K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 57
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Polar- und Zylinderkoordinaten.Fur Polarkoordinaten hat manx = r cos ,B;I:~ro~ = r =y = r sin ,B;=..:::.r = cos,B.'1]", =y-t:2=; yVX2+ y2;= ; = sin ,B;x. ,B- r1 sm;'YJ = ,B = arctg ; ;'YJy = ~ =r1(59)cos ,B;mit Gl. (50) also:(60)Damit bekommt die KontinuitcUsbedingung die Form:e r Wir + e WI + r WIl2r + e W 2P + W212P + {12 WI + 12 W 2 cot,B} =Gl. (58) fur die Drehungsfreiheit reduziert sich auf:W IP = r W 2rund die gasd.
Gl. auf:W ir(c 2 •--: W l W 2 W 2rWI2)+ -r1+ W2 =zf)&r (W2 r)(62)1W 2P (c 2- Wl) - -r WI W 2 W ipw + {WW+ C2__C2 __ + C2 __cot,B}=rrr11O. (61)2O.+(63)Abb. 102. Zyllnderkoordlnate.Bei Zylinderkoordinaten (Abb. 102) solI die x-Achse als Zylinderachse und injeder Ebene normal auf diese ein Variablenpaar entsprechend zu Gl. (59) gewahltwerden:y=rcos,B;(64)z = r sin,B; ,B = arctg JL.xOswatitsch, Gasdynamik.13194 VI.
Allgemeine Gleichungen u. Losungen flir stationare reibungslose Stromung.Dementsprechend seien nun die Geschwindigkeitskomponenten in Richtungdes Radius r und des Umfanges:WI=VW2=-cos fJ+ w sin fJ ;+ w cos fJ;vv sin fJ=WI cos fJw = WI sin fJ-W 2 sin fJ ;+W2(65)cos fJ·Bei den Umrechnungen konnen dann die Formeln (51) verwendet werden,wenn x durch y und y durch z ersetzt wird. Nach einfacher Rechnung ergibtsich aus G1. (5) die gasd. G1.:(c2 _ u2) ou_ox_+(c2 _ W 2) OWlIor+ ~rW W (OW2I2or+(c2 _ W 2) ~ oW 2 _ U WI (OWl +~)2rofJoxorOWl) _ W UofJ2+(~~rofJOW2)ox+ c2 _WIr=O.+(66)Die Gleichung geht fur u = konst.
und WlO W2 unabhangig von fJ in G1. (16)uber. Entsprechendes gilt fur die aus G1. (6) gewonnenen Gleichungen derDr€hungsfreiheit:OWl _~ =oxoro.~ OWl _'r8fJW2 =0' ~~_ oW 2 =0. (67)r' r ofJoxoW2 _orWieder konnen u, WI und W 2 als Ableitungen eines Potentials dargestelltwerden. Und zwar erfullt:u = (/Jx,Wi = (/J"W 2 r = (/JfJ(6S)die G1. (67) und naturlich auch (65).
Damit gewinnt die gasd. Gl. die Form:(C 2 _U2)(/Jxx- 2 WI+ (cWl)(/Jrr2-+ (c2-W2~CPrfJ-2W2U~(/JfJXrr:2 (/JfJfJ-2u WI (/Jxr +W22)+(C2+ W22) ~(/Jr=r0.(69)Mit (/Jx = 0, (/Jxx = 0 ergibt sich ohne weiteres die gasd. GI. fur das Potentialin ebenen Polarkoordinaten.8. Stromlinienkoordinaten.Ein in gewissem Sinne naturliches Koordinatennetz stellen die Stromlinienund deren Orthogonaltrajektorien dar. Diese sind unter der zunachst getroffenenAnnahme der Wirbelfreiheit die Potentiallinien. Es ist dann mit GJ. (IS), (23)und (50) bei ebener Stromung:; = (/J,11 = P,hI = W,h2 = (! W.(70)Die Geschwindigkeitskomponente langs der Stromlinie (~-Richtung) ist derGeschwindigkeitsbetrag W, quer zur Stromlinie verschwindet die Geschwindigkeit und die Stromlinienneigung zur x-Richtung ist die unbekannte Stromungsrichtung {):(71 )Aus der Kontinuitatsbedingung (54) folgt:_1_ 8(e W)e2 walP-+ ~'olJf=°.(72)Die Anderung der Stromdichte langs der StromIinie ist proportional derAnderung des Stromungswinkels quer zur Stromlinie, d.
h. dem Offnungswinke\des Stromfadens.Aus der ersten f<~u\erschen G1. (55) folgt die Bernoullische Gleichung in clerForm:(! W W,/, + P't> = 0,195VI, 9. QueUe und Wirbel.aus der zweiten Eulerschen Gleichung eine Gleichung fUr die Zentrifugalkrafte.ist ja im wesentlichen die Stromlinienkrummung.Die Energiegleichung (56) mit G1. (I, 36) und G1. (II, 25) liefert das Resultats</> = O. Die gasd. G1. kann sowohl direkt aus G1. (57) als auch aus G1. (72)abgeleitet werden.
Da die Stromung drehungsfrei vorausgesetzt ist, ist sie auchisentrop. Die Ableitung der Stromdichte hangt mit der Ableitung der Geschwindigkeit dann in der von der Fadenstromung her bekannten Weise zusammen. Es ist:{)</>(I-M2)e 1WW</>+ {}'l' =O.(74)Die Gleichung der Drehungsfreiheit lautet:(75)Da der Zustand nur von W allein abhangt, kann G1.
(74) oder (75) stets sogeschrieben werden, daB neben der Ableitung von {} eine Ableitung einerFunktion von W steht. Damit ist es stets moglich, neue "Stromfunktionen"oder "Potentialfunktionen" einzufuhren, welche der G1. (74) oder (75) identischgenugen. Das exakte Gleichungspaar (74), (75) zeigt den EinfluB der MachschenZahl M auf den Gleichungstypus besonders klar. Etwas storend wirkt in denGleichungen das Auftreten der Dichte (!, was mit der unterschiedlichen physikalischen Dimension von f/J und lJf zusammenhangt.1st die Stromung nicht wirbelfrei, so gibt es keine Potentiallinien, wohl aberOrthogonaltrajektorien der Stromlinien.
Es gilt dann 1) = P, h2 = e W und dieGl. (71). Mit Gl. (50) und (52) ist:ug",=h IW ;vgy=h IW 'wobei das hI zunachst noch unbekannt bleibt. Die Gleichungen, die auf diese Weisegewonnen werden, unterscheiden sich von den Gl. (72) bis (75) dadurch, daJ3 an Stelleder Ableitung nach rJ> jene nach g, multipliziert mit einem Faktor hI/W, steht. Furdiese GroJ3e laJ3t sich folgende Darstellung gewinnen:hI =In WfT ds,W2e ~ konst.also ein Integral langs der Orthogonaltrajektorie tiber die Entropieanderung dsmit einem Faktor, der dem Quadrat der Mach-Zahl verkehrt proportional ist.In der Literatur wird vielfach auf die StromIinien und deren Orthogonaltrajektorientransformiert, wobei nach den Bogenlangen in und quer zur Stromungsrichtungdifferenziert wird. Bei solchen Gleichungen ist aber Vorsicht geboten.
Es ist zu beachten, daJ3 bei der Ableitung nach der einen Variablen nicht die andere Variablefestgehalten wird. 1m Gegensatz dazu stellen die hier wiedergegebenen Gleichungenrichtige Differentialgleichungen dar.9. QueUe und Wirbel.Entsprechend der Bezeichnung bei dichtebestandiger Stromung wird eineStromung, welche radial von einem Zentrum aus verlauft, als Quelle oder Senkebezeichnet, je nachdem, ob die Teilchen vom Mittelpunkt weg oder auf diesenzu stromen.
AIle GroBen sind also nur vom Zentrumsabstand abhangig. Mithinergibt sich fur eine ebene Quelle aus G1. (61) mit W = WI:e r Wr + e W + r W (!r=da;:(re W)=0;die Stromdichte ist dem Abstand vom Zentrum verkehrt proportional, einResultat, welches auch mit Hilfe der stationaren Fadenstromung hatte gegeben13·196 VI. Allgemeine Gleiehungen u. Losungen fiir stationare reibungslose Stromung.werden kannen. Da die Stromdichte den bei M = 1 erreichten Maximalwert e* W*nicht iibersteigt, muB es einen kleinsten Radius r = r* geben, innerhalb dessenkeine Lasung existiert. In Analogie zur ebenen QueUe kann auch eine raumlieheQueUe und Senke gebildet werden, bei welcher sich die Stromdicbte umgekehrtwie die Quadrate der Radien verhalten muB:.W(!ebene QueUe.
W*(!*..,. W (!raumhche Quelle. W*(!*_r*.--r'=(r* )2r'(76)Mit Gl. (76) und Tab. II, 3 kann die Geschwindigkeitsverteilung leieht ermitteltwerden. Es ergibt sich fur r > r* entweder stets Unterschallstramung mit abnehmenden Geschwindigkeitsbetragen nach auBen, oder Uberschallstramungmit nach auBen zunehmenden Geschwindigkeitsbetragen (Abb. 103). Wegen derEmpfindlichkeit dieses Stramungszustandes gegen Anderungen des Stromfadenquerschnittes in der Umgebung der SchaUgeschwindigkeit erfolgen die(~))))))~!C-.QAbb. ]03. Ebene Quellstromung.2J4§Abb.
104. Potentla,wlrbel.wesentlichsten Zustandsanderungen nahe am kritischen Radius r*. Dort wachstder Geschwindigkeitsgradient uber alle Grenzen. Dies ist nicht verwunderlich,da sich an der engsten Stelle einer Laval-Duse - an einer Stelle ohne Querschnittsanderung also - bei M = 1 ein endlicher Geschwindigkeitsgradient eTgibt.Ein Gegenstuek zur Quelle stellt der "Potentialwirbel" dar, ein Wirbel, beiwelehem die Stromung wohl ortlieh wirbelfrei ist, bei dem sich aber dennoch aufeiner das Zentrum umschlingenden gesehlossenen Kurve eine Zirkulation ergiht.Es ist {}=fJ+ ~,WI=0, W 2=W.Die Gl. (62) fur die Wirbelfreiheitbekommt damit die einfache Form:oTr(Wr) = 0,mit der speziellen Losung (Abb.
104):Wr*c*r(77)Hierin spielt der Radius r*, auf welehem gerade Schallgesehwindigkeitherrscbt, keinerlei ausgezeichnete Rolle. Wie Gl. (62), gilt auch Lasung (77) ingleicher Weise fur kompressible und inkompressible Medien, nur kann bei letzterenc* nicht als kritische Schallgeschwindigkeit gedeutet werden. AuBerdem kannbei kompressiblen Medien die Maximalgeschwindigkeit nicht uberschrittenwerden, da dort der Druck p = 0 erreicht wird und negative Drucke und Dichtennicht in Frage kommen.Die Stramung in einem Potentialwirbel kann in einem Krummer rechteckigenQuerschnittes realisiert werden.
Wird dafur gesorgt, daB der Krummer die197VI, 10. Wirbelquelle und Spiralstromung.Stelle kleinsten Kanalquerschnittes bei hohem Druckverhaltnis darstellt, sowird sich im Krummer im Mittel uber den Querschnitt maximale Stromdichteeinstellen. In der Mitte etwa wird also gerade Schall-, an der Innenseite Dberschall-, an der AuBenseite Unterschallgeschwindigkeit herrschen. Die MachschenLinien muss en am Schallkreis mit senkrechter Tangente munden. Mit Hilfe desSchlierenverfahrens (Abschnitt XII, 2) ist es moglich, Machsche Linien sichtbarAbb. 105.
Machsche Linien im PotentialwirbeI.zu machen, wenn fur entsprechende kleine Storungen in der Stromung gesorgtwird. Abb.105 zeigt die Machschen Linien in Theorie und Versuch. Die vonkunstlichen Wandrauhigkeiten ausgehenden Wellen werden an der Schallgrenzeund daraufhin an der Wand selbst wieder reflektiert. Das Unterschallgebiet istubrigens nicht vollig unberuhrt von den Storungen der Dberschallstromung.Eine nahere Untersuchung 2 zeigt, daB die Storung in der Unterschallstromunganalog zur Losung (37) (Abb. 95) mit einer Exponentialfunktion abklingt.
DieserVorgang hat in der Optik in den Erscheinungen der Totalreflexion sein Gegenstuck.10. WirbelqueUe und SpiralstroIDung.Eine Verallgemeinerungdrehsymmetrische Losungensind dabei nur Funktionenvon G. J. TAYLOR 2 nach H.8~=der Quell- und Wirbelstromung stellen beliebigdar. Die Geschwindigkeitskomponenten WI und W 2von r.
Die" Wirbelquellstromungen" wurden zuerstBATEMAN3 behandelt. Mit0 ergibt sich aus GJ. (62) analog zu GI. (77):r*W 2 = W z*rDamit kann aus G1. (63), welche sich auf:dW l (c 2 _drW 2) _ W W dW2_11.2dr+ c2WIr=0reduziert, W 2 eliminiert werden. Es ist dabei zu beachten, daB W2 auch in c auftritt. Die Aufgabe istdamit auf die Losung einer gewohnlichen DifferentialAbb. lOG.
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