K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 42
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Auch aus den drei Newtonschen Bewegungsgleichungen der Mechanik werden ja drei Impulssatze abgeleitet.Die drei Komponenten der auf die Masseneinheit bezogenen Kraft K seienX, Y, Z. Sie haben die Dimension einer Beschleunigung entsprechend derSchwerebeschleunigung g bei der Massenkraft der Schwere. Auf das Flachenelement wirkenferner Normal- und Schubspannungen, insbesondere der Druck Pund die Reibungskrafte.
AIle diese auf df wirkenden Oberflachenkrafte konnendurch Krafte ausgedriickt werden, welche auf senkrecht zu den Koordinatenachsen stehenden Flachen ausgeiibt werden. Bei den auf die Flacheneinheitbezogenen Flachenkraften:Pxx, PYX' Pzx,PXY' PYY' PZy,Pxz, PYz' Pzz>bedeute der erste Index die Richtung der Flache, auf welche die Kraft ausgeiibtwird, und der zweite Index die Richtung der Kraft.PXY ist also eine auf eine Flache normal zur x-Achsewirkende Kraft in y-Richtung. Es ist eine Schubkraft (Abb.
70). Die Normalkrafte Pxx, pyy und pzzP.Z'Zsetzen sich aus dem gegen die N ormalenrichtungwirkenden statischen Druck P und einem RestPxxp, PYYP und pzzP zusammen, welcherReibungskrafte darstellt. In den Integralsatzenwird eina Aufteilung der Normalkrafte in denDruckanteil P und den Reibungsanteil (PxxPusw.) erfolgen, ohne fUr letzteren eine besondere Abb. 70. Flachenelement und FHi·Bezeichnung einzufiihren.chenkriifte.Urn die x-Komponente der Resultierenden der imRaumbereich B wirkenden Massenkrdfte zu erhalten, ist X zunachst auf dieRaumeinheit zu beziehen (d. h.
mit (! zu multiplizieren) und dann iiber denganzen Raum zu integrieren:++++If Ix (! dx dy dz.BDie Oberflachenkrafte Pxx, PYX usw. beziehen sich jeweils auf eine Flachesenkrecht zur x-Achse, zur y-Achse usw. Sie sind also mit der Projektion desFlachenelements df auf die entsprechenden Richtungen, also mit cos (n, x) df,cos (n, y) df usw. zu multiplizieren und dann erst iiber die ganze Flache zu integrieren, urn die Wirkung alIer auf f wirkenden Krafte zu erhalten.
In x-Richtungwirkt somit die Resultierende der Oberfldchenkrdfte:I j[Pxx cos (n, x) + PYX cos (n, y) + Pzx cos (n, z)] df·fDie Summe aller Massen- und Flachenkrafte muB gleich einer Erhohung anBewegungsgroBe sein. Diese setzt sich aus der zeitlichen .Anderung der BewegungsgroBe im Wirkungsbereich B der Krafte! JJJ(!u dx dy dzBzusammen (bei welcher die zeitliche Ableitung wieder unter das Integralzeichengenommen werden kann) und aus dem Transport von BewegungsgroBe durch dieBegrenzungsflache f in die Umgebung:II (! u Wndf.f140IV.
Allgemeine Gleichungen und Siitze.Natiirlich ist stets die zur Kraftrichtung entsprechende Komponente derBewegungsgro.Be zu nehmen. Der Impulssatz fiir die x-Richtung lautet somit:! f f fe u dx dy dz + f feu Wn dt = f f feX dx dy dz +ffB I B[Pxx cos (n, x) + PYX cos (n, y) + Pzx cos (n, z)] dt.(3)tNach Trennung des Druckanteils vom Anteil der ReibungskrMte ergibt sichschlie.Blich der Impulssatz in den drei Koordinatenrichtungen in folgender Form:+:t JJ Jeudxdydz + J J[e u Wn + pcos(n, x)J dt =JJJe x dxdy dz +B I B+ J J [(Pxx+ p) cos (n,x)+ PYX cos (n,y)+ Pzx cos (n, z)] dt;I! J J fevdxdydz+ JJ[eBVWnI+ pcos(n,y)]dt =IJle Ydxdydz +B+ I I [PXy cos (n, x) + (pyy + p) cos (n,y)+ PZy cos (n, z)] df;(4)t:t fi fewdxdydz +If[e w Wn +BI+ f f [Pxz cos (n, x)p cos (n, z)]df =IIJe Z dx dy dz +B+ PYZ cos (n,y)+ (pzz + p) cos (n, z)] dt·IDie ReibungskrMte werden in den Differentialgleichungen dmch Deformationsgeschwindigkeiten ausgedriickt, bleiben aber hier besser in dieser Form stehen.Die Aufstellung des allgemeinen Energiesatzes wurde im Abschnitt iiberinstationare Fadenstromung weitgehend vorbereitet.
Es soll sich wieder umeine Leistungsbilanz handeln, in welcher die Leistung der Massen- und FJiichenkrMte gleichgesetzt wird der zeitlichen Anderung an kinetischer Energie, aninnerer Energie und der Energiezufuhr, fiir welche lediglich Warmeleitung inBetracht gezogen werden solI.Wieder kann die Arbeitsleistung eine zeitliche Anderung von kinetischer undinnerer Energie im betrachteten Bereich! III e ( ~2 + e) dx dy dzBund einen Transport der beiden Energiesorten durch die Begrenzungsflachebewirken:If eWn (~2 + e) df·IMit A als Warmeleitvermogen ist der Warmestrom pro Flacheneinheit:A aTan'der gesamte Warmestrom somit:IIIA. aTan df=II [aTaxAtcos (n, x)aT cos (n,+ Byy)aT cos (n, z) ] df.+ TzfIV, 2. Differentialgleichungen der Bewegung.141Es ist dies eine Warmezufuhr, da der Warmestrom in Richtung des Temperaturgefalles verlauft, also in das Rauminnere gerichtet ist, wenn T in Normalrichtung zunimmt.Die Leistungen der Krafte ergeben sich, indem die Projektion der resultierendenKraft auf die Geschwindigkeitsrichtung mit der Geschwindigkeit multipliziertund dann integriert wird.
Es muB also die Summe der Produkte der Geschwindigkeitskomponenten mit den entsprechenden Kraftkomponenten gebildet werden(das innere Produkt der Vektorrechnung). Damit ergibt sich die Leistung derMassenkrafte zu:(u X + v y + w Z) e dx dy dzJJJBund die Leistung der Flachenkrafte zu:JJ{ u [p",,,, cos (n, x) + PY'" cos (n, y) + Pz", cos (n, z)] +j+ v [p",y cos(n, x) + Pyy cos(n, y) + pz y cos(n, z)] ++ w [p",z cos (n, x) + pyZcos (n, y)+ pzz cos (n, z)]} df.Der Energiesatz lautet mithin nach Abspalten des Druckgliedes mit Gl.
(1):;t I I I ( ~2 + e) e dx dy dz +11 (~2 + e + ~ ) e W dfnff8T8T= •. A[-,,cos (n, .x) + -,,- cos (n,uxuyy)t+II I(UXB=tB+ -8T8zcos (n, z)] df++ v Y + wZ)edxdydz +II{[u (p",,,, + p) + Vp",y +(5)t[u Py", + v (PYU + p)+ w Pxz] cos(n, x) ++ w Puz] cos (n, y) ++ [u Pzrc + V pz + w(pzz + p)] cos (n, z)} df.y1m zweiten Summanden tritt wieder die als· Enthalpiei=e +~(!bekannte Summe der ZustandsgroBen auf.Die Satze (2), (4) und (5) gelten ganz allgemein fiir jedes beliebige Medium,betreffs des sen Eigenschaften ja keinerlei Voraussetzungen gemacht wurden. Siegeben fiir einen bestimmten Bereich B fiinf Bindungen fiir fUnf unbekannteunabhangige Funktionen: die drei Geschwindigkeitskomponenten und zweithermische ZustandsgroBen.
Von beiden letzteren hangen aIle iibrigen thermischenZustandsgroBen abo2. Differentialgleichungen der Bewegung.Die Differentialgleichungen lassen sich leicht aus den Integralsatzen gewinnen,nachdem aIle FHi.chenintegrale in Raumintegrale umgewandelt sind.Allerdings werden in den meisten Abhandlungen die Differentialgleichungenerst aufgestellt und sodann die Integralsatze gewonnen.
Die ersteren stellenaber groBere Anforderungen an die verwendeten Funktionen, wie die der Existenzvon deren Differentialquotienten. Gerade das Auftreten unstetiger Spriingeder Zustande in VerdichtungsstoBen macht ein direktes Ableiten der Integralsatze erforderlich. Deren Unabhangigkeit vom gewahlten Koordinatensystem(die Invarianz gegen Drehungen und Galileitransformationen) ist auch vielIV. Allgemeine Gleichungen und Siitze.142augenfalliger als jene der Differentialgleichungen. SchlieBlich ist der hier gewahlteWeg der Ableitung weder langer noch weniger anschaulich als eine direkte Aufstellung von Differentialgleichungen. Selbstverstandlich mu13 bei der Herleitungder Differentialgleichungen aus den Integralsatzen eine entsprechende Differenzierbarkeit vorausgesetzt werden.Die Umwandlung der Flachenintegrale erfolgt mit Hilfe des Gau{3schenIntegralsatzes.
Es gilt fUr jede Funktion F:IIF Wn dtf=11[Fu cos (n, x)+ Fv cos (n, y) + Fw cos (n, z)] dtf==Iff[O(FU)+ 8(Fv) + 8(FW).l dxd dz..•8x8yOZY(6)BDer Satz ist einleuchtend. Die Ausfiihrung der Integration liber den erstenSummanden des Raumintegrals ergibt:III 8~U)dx dy dz=II[(FU)r - (Fu)l] dy dz.B(Fu}z und (Fu)r sind die Werte von Fu am linken und rechten Ende der Streckeparallel zur x-Achse, liber welche integriert wurde, also Werte auf der Fliiche f. Esist fernerdy dz = ± cos (n, x) dfam rechten und linken Ende, da die N ormale rechts im wesentlichen die Richtungder positiven, links die Richtung der negativen x-Achse hat. Daraus ergibt sich dann:IIIo (:Xu) dx dy dz =IIFu cos (n, x) df·(7)fBDie entsprechende Integration kann bei den anderen Summanden gemacht werden,was in der Summe Gl.
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