K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 62
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Die Bedingung (115) gibt ein Verschwinden der Differenz ve - U oo im Anstromgebiet,weshalb vielfach zweckmaBiger mit dieser Differenz als Unbekannter gearbeitetwird.Da die Neigungen der Korperoberflache unabhangig von der Anstellung sind[h(x, z) unabhangig von 8J, lautet die allgemeine Randbedingung raumlicherStromung am Korper einfach:undfUr y = h (x, z): u. hx - v.fUr y = h (x, z): u .. hx -+ w.
hz= 0+ w .. hz = o.Vee(117)(118)Handelt es sich urn kleine Storungen einer Parallelstromung, dann beschranktsich die Randbedingung an flachen Profilen, bei ebener und raumlicher Stromungauf eine Vorschrift fUr die v-Komponente Gl. (112) auf y = o. An die Stelle derallgemeingiiltigen Gl. (117) tritt dann fur den gesamten KorpergrundrifJ einfach:fur y=O: ve=O(119)fur y(120)und an Stelle von Gl. (118):=0:Ve.
=O.Da hx und h y klein gegen die Einheit sind und die Storkomponenten u. und w.nicht von hoherer GroBenordnung sind als v., bleibt dieses in Gl. (117) als einzigerSummand seiner GroBenordnung. Entsprechendes gilt fUr Gl. (118).In die Randbedingungen (119) und (120) geht demnach die Dicke des flachenKorpers, gegeben durch die Funktion y = h (x, z), gar nicht mehr ein: d. h. dieAnderung der Stromung und der Luftkrafte an flachen Korpern mit dem Anstellwinkel 8 beim Herausdrehen aus der Lage 8 = 0 ist dieselbe wie bei unendlichdiinnen ebenen Platten gleichen Grundrisses.
Das Studium der Auftriebseigenschaften flacher Korper oder - bei ebener Stromung - schlanker Profile kannalso auf das Studium des Verhaltens unendlich dunner ebener Platten beschranktbleiben.Die Randbedingung an der Oberflache achsensymmetrischer Korper reduziertsich nach Linearisierung nach Gl. (107) auf:fUr r = h(x): WI.= 0, WIse = o.(121)Hier geht die Korperform dadurch ein, daB vorgeschrieben wird, wo die Bedingung(auBerhalb der x-Achse) zu erfullen ist.Hoheren Ableitungen als jenen der zweiten nach dem AnsteBwinkel scheintkeine praktische Bedeutung zuzukommen.Es sollen dem zur Verfugung stehenden Raume entsprechend nur drehungsfreie Stromungen behandelt werden, obwohl die Methode auf wirbelbehafteteStromungen in gleicher Weise anwendbar ist und fur die Querkrafte sehr schnellfliegender Geschosse praktische Bedeutung besitzt.
Die Gleichungen der Wirbelfreiheit (6) gelten voraussetzungsgemiW also fUr jeden Anstellwinkel 8. Siegelten daher auch fur die Differenz von u, v und w an einer bestimmten Stellebei zwei verschiedenen s-Werten. Da aBe Ableitungen nach den Ortskoordinatenbei festem s zu erfolgen haben, gelten die Gleichungen auch fur Differenzen-VI, 18. Ahhiingigkeit des Stromungszustandes vom Anstellwinkel.213quotienten und nach Grenziibergang fiir die Differentialquotienten nach e, insbesondere auch bei e = O. D. h.
man kann in den Differentialgleichungen einfachnach dem Parameter e differenzieren und erhalt aus Gl. (6):OV. _oxOU.oy=O'ow. _'oy8v.OZ=O' OU. _'OZow. =ox0(122)und ganz entsprechende Gleichungen fiir die zweiten Ableitungen nach e. Esgibt also abgeleitete Geschwindigkeitspotentiale. Insbesondere gilt mit Gl.
(17):UB= qJBX'Uee===VB= qJBY' wB = qJBZ;f!>eex' Vee =r.[Jeey,Wee =(123)<J>esz;wobei die Gl. (123) die Bedingungen der Wirbelfreiheit (122) erfiillen. DieseBedingungen werden aber auch dann erfiillt, wenn zu den Komponenten U.,VB' .••• weB oder auch zum abgeleiteten Potential beliebige Funktionen desAnstellwinkels addiert werden.Fiir eine beliebige raumliche Stromung hat man die gasd. Gl. (5) oder (20)entsprechend zur Ableitung VOn Gl. (122) nur nach e zu differenzieren und dannzu Werten e = 0 iiberzugehen, um die Differentialgleichung fiir die abgeleitetenGroBen zu erhalten. Aus der erst en Gl. (20) folgt beispielsweise nach vorausgegangener Multiplikation mit c2 :(c 2 - u2) qJexx + (C 2_V2)qJBYY + (C2_W2)qJBZZ-2uvqJBXy-2vwqJBYZ-2 wuqJzx+ 2 (ccB-uue)qJxx + ...
- 2 (uv. + u.v)qJXY-"+ wBu) qJzx = 0,++. -2 (wu B(124)und diese Gleichung gilt auch ebenso fiir e = O.Diese Gleichung ist zwar kompliziert, unterscheidet sich aber von der gasd. Gl.ganz wesentlich dadurch, daB sie in der Unbekannten qJ. linear ist. Mit Gl. (123)und dem Energiesatz HiBt sich neb en Ue, VB und w. auch c. ohne weiteres durchdas abgeleitete Potential ausdriicken. Die Koeffizienten enthalten die Losungbeim Anstellwinkel e = O.
Diese muB also im allgemeinen Fall bekannt sein,wenn Anstellwinkelabhangigkeit berechnet werden solI.Ganz entsprechend wird die Gleichung fiir die zweiten Ableitungen nach egewonnen. Diese hat mit Gl. (124) auBer der Linearitat in ifJ•• die Tatsachegemein, daB sie in den Koeffizienten der zweiten Ableitungen (c 2 - u 2 ), •••• w u,mit der Gl. (20) fiir qJ iibereinstimmt.
Es wird spater gezeigt, daB diese Koeffizienten den Gleichungstypus bestimmen. Die Gleichungen fiir qJ. und qJBBhaben also in den einzelnen Feldpunkten den Typus der Gleichung fiir das Potential ohne Anstellung qJ.Es sei nun vorausgesetzt, daB es sich um einen in y-Richtung symmetrischen,belie big dicken, moglicherweise auch achsensymmetrischen Korper handelt.Dann ist auch die Stromung bei e = 0 in y symmetrisch, d. h. das Potential qJ,die thermischen Zustande, u und w sind in y gerade Funktionen, V ist eine in yungerade Funktion.Samtliche Koeffizienten der gesuchten Variablen qJ., c., U B und w.
erweisensich nUn als gerade in y, nur die Koeffizienten von VB sind in y ungerade (Entsprechendes kann auch an allen anderen Gleichungen, wie etwa am Energiesatz,festgestellt werden). Es kann darnach qJ., ce , Ue und w. in y symmetrisch und v.in y antisymmetrisch sein, es kann aber auch das Umgekehrte der Fall sein.Das letztere ist tatsachlich auch physikalisch zu erwarten, denn mit wachsendem (';nimmt die Geschwindigkeit unter dem Korper ab und iiber dem Korper zu,unter dem Korper streben die Teilchen von der Mitte zu den Randern, oben istes umgekehrt.
Hingegen besitzen die Teilchen in einiger Entfernung vom Korper214VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fur stationare reibungslose Stromung.eine mit 8 wachsende v-Komponente. Die Randbedingungen fur die Unterseiteeines symmetrischen Korpers unte,.scheiden sich von den Gl. (lll), (ll7) und(lIS) nach Gl. (102) und (103) nm durch eine Umdrehung des Vorzeichens fur hxund h z . Sie besagen also nur, daB v, v, und VEE die entgegengesetzten Symmetrieeigenschaften am Korper besitzen muss en wie die entsprechenden u- und w- GroBen.Die Entscheidung ergibt sich aus der Randbedingung (ll5) im Anstromgebiet.Darnach ist bei einem beliebig dicken, in y symmetrischen Korper u., w" C, usw.eine in y ungerade, V, und damit auch (VE - u oo ) eine in y gerade Funktion.An der Korperoberflache selbst haben die U E und WE oben und unten entgegengesetzte Werte. Auf der Ebene y = 0 auBerhalb des Korpers konnen im aUgemeinen wohl die Geschwindigkeitskomponenten einen Sprung machen, nichtaber der Druck.
Da aber PE antisymmetrisch in y ist, gilt:auf y = 0 auBerhalb des Korpers: p, = O.(125)Daraus folgt nach der Bernoullischen Gl. (II, 51), indem W2 zweckmalligerst nach P abgeleitet wird, fur 8 = 0:o = p, = - (! (u u, + v v, + W WE)und wegen V = 0:fUr y = 0 auBerhalb des Korpers: U U E + W WE = O.(126)AuBerhalb y = 0 ist der zweite Summand von hoherer GroBenordnungals der erste. Es ist also u, = 0, woraus fur 8 = 0 mit der letzten Gl. (122) undmit (115) auch WE = 0 folgt. Bei Linearisierung gilt demnach bei 8 = 0:fUr y = 0 auBerhalb des Korpers:UE= 0,WE= O.(127)Damit sind zusammen mit Gl. (119) die Bedingungen auf der ganzen Ebene0 festgelegt.Auf ganz analoge Weise wie fur die ersten Ableitungen konnen die SchlussefUr die zweiten Ableitungen nach 8 gezogen werden.
Dabei zeigt sich, daB nunwieder <PEE' U'E> WEE und CEE in y gerade, VEE dagegen in y ungerade seinmuB. Da V auf y = 0 auBerhalb des Korpers immer stetig sein mull, gilt alsofur jeden symmetrischen Korper neben V = 0 auch bei 8 = 0:y=auf y = 0 auf3erhalb des Korpers VEE = O.(128)Die Randbedingungen entsprechen damit genau jenen fur die Geschwindigkeitskomponenten fUr 8 = O.Besonders einfach werden die Gleichungen bei Linearisierung.
Sie lautenfUr die Potentiale im Raume in kartesischen Koordinaten nach Gl. (20)(1- Mba) <Pxx + <pYY + <P zz = O.Daraus folgt fur die abgeleiteten Potentiale:(1 - Mba) <P,xx + <PEYY + <Pezz = 0,und eine ganz analoge Gleichung fur <PH'In Zylinderkoordinaten ergibt sich nach Gl. (69):(1 -Mba)<P xx+ <Prr + --ir <P{J{J + ~r <Pr =(129)(130)0,( 131)(132)und wieder eine analoge Gleichung fUr <PEE'Wahrend die Randwertaufgabe fur <PE auf die Berechnung der Stromung umeine unendlich dunne infinitesimal angestellte Platte herauslauft, ist die LosungfUr <PEE bei linearisierter Gleichung trivial. Mit<PeE = U oo X, U EE = <PEE X = - U oo , VEE = WEE = WiEE = W2EE = 0(133)VI, 19.
Die Luftkrafte.215sind Differentialgleichungen und Randbedingungen im Anstromgebiet Gl. (116),am flachen Korper (120) und am schlanken achsensymmetrischen Korper Gl. (121)erfiillt.Bei den nach e abgeleiteten GroBen ist Potential und Storpotential nicht mehrzu unterscheiden, da U oo bei der Differentiation nach e verschwindet.19. Die Luftkriifte.GroBes Interesse kommt in der Praxis den resultierenden Kraften zu, welchedas umstromende Medium auf einen Korper ausiibt.
Sie set zen sich aus Druckund Reibungskraften zusammen. Die letzteren spielen beim Auftrieb eine untergeordnete Rolle, stellen aber beim Widerstand insbesondere bei Unterschallgeschwindigkeiten einen ausschlaggebenden Anteil. In diesem Abschnitt sollennur die Druckkrafte beriicksichtigt werden. Auch spater konnen die Reibungskrafte nicht ausgedehnter behandelt werden, da auf dies em Gebiet noch dernotige Einblick fehlt. Allerdings hangen die Vorgarige in den Reibungsschichtennicht in jener typischen Weise von der Kompressibilitat ab wie die Vorgangein der reibungslosen Stromung, weshalb bei Reibungsstromung Analogieschliisseaus der Kenntnis dichtebestandiger Vorgange eher moglich sind.Den Ausfiihrungen des letzten Abschnittes entsprechend, soIl ein Koordinatensystem im angestromten Korper festgelegt werden. Die Achsenrichtung(x-Richtung) ist meist durch Symmetrieeigenschaften festgelegt.
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