K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 48
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Es sei wieder eine KontrollWiche /00 gewahlt, welche so groB ist, daB im Integral (35) und (:36) nur dieGlieder erster Ordnung beruchichtigt zu werden brauchen. Die ReibungskrafteIV, 7. Widerstand und Schuh in stationarer Stromung.161auf der Kontrollflache too konnen dann wieder vernachlassigt werden, was diefolgende Ableitung etwas vereinfacht.Mit G1. (36) ergibt sich entsprechend zur Ableitung des Kutta-JoukowskischenSatzes des letzten Abschnittes:+ If [u oo e Wn + (u-u oo ) e Wn + (p-Poo) co;; (n,tIf [u oo eoo (u - u oo ) + (p - Pool] cos (n, x) df·-K ==x)] dt =tooDer erste Summand im ersten Integranden faUt wegen der vorausgesetztenQuellfreiheit [G1.
(2)] weg.Aus der Entropiedefinition ergibt sich fur Zustande, welche sich nur wenigvom Anstromzustand unterscheiden:Too eoo (s -soo) = eoo (i -ioo) -(p -Poolund folglich:- K UOO =!I [Ubo eoo (u too-U ooeoo Too (s -u oo )+ Uoo eoo (i -ioo)+soo)] cos (n, x) dt,oder unter Verzicht auf die Linearisierung:KU oo=f f [- ~2-i+ Too (S-soo)] e Wn dl·tooDie ersten beiden Summanden sind die einzigen Glieder, welche im Energiesatz GI. (5) noch ubrigbleiben, wenn bei stationarer Stromung und FehlenauBerer Krafte auf der Kontrollflache von Reibungsarbeit und dann natiirlichauch von Warmeleitung abgesehen werden kann.
1m letzten Summanden derobigen Gleichung kann Soo auch weggelassen werden. seWn ist ein Entropiestrom oder EntropiefluB, die Menge an Entropie, welche pro Zeit- und Flacheneinheit flieBt. Sie bleibt innerhalb des Gebietes, in welchem keine Entropieanderung mehr stattfindet, konstant, weshalb 100 durch irgendeine Flache fersetzt werden kann, welche aIle vom Korper in der Stromung verursachtenEntropieanderungen umfaBt. Mithin gilt fur den Widerstand K eines Korpers 7 :KU oo=(37)TooIf (s-soo) e Wndl = Too!! 8 e Wn dt·tfK U oo ist die Leistung, welche zum Schleppen des Korpers im ruhendenMedium aufgebracht werden muB.
Sie ist gleich der Anstromtemperatur mal demEntropiestrom durch eine Flache, welche aile vom Korper verursachten Entropieanderungen umschlieBt. Es gibt Falle, bei welchen sich die Entropieanderungenweit stromab vom Korper erstrecken. Beispielsweise verursacht das Auflosender von einer tragenden Flache ausgehenden \Virbelbander noch Entropieanderungen. Der Nachlauf von StoBen weist Temperaturunterschiede auf,deren Ausgleich auch noch Entropieanstiege erzeugt.
Diese sind allerdings gegendie Entropieunterschiede, welche von den StoBen herruhren, so gering, daB sieim allgemeinen - wie die Reibungseinflusse auf der Kontrollflache - vernachlassigt werden konnen.Der Satz (37) enthalt die Aussage, daB ein Korper, welcher von einem reibungsfreien Medium umstromt wird, keinen Widerstand aufweist (d'AlembertschesParadoxon).
Dies gilt naturlich nur dann, wenn die Stromung hinter dem Korperwieder in den Anstromzustand ubergeht, also keine Energie ins Unendlichegetragen wird.Oswatitsch, Gasdynamik.11162V. Spezielle Anwendungen der Integralsatze.Ferner haben nach G1. (37) VerdichtungsstoBe stets Widerstand zur Folge.Wenn der Entropieanstieg im StoB auch sehr klein ist, so erstreckt sich dieserjedoch in groBe Entfernungen vom Korper, so daB sich stets ein wesentlicherBetrag ergibt. 1m Gegensatz dazu wurde am Ende vom Abschnitt 5 festgestelIt,daB eine Entropieanderung bei kleinen Storungen in erster Naherung noch zukeiner Zirkulationsanderung fuhrt, also noch naherungsweise wirbelfrei gerechnetwerden darf.Die Aussage von G1.
(37) ist nahe verwandt mit einem Satz der Thermodynamik *, wonach die Verminderung der N utzarbeit einer Warmekraftmaschinegleich der Entropieerhohung des gesamten Systems multipliziert mit der Umgebungstemperatur ist.Literatur.1 Lord RAYLEIGH: Aerial plane waves of finite amplitude. Proc. Roy. Soc. ALXXXIV (1910~1911), S. 247-284..2 L.
PRANDTL: Zur Theorie des Verdichtungssto13es. Z. ges. Turbinenwes. III (1906),S. 241~245.3 L. CROCCO: Eine neue Stromfunktion fLir die Erforschung der Bewegung derGase mit Rotation. ZAMM XVII (1937), S. 1-7.4 W. TOLLMIEN:Ein Wirbelsatz fiir stationare isoenergetische Gasstromung.Lufo XIX (1942), S. 145--147.5 K.
OSWATITSCH: Zur Ableitung des Croccoschen Wirbelsatzes. Lufo XX (1943),S.260.6 H. ERTEL: Ein neuer hydrodynamischer Wirbelsatz.Meteorol. Z. LIX (1942),S. 277~281.7 K. OSWATITSCH: Der Luftwiderstand als Integral des Entropiestromes. :N achr.Ges. Wiss. Gotti~gen, math.·phys. Kl. (1945), S. 88~90.8 H. ERTEL: Uber das Verhaltnis des neuen hydrodynamischen Wirbelsatzes zumZirkulationssatz von Bjerknes. Meteorol. Z.
LIX (1942), S. 385~387.9 A. VAZSONYI: On rotational gas flow. Quart. appl. Math. IIIll (1945), S. 29-37.10 M. MUNK und R. PRIM: On the multiplicity of steady gas flows having thesame streamline pattern. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. XXXIII/1 (1947), S. 137bis 141.11 R. PRIM: A note on the substitution principle for steady gas flow. J. appl.Phys. XX (1949), S.
448-450.v. Spezielle Anwendungen der Integralsatze.1. Carnotscher Sto6verlust, Mischvorgange.Es sei in einem Rohr eine stufenformige Erweiterung angenommen (Abb. 75).Das Medium, welches stationar mit angenahert konstanten Zustanden durch denQuerschnitt 11 einstromt, wird sich nach starkerer Durchwirbelung in der Naheder Stufe spater wieder beruhigen und mit angenahert konstanten Zustanden uberden Querschnitt I weiter stromen.
Von den Reibungskraften an der Rohrwand seiabgesehen. Ihr EinfluB bedarf fur genauere Rechnungen einer gesondertenUntersuchung. Als "KontrollfIache" diene die Rohrwand, erganzt durch dieQuerschnitte 11 und I. Nach Streichen der instationaren Glieder und der Glieder,welche auBere Krafte, Reibungskrafte und Warmezufuhr berucksichtigen, bleibtvon den GI.
(IV, 2), (IV, 4) und (IV, 5) :(e W2(~2*e WI = 1?1 Wrfl;= (el W12 + PI) 11+ p) I+ P2 (f -+ i) e WI = (~12 + il) el WIll;Kontinuitatsbedingung.11); Impulssatz.Energiesatz.STODOLA: Dampf- und Gasturbinen, 6. Aufl., S. 1057.Springer-Verlag 1924.V, 1. Carnotscher StoJ3verlust, Mischvorgange.163Der Energiesatz kann mit der Kontinuitatsbedingung sofort auf die bekannteForm Gl. (II, 6) gebracht werden. Da an der Rohrstufe nicht mit einheitlichenZustanden uber den Querschnitt gerechnet werden kann - in der Mitte istStromung, auBen Ruhe - , falIt dieser Vorgang bereits aus dem Rahmen dereinfachen Stromfadentheorie heraus (wenn man mit dieser arbeiten wolIte, wareP2 (f - 12) als auBere Kraft einzufuhren).Ohne weitere Rechnung kann gesagt werden, daB es zu jedem Anstromzustandmindestens zwei Losungen geben wird. Es kann namlich jedem Endzustandnoch ein zu diesem gehoriger VerdichtungsstoB oder VerdunnungsstoB hinzugefugt werden, der auch Losung des Gleichungssystems sein muB.
Ein VerdunnungsstoB ist allerdings nach dem zweiten Hauptsatz unzulassig, er muB aber imGleichungssystem enthalten sein und wird erst ausgeschieden, weil er im Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Warmelehre Entropieabfall eines abgeschlossenen Systems ergibt. Hier entspricht das Anfugen eines "VerdunnungsstoBes"nur einer mathematischen Konstruktion. Physikalisch handelt es sich urn eineneinzigen verwickelteren Vorgang, von dem zu untersuchen ist, ob er im ganzenzu einem Entropieabfall fuhrt, bevor uber;?////ff l//////# #/// f////f/fkW//# /1seine Realisierbarkeit entschieden wird.--~Bei Unterschallstromung im Querschnitt......11 (Ml < 1) stellt sich dort der Druck P2' .
. .'welcher am Austritt herrscht, ein (bis auf-- ~den zu vernachlassigenden Druckabfall durch~//ll/d7///7/////////Il///////////lI7;;;PIReibung). Bei Ml > 1 sind zwei FaIle zuAbb. 75. Carnotscher StoBverlust.unterscheiden. 1st in I die Mach-Zahl M < I,so ist der Druck in I durch die Verhaltnisse stromabwarts bedingt. P ist also gegeben und im einfachsten Fall, daB das Rohr in I endet, gleich dem Umgebungsdruck.
Das Gleichungssystem enthalt dann (), W und P2 als einzige Unbekannte,die sich also eindeutig berechnen lassen. 1st hingegen M > I, dann ist (), W, Pund P2 unbekannt. Die erst en drei GroBen lassen sich nur als Funktion von P2bestimmen. Dieser "Totraumdruck" ist durch das Gleichgewicht zustromenderlangsamer Reibungsschichtmaterie und am Totraumrand mitgerissener Materiebedingt.
Eine Berechnung von P2 kann also nur auf Grund einer theoretischenVerfolgung turbulenter Vorgange erfolgen und ist bis jetzt nicht gelungen.Die Behandlung des letzten FaIles (M 1 > 1, M > 1) ist ohne Berucksichtigungder Reibungsvorgange iiberhaupt nur von theoretischem Interesse. Bei Uberschallstromungen stellen sich namlich konstante Zustande uber den Querschnittnur sehr langsam ein, wahrend die Rohrreibung (Abschnitt II, 13) bereits aufverhaltnismaBig kurzen Strecken von ausschlaggebender Bedeutung ist.Bei dichtebestandigen Stromungen sind, da () = (}1 und PI = P2 ist, W und Paus Kontinuitatsbedingung und Impulssatz allein zu berechnen. Es ergibt sichder Verlust an der Stufe aus der Differenz an kinetischer Energie, welche dasMedium annimmt, wenn es vor und nach dem Verlust auf denselben Druckgebracht wird ("Carnotscher Stof3verlust").
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