K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(6) ergibt.Der Gau13sche Integralsatz (6) mit F•!JJL dx dy dz + rr fl.· o(~ u)fIIot. .•oxBB=e aufGl. (2) angewendet, ergibt:+ -~~ +oy1_o(e w) dx dy dzOZ= O..Wird der Raumbereich so klein gewahlt, da13 die Ableitungen darinnen alsunveranderlich angesehen werden konnen, so ergibt sich daraus die Kontinuitiitsbedingung als Differentialgleichung folgender Form:~+ o(eul.+ ~+ 8(e w ) =0.otoxoy(8)OZWird analog zu Gl. (III, 1) eine zeitliche massenfeste Ableitung gebildet:~=~+u~+v~g-+w~dtataxoy(9)oz 'so kann die Kontinuitatsbedingung auch wie folgt geschrieben werden:~~+~+~+~=OQ dtoxoyoz.(10)Aus dieser folgt sofort die bekannte Kontinuitatsbedingung fur dichtebestandigeMedien (e = konst).Durch Umwandlung aller Flachenintegrale in Raumintegrale mittels Gl.
(6)und (7) ergibt sich die erste Bewegungsgleichung zunachst in folgender Form:o(eu)ot=~ ~PiJx+o(e u2 )ax+o(euv)oy++ 0~ X + ~( +)+ox PxxPo(e uw ) =ozoPYXoy+8pzx.oz(11)IV, 2. Differentialgleichungen der Bewegung.143Mit der Kontinuitatsbedingung (8) ergibt sich fur die x-Richtung und ganz entsprechend fUr die beiden anderen Koordinatenrichtungen folgende Form derBewegungsgleichungen:e~dte~dtedwdt= _~ +eX+oyey+OZeZ+ox=_ ~+= _~ ++o(p",,,, + p)oxOp",yoxOp",zox++Opy",oy+oPz", .OZ'+ p) +o(PyyoyOPYZoy+OPZy .OZ '(12)o(pzz + p) •OZHierin wurden wieder der kurzeren Schreibweise wegen entsprechend zu G1. (9)massenfeste Ableitungen gebildet. Man erkennt in den G1.
(12) die nahe Beziehung zu den Newtonschen Bewegungsgleichungen.Aus G1. (12) ergeben sich fur reibungslose Stromung (p",,,,p = 0, py", = 0,p. '" =usw.) sofort die Eulerschen Bewegungsgleichungen:+°~=X-~~'dt~ = y-~~.e 0x ' d te oy'dw=Z_~~.dte OZ(13)Die Reibungskrafte werden in der Hydrodynamik stets als lineare Funktionender Formanderungsgeschwindigkeit angesetzt:OUouovow )= + 2 P, ax+ p, , ( ax+ ay+ Tz'P",y = PY"'= +p,(~~ + ~:),P"'''' + p( J.!)die ubrigen GroGen entsprechend durch zyklisches Vertauschen. Hierin ist p,der Reibungskoeffizient und fl' ein Koeffizient der Volumenviskositat. Derletztere hat nur bei kompressiblen Medien Bedeutung. Seine praktische Bedeutungist allerdings bisher gering, da er in keiner aller behandelten kompressiblen Stromungen mit Reibung auftritt.Vielfach wird der statische Druck p dem mittleren Normaldruck!(p",,,, + pyy + P•• )gleichgesetzt, woraus sich fL' = - ~ fL ergibt.
Diese Beziehung wird aber nicht durchdie kinetische Gastheorie bestatigt und solI daher auch hier nicht verwendet werden.+Das Auftreten der doppelten Reibungskraft p, im Ausdruck fur P"''''P kannnicht ohne tieferes Eingehen auf die Teilchendeformationen gezeigt werden.Es soll hier als bekanntes Ergebnis der klassischen Hydrodynamik einfach iibernommen werden*.Die Elimination der Reibungskrafte in G1.
(12) durch die Deformationsgeschwindigkeiten G1. (14) fiihrt zu den Navier-Stokes-Gleichungen kompressiblerMedien:e ~=-~+dtoxeX + 2 ~ox ( fl ~)+~[oxoy fl (~oy +~ox )J +o [+Tzp,(OWOU )]ow)]ax+ay+Tz0 [ , ( oup,ax+Tz +ax(15)ovund zwei entsprechenden Gleichungen fiir die y- und z-Richtung. Keineswegskann hierin fl und fl' als konstant angesehen werden und vor die Ableitungengestellt werden. Diese Koeffizienten sind zwar bei idealen Gasen lediglich temperaturabhangig, ihre Temperaturabhangigkeit ist aber in vielen Fallen nicht*Siehe etwa: Handbuch der Experimental.Physik (1931), Bd. lVI' S.59-68.IV. Allgemeine Gleichungen und Satze.144geringer als jene der Dichte.
In manchen Fallen kann selbst bei Gasstromungeneher e als ft durch konstante GroBen genahert werden. Bei Stromungen vonOlen starker Temperaturunterschiede zeigt sich wegen der Temperaturabhangigkeit von ft eine nahe Verwandtschaft der Probleme mit jenen der Gasdynamik.Der Energiesatz fiihrt nach Umwandlung aller Flachenintegrale auf folgendeDifferentialgleichung::t [e (~2 + e)] + :x [e u(~2 + e+ ~) J+ :y [e v(~2 + e+ ~)] +[e w (W2 + e + E-.)]~~)+~(A~)+ ~_(A ~T)++~ozeoxoxoyoydzOZ=2+ (uX(),o+ v y + wZ) e + ax[U(Pxx+p) + VPXY + wpxz] +o+ By [u PYX0+ v(PYY + p) + w pyz] + az[u Pzx + V pz y + w(pzz +p)].Diese Gleichung ladt dazu ein, die mit u, v und w multiplizierten Bewegungsgleichungen zu subtrahieren, was mit der Kontinuitatsbedingung (10) zu folgendemResultat fiihrt:T~=~+~(~)=dtdtP dte=~cp + ~ [~ (A~)ee oxox+~(A~)+~(), _o~)].oyoyozOZ(16)Darin ist cP die sogenannte Dissipation:cP=(Pxx+ PXy (;:+oup) axov+ (pyy + p) By+(pzzow+ p) 8Z++ ~;) + PYZ (~; + ~:) + Pzx (~: + ~:).(17)Sie ist die Arbeit, welche die Reibungskrafte in der Zeiteinheit und Raumeinheit bei der Deformation des entsprechenden Teilchens leisten.
Die erstendrei Summanden ergeben sich aus den Streckungen und Dehnungen in dreiaufeinander senkrechten Richtungen, die letzten drei Summanden aus denreinen Scherungen. Mittels Gl. (14) auf die Deformationsgeschwindigkeitenzuruckgefuhrt, lautet die Dissipation:rr+ ft [( ;: + ~; + (~; + :: + (~: + ~:)1( 18)Der erste Summand bezieht sich dabei allein auf kompressible Medien. DieZusammensetzung von cP aus lauter quadratischen Ausdrucken entspricht ihrerphysikalischen Bedeutung als richtungsunabhangige GroBe.Gl. (16) stellt den ersten Hauptsatz der Warmelehre dar. Auf der linkenGleichungsseite steht die Zunahme der inneren Energie in der Zeiteinheit und dieArbeitsleistung pro Masseneinheit.
Die Summe dieser beiden muB gleich seinder zugefiihrten Warme in der Zeiteinheit. Diese setzt sich unter den gemachtenVoraussetzungen zusammen aus der durch die Arbeit der Reibungskrafte entstehenden und der durch Warmeleitung zugefuhrten Warme. So wenig wie derReibungskoeffizient kann auch das Warmeleitvermogen als konstant angesehenwerden. Es muB daher unter dem Differentialzeichen stehen bleiben. Beimidealen Gas ist die Temperaturabhangigkeit von ), ahnlich jener von /1.IV, 3. VerdichtungsstoJ3e allgemeiner Lage.145Da sich aIle thermischen Zustandsgro13en mittels der Zustandsgleichungenauf zwei unabhangige GraBen (etwa p und T) reduzieren lassen, stellt der ersteHauptsatz die neben der Kontinuitatsbedingung (8) und den drei Navier-Stokesschen Gleichungen (11) noch fehlende £Unfte Differentialgleichung dar fur diefunf gesuchten Funktionen u, v, W, p und T von x, y, z und t.G1.
(16) kann auch als erweiterte Warmeleitungsgleichung angesehen werden,wobei sich aus der Dichteanderung des Gases und dem Reibungsvorgang Zusatzglieder ergeben. Wie die stationare Fadenstromung mit Warmezufuhr zeigte,gehen die Vorgange bei kleinen Mach-Zahlen isobar vor sich. Kann auch dieDissipation vernachlassigt werden, so bleibt mit GI. (I, 9) und GI. (I, 13). dedi = (aTai) p Tt):dT(wegen p = konst. 1stcpe (dTit==~axcpaT + u 8XaT + VayaT + WTzaT)e (atdie Warmeleitungsgleichung mit1V~~.(19)(A aT)ax + ~ay (},~)ay + 3_az (A~)az'den konvektivenGliedern u ~, v ~,Darnach muB in der Warmeleitungsgleichung wegen desDruck~~sgleic~sstets cp (und nicht cv ) stehen, was nicht immer beachtet wird.3.
Verdichtungssto.6e allgemeiner Lage.Zu einer voIlstandigen Beschreibung von Stromungen veranderlicher Dichtetreten neben die Differentialgleichungen noch die Gleichungen, welche dieStromungszustande vor und hinter VerdichtungsstoBen koppeln. Allerdings warendiese Sto13gleichungen exakt nur bei Stromungen ohne Reibung und Warmeleitungerforderlich. Bei Reibung und Warmeleitung konnen namlich keine sprunghaftenAnderungen von Zustanden auftreten. Beispielsweise bedeutet ein Temperatursprung ein unendliches Temperaturgefalle, das bei noch so kleinem Warmeleitvermogen stets einen unendlichen Warmest rom zur Folge hatte.
Ein Temperatursprung mu13te sich demnach sofort in eine stetige Temperaturverteilung auflosen.Daraus ergibt sich eine erstmalig von L. PRANDTL2 abgeschatzte Tiefe des StoBes,welche von der Gro13enordnung der mittleren freien Weglange der Molekule istund die sich daher mit den Mitteln der Kontinuumsphysik gar nicht berechnenlaBt (Genaueres: Abschnitt XI, 1). Sto13e sind also trotzdem auch in reibendenund warmeleitenden Gasen praktisch als richtige Sprunge der Zustandsgro13enanzusehen, woraus sich die Bedeutung der Sto13gleichungen auch in dies em FaIleergibt.Es ware natUrlich moglich, die allgemeinste Form von StoBen aus der allgemeinsten Form der Integralsatze abzuleiten.
Jedoch gelangt man schnellerzum Ziel, wenn man die Gleichungen durch Transformation auf ein bewegtesBezugssystern ableitet, wie dies in III, Abschnitt 14, fur die instationare Fadenstromung gemacht wurde. Allerdings ist es zunachst nur erlaubt, auf gleichformig bewegte Bezugssysteme zu transformieren (Galilei-Transforrnation),weil die Bewegungsgleichungen in beschleunigten Systernen ihre Gestalt andern.Bereits die Berechtigung der Anwendung der StoBgleichung auf veranderlicheZustande am StoB k6nnte angezweifelt werden.Die Berechtigung, mit StoBen als quasistationaren Vorgangen zu rechnen,wird davon abhangen, urn welchen Bruchteil sich etwa die Dichte, die Stromungsgeschwindigkeit oder auch die Schallgeschwindigkeit in jener Zeit andert, inwelcher sich die Anderung durch die StoBfront hindurch bemerkbar macht.Oswatitsch, Gasdynamik.10146IV. Allgemeine Gleichungen und Siitze.1st ,dx die StoBfronttiefe,c diemittlere Sehallgesehwindigkeit und~~ die zeit-liehe Anderung irgendeiner Zustandsfunktion F, so kommt es also auf die Kleinheit folgenden dimensionslosen Ausdruekes an:1-F-ofL1 xat c·Er ist fast stets versehwindend klein.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
