K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 54
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(3) nach Division durchdp~op_+~ope axe oy+we fur jedes beliebige Medium:OP_C2~~_C2~~_C2w~=O.e oze axe oye oz(4)Die Eulerschen Gleichungen (2) werden nun mit - u, - v, - w, dieKontinuitatsbedingung (1) mit c2/e multipliziert und zu Gl. (4) addiert, woraussich dann die sogenannte gasdynamische Gleichun{! (gasd. Gl.) ergibt:(C2-U2) AUax+ (C2_V2)~+ (C2_W2)oyoWoz-uv(~axov)(auoz ow)-vw -+oyoz -wu -+ax =0·'+ oyau) +( Ow(5)c2 ist dabei lediglich Funktion des Geschwindigkeitsbetrages, fUr ein id.
Gaskonst. sp. W. gegeben durch Gl. (II, 29).Bei drehungsfreier Stromung gibt Gl. (5), erganzt durch zwei der dreiGleichungen fUr die Wirbelfreiheit:~_0u=0,axoy~-~=Ooyoz'~-~=Oozax'(6)System von Gleichungen fur die drei Geschwindigkeitskomponenten. Diethermischen Variablen sind eliminiert.
Es empfiehlt sich im allgemeinen allerdings, die Elimination von c2 mit Gl. (II, 29) moglichst lange hinauszuschieben,da Gl. (5) sonst an physikalischer Anschaulichkeit verliert, wie sich immerwieder zeigen wird.~in182VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fiir stationare reibungslose Stromung.Starkere VerdichtungsstoBe ergeben eine im allgemeinen unterschiedlicheEntropie auf den einzelnen Stromlinien. An Stelle von Gl. (6) tritt dann derCroccosche Wirbelsatz, womit freilich eine wesentliche Erschwerung der Rechnungverbunden ist.2. Grundgleichungen der ebenen und achsensymmetrischen Stromung.Der uberwiegende Teil der Losungsmethoden raumlicher stationarer Stromungen bezieht sich auf Probleme mit zwei unabhangigen Veranderlichen, insbesondere auf die ebene und achsensymmetrische Stromung.
Bei der ebenenStromung seien stets alle Zustande von z unabhangig [w = 0, u = u (x, y),v = v (x, y) usw.]. Bei der achsensymmetrischen Stromung sei die x-Achsestets als Symmetrieachse gewahlt. In allen Ebenen durch die x-Achse herrschtdann dasselbe Stromungsbild, so daB die Stromung in der x, y-Ebene alsReprasentantin del' gesamten achsensymmetrischen Stromung angesehen werdenkann.
In ihr ist ebenfalls w =yund der Stromungszustand nurFunktion von x und y.Wahrend eine ebene Stromungbei Anstellung des Korpers in yL----=-- -oE:=------ - - - - - - i----'> :T Richtung stets eben bleibt, istdas Entsprechende bei achsenAbb.93. Achsensymmetrischer Kiirper n.ngestellt gcgcn die symmetrischerStromung nichtAnstrOrnnog.mehr der Fall. Es zeigt sich aber,daB das Problem achsensymmetrischer Korper bei geringer Anstellung mit Methoden behandelt werden kann,welche wenig von der Behandlung rein achsensymmetrischer Stromungen abweichen. Da die Auftriebseigenschaften kaum weniger interessieren als dieWiderstandseigenschaften, soIl die eigentlich raumliche Stromung urn den angestellten achsensymmetrischen Korper in Verbindung mit der achsensymmetrischen Stromung behandelt werden. Dabei bleibt die x-Achse stets die Korperachse, wahrend die Anstromrichtung in der x, y-Ebene urn einen kleinen Winkelgedreht wird (Abb.
93). Aus Grunden der Symmetrie lst auch in diesem Fanein der x, y-Ebene w = O.Damit gelten in der x, y-Ebene fUr die ebene, die achsensymmetrische Stromungund fur die Stromung urn einen achsensymmetrischen Korper bei Anstellungdie Eulerschen Gleichungen in der Form:°u~ax+ v~+~J!r_=o·oye ax'(7 )u~+v~+~~=o.axoye oyDie dritte Eulersche Gleichung verschwindet in der x, y-Ebene identisch.Der Druck p ist in z symmetrisch, also ist fUr z=0: ~oZ=O.Fur aIle drei Stromungstypen lautet der Energiesatz Gl. (3) in der x, y-Ebene :uasasax+ v 7iii=0,(8)und bei wirbelfreier Stromung Gl.
(6):~-~=o.axoy(9)VI, 3. Geschwindigkeitspotential.183Bei der Kontinuitatsbedingung Gl. (1) und der ihr im wesentlichen gleichwertigen gasd. Gl. (5) bedarf es einer Fallunterscheidung, da0;:nur bei ebenerStromung verschwindet. Fiir diese gilt:o(e uLox+o(e v)oyund die gasd. Gl.:(C2_U2)~_UV(_OU +~)oxoyox=0(10)+(C2_V2)~=0.oyBei achsensymmetrischer Stromung verschwindet :: auf z(11)=o.Fiir whingegen besteht folgende Bindung:zwv(12)yDaraus folgt:Ow_Zov+vTz--YTzund folglich in der x, y-Ebene (z= 0):ow-yv(13)z=O: Tz=y.Damit lautet die Kontinuitatsbedingung fUr achsensymmetrische Stromung(in der x, y-Ebene):o(e u) + o(e v) + ~ = 0oxoyY,oder auch nach Multiplikation mit y entsprechend Gl. (10):o(euy) + o(evy) =0.oxoyDie gasd.
Gl. reduziert sich auf:(14)(15)ov) + (C 2 -V2)_+CovV2 _=0.(16)-oy+ oxoXoyYDa sich in allen Meridianebenen durch die x-Achse bei achsensymmetrischerStromung dasselbe Bild ergibt, kann bei dieser v einfach als Radialkomponenteder Geschwindigkeit und y als Abstand von der x-Achse gedeutet werden.Das Problem des angestellten achsensymmetrischen Korpers "Wird gleichzeitigmit dem entsprechenden raumlichen Fall in Abschnitt 7 behandelt.(C 2 -U2) ou_ - u v (OU3. Gescbwindigkeitspotential.Bei drehun(Jsfreier raumIicher Stromung laBt sich der Geschwindigkeitsvektor als Gradient eines Potentials (ttl = grad IP) darstellen. Fiir die Komponenten ergibt sich:u=tP x , v=IP y, w=IPz.(17)Diese Gleichungen befriedige:q identisch die Gleichung der Wirbelfreiheit.Der Geschwindigkeitsbetrag ist durch den BetragW = Igrad tP I = IVIPx2 + tP/ + tP z2(18)gegeben.
Bei ebener oder achsensymmetrischer Stromung fallen die Ableitungennach z fort. Es bleiben lediglich die Ableitungen nach x und y, deren Verhaltnis1184 VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen flir stationare reibungslose Stromung.die Richtung der Stromlinie anzeigt. 1st {} der Winkel, den diese mit derx-Achse einschlieBt, so gilt:(19)Die gasd.
G1. kann nun wie folgt geschrieben werden:raumlich:vwwu, uv-2-2-$x1I-2-2-$1IZ-2-2-$ZXccc=0;(20)eben:achsensymmetrisch:(1 -~:) $x '" -2:2V$ '"11+ (1 - ~:) $yy+ ~cp 11=o.Hierin konnen u, v, w und c durch erste Ableitungen yon $ ausgedriicktwerden, womit eine einzige Gleichung fiir die Funktion $ gefunden ist. Sie istin den hochsten Ableitungen linear, weshalb yon einer quasilinearen Differentialgleichung zweiter Ordnung gesprochen wird.Vielfach ist es Yorteilhaft, nur die Geschwindigkeitsunterschiede zu einerkonstanten Anstromgeschwindigkeit W = U oo als Ableitung eines StOrpotentials rpeinzufiihren.
Dann ist:$ - u oo x;u-uoo =f{J""V =f{J1I'w =f{Jz·(21)Wie $ erfiillt auch rp die Gleichungen der Wirbelfreiheit identisch. Auchfiir f{J ergibt sich eine quasilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. Keineswegs ist die Einfiihrung eines Storpotentials an kleine Storungen gebunden.f{J =4.
Stromfunktion.Wie bei instationarer Stromung (Abschnitt III, 10), laBt sich auch beistationarer Stromung die Kontinuitatsbedingung durch Einfiihrung einer"Stromfunktion" identisch befriedigen, wenn lediglich zwei unabhangige Veranderliche auftreten.
Es ist:fiir ebene Stromung:fiir achsensymmetrische Stromung:eu=Py eu=P Y'11'evP x,yev=-Px= -(22)zu setzen, womit Gl. (10) und (15) befriedigt ist.Der Betrag des Gradienten ist bei ebener Stromung gleich der Stromdichte,bei achsensymmetrischer Stromung gleich der mit y multiplizierten Stromdichte;VP",2 + P y 2 = Igrad PI,(23)achsensymmetrische Stromung: yeW = VP",2 + P y 2 = Igrad PI.In beiden Fallen gibt P = konst. die Gleichung der Stromlinie. Es ist namIich:ebene Stromung:eW =tg{} = ~ = - Px/Py.u(24)Durch eine entsprechende Bildung war auch bei instationarer Stromung dieRichtung der Teilchenbahn gegeben. Eine Gegeniiberstellung yon G1. (24) und185VI, 4. Stromfunktion.GI. (19) zeigt, daB Potentiallinie (eJ> = konst.) und Stromlinie ('P = konst.)stets senkrecht aufeinander stehen (Abb.
94). Doch kann das Stromungsfeldnur bei dichtebestandiger Stromung (M ~ 1) in ein Kurvennetz aufgeli:ist werden,das in kleinsten Abstanden lauter Quadrate bildet. Damit sind konforme Abbildungen auf kompressible Stromungen im allgemeinen nicht mehr anwendbar.Wahrend die Einfuhrung eines Geschwindigkeitspotentialsauch bei drei unabhangigen Veranderlichen moglich ist, aberan Wirbelfreiheit gebunden ist, kann die Stromfunktion auchbeim Vorhandensein von Wirbeln benutzt werden, erfordertaber eine Beschrankung auf zwei Unabhangige. Wie bei derinstationaren Stromung (Abschnitt III, 10), wird auch beimCroccoschen Satz zweckmaBig der Umstand ausgenutzt, daBdie Entropie s nur von 'P abhangt, da sie ja auf Stromlinienkonstant ist.Eine Funktion lJI (x, y, z) = konst.
stellt im Raume keineKurve, sondern eine Flache dar. Deshalb lassen sich die PotentialAbb. 94. Orthogo·flachen wohl durch ([J (x, y, z) = konst. darstellen, nicht aber dienalltiit von. StromStromlinien. Fur deren Darstellung braucht man zwei FIachenliDien ('I' = konst.)scharen lJI i (x, y, z) = konst. und lJI2 (x, y, z) = konst. Die Kon\I nd Poteotlallinientinuitatsbedingung (1) laJ3t sich befriedigen mit dem Ansatz 24 :(</> ~ konst.) .e ttl = grad lJIi X grad P2.Es ergibt sich bei ebener oder bei achsensymmetrischer Stromung in derEbene z = 0 mit w = 0 aus G1.
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