umgekehrtwie der Abstand selbst vom Storzentrum abklingen. Da die Stromung in groBemKi::irperabstand nur wenig gesti::irt ist, kann sie dort stets mit der linearisiertenGl. (VI, 42) genahert werden. D.
h. das Abklingen in groBer Entfernung vomSti::irzentrum erfolgt bei kompressibler Stromung mit derselben Potenz des Abstandes wie bei dichtebestandiger Stri::imung. Der Unterschied besteht lediglichim Faktor vor der Potenz. Er ist bei kompressibler Stromung auch noch vonder Richtung abhangig, da wohl die y- und z-Koordinate, nicht aber die x-Koordinate mit dem Prandtl-Faktor {3 multipliziert ist.2.
Wirbelartige Singularitiiten.Bei ebener Stri::imung spielt neben der Losung (3), (4) noch eine zweite Li::isungvon Gl. (VI, 35) eine wichtige Rolle:rp=~ arctg {J (y -1)) .2nEs ist das Storpotential eines urn den PunktZirkulationDie Komponenten sind:r.u-u oo =-_!'.....2n(x -~, 'fj(J(Y-1))_. v=~{J2 (y _1))2 ,2 n (x -~)2+(5)x-~kreisenden Wirbels der(J(x-~)~)2+ {J2 (y -1))2 .15·(6)228 VII.
Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische UnterschaHstromung.Man beachte die wechselseitige Ahnlichkeit del' GroBen in Gl. (4) und (6).Es gilt also fiir das Abklingen des Wirbels in groBem Abstand vom Wirbelkerndasselbe wie fiir den Halbkorper.In unmittelbarer Umgebung des Storzentrums kann natiirlich keine dergenannten Losungen als brauch bare Naherung einer kompressiblen Stromungangesehen werden, da dort die Storungen groB sind, was den Voraussetzungen,welche zur Linearisierung der gasd. Gl. fiihrten, widerspricht. Entsprechendesgilt auch fiir aIle spateren Losungen, ob sie nun aus den genannten Losungenaufgebaut sind oder nicht.
Sie konnen nur dort als richtig angesehen werden,wo sie die Vereinfachungsannahmen erfiiIlen.Es sei erwahnt, daB diese Forderung vom mathematischen Standpunkt nichthinreichend, in del' Regel abel' notwendig ist. Die bisher bekannten mit Lineal'isierunggewonnenen Losungen von Problemen del' Gasdynamik erwiesen sich aHerdings stetsim Giiltigkeitsgebiet del' Vernachlassigungen auch als richtig. 1m l'lbrigen sind aHemathematischen Losungen physikalischer Probleme durch Vernachlassigungen undAbstraktionen gewonnen. Deshalb sind sie auch fast stets in zeitlich odeI' ortlichengbegrenzten Gebieten del' Losung falsch.3. Ebene Stromung, linearisierte Gleichung.Die Linearisierung der gasd.
Gl. ist nur sinnvoIl, wenn flache Profile beikleinem Anstellwinkel angenommen werden, so daB die Storungen klein bleiben.Dann kann der Stromungszustand am Profil dem auf derQ~==~:~;:=?~ Profilsehne (x-Achse) gleichgesetzt werden, wie in Abschnitt VI, 17 gezeigt wurde_Ein symmetrisches Profil kann nun sehr einfach durch'"t+eine"Quellbelegung" der x-Achse dargestellt werden, wobeipI!Profilanfang und -ende bei x = 0 und x = 1 Iiegen moge.Die Quellbelegung verursacht ein Ausstromen aus del'Abb. 125. Darstellungeines symmetrischenx-Achse nach oben und unten (Abb. 125), dessen " QuellProfiles durch Quellstarke" dq auf der Lange d~ mit Vo (x) als v-Verteilung unSenken-Verteilungen.mittelbar an der x-Achse bei positivem y (und mit -vo (x)als v-Verteilung an der x-Achse bei negativem y) offenbar gegeben ist durch:IItf tdq=2 Vo drDurch Integration iiber aIle Quellenteile ergeben sich dann Potential undStorgeschwindigkeiten:1cp=-I/n IVo (~) In V(x- ~}2 + fP y2 d~;o11fl nr(7)1VoW(x-~)(x __ ~)2fl2 y2V = ~t.v() (~) fl y d~.+de;,n.
(x ~ ~)2 + fl2 y2ooEs interessiert vor aHem die Storgeschwindigkeit am Profil, welche der(u - uoo}-Verteilung unmittelbar an der x-Achse gleichzusetzen ist. Fiir y = 0wachst der Integrand von u - U oo an del' Stelle x = ~ iiber aIle Grenzen. DieseStelle ist durch einen sogenannten "Cauchyschen Hauptweri" auszuschlieBen,weil nur der Grenzwert von u - U oo fur y ~ 0 gesucht wird. Damit ist an derx-Achse:U -U oo =_-1-f'u_fl1U oo-n.oVoW d~x-t<;=_1_ limflnrllXr-~o (~) d~ + 1'~ (~) d~1.6-+0'ox-~•x+6x-~_(8)229VII, 3.
Ebene Str6mung, linearisierte Gleichung.Gl. (8) enthalt naturlich die Pro Regel in allen Spielarten fur ebene Stromung.Zunachst zeigt sich fur dichtebestandige Stromung ({3 = 1), daB die Geschwindigkeitsstorung bei affin verdickten Profilen proportional zum Dickenverhaltniswachst. Ferner ist die Geschwindigkeitsstorung und damit auch die Druckstorungumgekehrt proportional zum Prandtl-Faktor, womit sich die Moglichkeit ergibt,Profile unterschiedlichen Dickenverhaltnisses und unterschiedlicher Mach-Zahlender Anstromung zu vergleichen, soweit0,2die Voraussetzung kleiner Storung erfUIlt ist.Abb.
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