K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 49
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Der Verlust ergibt sich unabhangigdavon, bei welchem Druck man vergleicht, einfach als Differenz der Ruhedruckeoder " Gesamtdrucke". Bei kompressiblen Medien wurden sich dabei abhangigvom Bezugsdruck verschiedene Differenzen an kinetischer Energie ergeben.Auch hier ist die Entropie das gegebene MaB fur die Beurteilung von Verlusten.Die Auflosung des Gleichungssystems fur id. Gase konst.
sp. W. nach W ergibt:!1 [1 + M + r;;P2 ( ft ; - I) ±±V(MI2_1)2+2(I+UMI2) :: (£ -I)+(::r(~ -IY).W _~M* _- M;.*- ()e+Tf]i17U21(1)V. Spezielle Anwendungen der Integralsatze.164Die beiden Parameter~PIund -If treten stets nur in einer bestimmten VerIbindung auf. Da die kritische Schallgeschwindigkeit c* bei der einfachen Formdes Energiesatzes ungeandert bleibt, kann WjW I = M*jM I * gesetzt werden.Fur I = 11 ergibt sich bei positivem Vorzeichen der Wurzel die Identitat W = WI'bei negativem Vorzeichen Verdichtungs- und VerdunnungsstoB, je nachdem, obMl > 1 oder Ml < 1 ist.Entropieanstieg oder Ruhedruckverlust ergibt sich am einfachsten wie folgtaus Energiesatz und Kontinuitatsbedingung:= (x-I) InPl~ =ln~- (x -8-81PoCv:1=In[I+Hierinist%1) In~ =(ilTl21 MI2(1--::2)]-(x-I)ln~;1.(2)aus Gl. (1) einzusetzen.
Das Verhaltnis des Druckes p zum Druck Ps>welchen das Medium ohne Verluste bei der Geschwindigkeit W angenommenhatte, ist dem Ruhedruckverhaltnis gleich:8 --81.ILPs= .J!'L =----e(3)C'f)-CVPI0da bei gleichen Geschwindigkeiten auch die Temperaturen ubereinstimmen undsich folglich .L wie .BL. aus dem Entropieanstieg errechnet.PsPI0Fur gegebenen Druck ist W aus Kontinuitatsbedingung und Energiegleichungallein zu gewinnen::1= :;.:=Vi+ %21~12-(%I 1~12+(%-1 '~D-:l {r:1- £).1Die Verluste ergeben sich dabei wieder aus Gl.
(2).Es ergibt sich Unterschallgeschwindigkeit in f (M*pi,r;; 7:;><(4)1) fur:M12M 1 *'(.5)Fur sehr groBe Werte von ..'L -II geht M* gegen sehr kleine Werte, also gegenP Iinkompressible Stromung, fur sehr kleine Werte von -- T gegen den moglichenPII~Maximalwert M* = I,VBei gegebenem Lbedingung zu:PIJ!J..Pll_%_-.%-1errechnet sich ~ aus Impulssatz unrl KontinuitatsPI(..L-I) = L..L + x MI2...!!':..(1 + x 2l1}).WIPIlIPIlI(6)Es durfen die Vorgaben dabei nie so getroffen werden, daB das Verhaltnis P2_PIden Wert des senkrechten VerdichtungsstoBes ubertrifft. Sonst lauft namlicheine StoBwelle stromaufwarts und die Uberschallstromung im Querschnitt I Ibricht zusammen.In ahnlicher Weise, wie hier der Carnotsche StoBverlust behandelt wurde,lassen sich auch die verschiedensten Mischvorgdnge (Abb. 76) durchrechnen*.* Handbook of Supersonic Aerodynamics, section 4 (1950), Navord Rep. 1488.165V, 2.
Strahlkontraktion, Borda-Mundung.Zu beachten ist, daB sich dann der Energiesatz nicht als Summe von Energieder Form (II, 7) ergibt, sondern daB sich die DurchfluBmenge als Faktor nunnicht mehr wegkiirzen liiBt. Sind die Stoffkonstantender Anteile verschieden, so ergeben sich die Stoff.. })"'b"''''M'''A'>'>'''-''''",,'''''?'&'>'>,->,»''konstanten der Mischung aus den thermodynamischen Mischregeln. In vielen Fallen (Einspritzenvon Treibstoff in Luft) iiberwiegt der eine Anteilso sehr, daB die Anderung der Stoffkonstanten zu'?'.vernachlassigen ist.
Stets wird es sich empfehlen,Abb. 76. Mischvorgang.neben den Verhaltnis3en der Geschwindigkeiten,Drucke, Dichten usw. Machsche Zahlen einzufiihren. Das Auftreten von M 1und " in den Formeln (1) und (4) ist schlieBlich nur ein spezielles Ergebnis derallgemeinen Ahnlichkeitssatze.'7/''''''''''''''''''''''''''''''''''''''2. Strahlkontraktion, Borda-Miindung.Es sei der stationare AusfluB aus einer beliebig geformten Offnung einesKessels betrachtet.
Zur Aufrechterhaltung der stationaren Stromung mag derKessel durch ein senkrecht zur Richtung des AusfluBstrahles gerichtetes Rohrgespeist werden. Dann entsteht durch das Nachfiillen des Kessels keine Wirkungin Strahlrichtung (x-Richtung). Die Kraft K, mit welcher der Kessel gegen diex-Richtung gedriickt wird, muB gleich den resultierenden Massenkriiften sein,welche aufgebracht werden miissen, um den Kesselr--- -------,Iin Ruhe zu halten:K=+ JJI e X dx dy dz.I PaIIIIIBUm den Kessel sei durch die ruhende Luft vomDrucke Pa und quer zu dem auf einen Parallelstrahlvom Querschnitt f' sich zusammenziehenden AusfluBstrahl eine "Kontrollflache" gelegt (Abb.
77). VonReibung werde abgesehen. Dann fallen alle Oberflachenkriifte weg, da Pa auf der ganzen Kontrollflache herrscht, und es bleibt:K=+ e W2/,.Abb . 77. Ausflull aU8 eiDem Kessel.Die auf den Kessel ausgeiibte Kraft setzt sichanderseits nur aus Druckkraften auf die Kesselwand zusammen.KJJ (p -= -Pal cos (n, x)Kesselwand1st Po del' Ruhedruck im Kessel, so kann mitsenkrecht zur Strahlrichtung folgende Summe:(Po -PalI+ JJ (Po -Kesselwand-Pal cos (n, x) dt=dl·I als MiindungsquerschnittJJ (Po -geschl.
FIacheEs ist:Pal cos (n, x) df=0belie big addiert oder subtrahiert werden. Damit iste W2 f'=f (Po -Pal+ II (Po-p) cos (n, x) dt·Kesselwande W2 im Strahle beim Drucke Pa ist mit der Bernoulli-GIeichung (II, 52) und Isentropengleichung (1,27) durch Po und P allein auszudriicken:e W2 =it2' \ Po(:J+ (:J -:-1] =[1 _xit 2' \ P [(~o ) 1_ 1].u -:-(7)v. Spezielle Anwendungen der Integralsatze.166e W2fur P=Pa eingesetzt, ergibt fur die Strahlkontraktion:x~1f'~2--:-x7x-I_[(PO_I) +~fft . PO~JLcos(n,x)dl].(:: ) " _ 1PaPa_(8)KesselwandDa der Druck an der Kesselwand nicht gral3er als der Ruhedruck sein kann(Po> p) und in der Umgebung der Dusenmundung, wo alleinwesentliche Differenzen Po - P auftreten, cos (n, x) positivist, ist das Integral in Gl. (8) stets positiv. Es ergibt sich diestarkste Strahlkontraktion, wenn das Integral verschwindet,wenn also iiberall an der Wand Po = P ist.
Dies ist bei derBorda-Mundung der Fall. Sie ist stark in den Kessel hereinAbb.78. Bordagezogen (Abb. 78), so dal3 der Druck erst an der scliarfen;mtindung.nach innen gerichteten Kante vom Werte Po auf Pa abfallt. DieStrahlkontraktion ergibt sich dann aus dem ersten Summanden in der eckigenKlammer von Gl. (8) allein und ist in diesem einfachen Faile also berechenbar.3. Strahlablenker bei stationarer Stromung.Ein aus einem Rohre in x-Richtung austretender Strahl (Abb. 79) werdevon einem Strahlablenker aufgefangen und in die Richtung n abgelenkt. DieZustande iiber dem Stramungsquerschnitt seien....konstant, Reibung spiele keine Rolle.
Welche/'','II!"' ,Kraft ubt die Stramung in x-Richtung undI /.....I'normalzur x-Richtung (y-Richtung) auf denI\I\Strahlablenker aus?I\Wenn UberschaUgeschwindigkeit herrscht,~'.,braucht der Druck P am Ende des Strahl~I\Iablenkers nicht dem Aul3endruck Pa gleich zuII-K(lnfrWi;;ic/'i- - j sein. 1m Austrittsquerschnitt 11 des Rohreskann sich der Druck PI auch bei UnterschalI.xgeschwindigkeit von Pa unterscheiden, wenn derAbb. 79. trahlablenker.Spalt am Rohr genugend klein ist.Aus dem Impulssatz Gl.
(IV, 4) ergeben sich mit Gl. (IV, 30) die beidenKompouenten der resultierenden Kraft K", und K y , mit welcher der Strahlablenker der Stramung entgegengehalten werden mul3:Kx = I (e W2 + P - Pal C03 (n, x) - 11 ((!1 W 12 + PI - Pal,K y = I (e W2 + P - Pal cos (n, y).Welcher Druck mul3 nun im Endquerschnitt t herrschen, damit ein Maximuman Kraftwirkung erzielt wird? Offen bar mul3 unter der Voraussetzung konstanterDurchflul3menge G = feW der ImpulsausdruckI = f (e W2 + P - Pal = G W + f (p - Paleinen Maximalwert annehmen.
Die Ableitung von I nach P mul3 verschwinden.Fur diese ergibt sich mit Gl. (II, 51)-----,~<;;,.~L;/-dIdp=dWf (! W dP+f TI(p -PaldldP=Abgesehen von der kritischen Geschwindigkeit, istExtremwert, wenn P = Pa ist. Fiir P = Pa ist~Idp2=~dp+ (p -~IPal dp2=(p -:1P~dp·dtPal dp-·=to 0, d.
h. I hat einenV, 4. Schaufelgitter.167Bei Uberschallgeschwindigkeit, fur welche allein der Fall P =1= Pa Bedeutunghat, ist;~ <0, d. h. lund damit K x und K y haben M aximalwerte, wenn Pist. Dann wirdKxKy=G W cos (n, x) -G W 1-=11 (Pl-Pa),= Pa(10)G W cos (n, y).Dieses wichtige Resultr t gilt unabhangig davon, ob Warme zugefiihrt wurdeoder nicht.Der groBtmogliche Schub Kx in x-Richtung wird naturlich bei einer Umlenkung von 180 0 [cos (n, x) = -1] erreicht.
Die Austrittsgeschwindigkeit Waus dem Strahlablenker hangt dabei vom Druckverhaltnis abo Sie erreicht denHochstwert beim AuBendruck Pa = 0, namlich die stationare Maximalgeschwindigkeit (G1. II, 30). Es ist fUr die Anwendung bemerkenswert, daB sich W auch beieinem Druckverhaltnis von ~Po=0,001 noch wesentlich von W max unterscheidet(Tab. II, 3). In dieser Hinsicht ist also selbst ein so kleiner AuBendruck Pa nochkeineswegs als Vakuum anzusprechen.4. Scbaufelgitter.Fur den Bau von Turbinen und Verdichtern interessiert die stationare Stromungdurch Schaufelgitter (Abb.
80). Sie ist fUr kompressible Medien von A. BETZIbearbeitet worden.Hier soIl nur die verlustfreie Stromung behandelt werden. Es verlaufe x inRichtung und y quer zur Richtung der Schaufelreihe, mit den Indizes 1 und 2werden die Zustande vor und hinter dem Gitterbezeichnet. a sei der Abstand der Schaufeln, die" Gitterteilung" , und b die Lange der Schaufeln(normal zur Zeichenebene gemessen). DieKontrollflache werde von zwei benachbarten/////Schaufeln und dem Austritts- und Eintrittsquerschnitt gebildet.
Die Kraftkomponenten K xund K y' welche das stromende Medium auf eineSchaufel in x- und y-Richtung ausiibt, ergebensich als entsprechende Druckintegrale uber dieAbb. 80. Schaulelgitter.Schaufeloberflache. Da an allen Schaufeln diegleichen Verhaltnisse herrschen, kann die Integration uber eine einzige Schaufel ausgefiihrt werden, anstatt iiber die einanderzugekehrten Seiten zweier benachbarter Schaufeln. Zunachst ergibt die Kontinuitatsgleichung (IV, 2):(11)!h V l = 122 V 2·Dann folgt aus den Impulssatzen G1. (IV, 4):Kx= Jf P cos (n,K,II=Schaufelx)dl =a b [121 VI 'Ill -Jf P cos (n, y) df = a b [PI SchaufeIP2122 V 2 'U 2 ] = a b 121 VI+ 121('Ill -'U 2 ),(12)Vl(V l - V2 )].Bei inkompressiblen Medien lautet die Kontinuitatsbedingung VI = V 2, womitin der Gleichung fUr Ky nur eine Druckdifferenz stehenbleibt.K y entspricht bei einer einzigen Schaufel in unendlicher Stromung derenWiderstand.
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