K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 41
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Es ist daher bei veranderlichemzweckmaBig, statt a eine neue Veranderliche f1aaf1=Jeoda=Jedxaleoal(125)136III. Instationare Fadenstromung.einzufuhren. Sie gibt die zwischen einem bestimmten Teilchen a l und dembetrachteten Teilchen eingeschlossene Masse an. Mit fl und t als unabhangigenVeranderlichen lauten dann die Gleich ungen :oWoft+0: +op1e2 c2 at~:==0;0;Kontinuitatsbedingung.Bewegungsgleichung.(126)s = s (fl);Energiegleichung.Die Richtung der Machschen Linien ist mit Gl.
(124) und (102) gegeben dul'ch:(~)~=-ee;(o:et=+ee.(127)Die Vertraglichkeitsbedingungen sind einfach von Gl. (106) zu ubernehmen:(~:);= -1c; (~:)n =-tfc-.(128)Damit steht die Chal'aktel'istik indel' (nicht vel'zerrten) W, p-Ebenesenkrecht auf ihrem Bild in der fl' tStromungsebene (Abb.
68). Ein weiterer Vorteil besteht darin, daB sich die' - - - - -- - - i " ' -- - -- - - 1'1 beiden Charakteristikenrichtungen nurAbb. 68. Orthogonali tiitsbeziehung der Cha rakteristikendurch das Vorzeichen unterscheiden.ill der p , t- u nd IV, p-Ebene oacil DORINr..Mit Gl. (91) kann die Richtungskonstante fur ein id. Gas konst . sp.
W. durch e und soder noch besser durch p unds allein ausgedruckt werden, womit e uberhaupt aus dem System eliminiert ware:" +1 8, - 8" + 18, - 8ee="..l!l(~)"-lCC1= "..l!l(-'E....)~e~CPleCp-Cv11(129)Hierin ist el , PI' 8 1 ein bestimmter, mogliehst zweekmaBig zu wahlender Ausgangszustand. Bei ausgedehnteren Reehnungen wird man e e als Funktion von pund 8 als Kurvensystem von vornherein berechnen.
Die Rechnungen fur einnieht ideales Gas unterseheiden sich von denen fur ein ideales Gas dann nur durchdieses Kurvensystem.Die Richtung der StoJ3front, in der x, t-Ebene gegeben dureh(~; )Ston =W±U,wobei W und U sieh auf den Zustand vor der Front beziehen, ergibt sieh ausGl. (124) nun zu:Oft) Stoll(at± e U,(130)wobei auch wieder e vor der StoBfront zu nehmen ist, eine GroBe, die wieder nurvon p und 8 abhangt.
Hier wie in Gl. (127) ergeben sich also die Neigungender Wellenfronten unabhangig von W.Bei diesem Verfahren ergeben sich fur f = konst. ganz offenbar Vorteile.Allerdings erforder't die Bestimmung der Ortskoordinate zum SehluB noeh eineIntegration. Es isttx (fl, t)= a + J W (fl, t) dt,oIII, 34.
Charakteristikenmethode bei Lagrangeseher Darstellungsweise.137denn a ist ja die Koordinate des Teilchens zur Zeit t = 0 [x (ft, 0) = a]. DieBeziehung von ft und a gibt Gl. (125). Bei der praktischen Rechnung wird mannaturlich zweckmaBig W und p dimensions los machen, t mit einer Schallgeschwindigkeit und ft mit einer Dichte auf die Dimension einer Lange bringen.Literatur.B.
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J. appl. Phys. XXI/9 (1950), S. 874-878.32 ROLAND PIRKL: Neue Grundlagen zur Berechnung von Miindungsbremsen.Dissertation (1941), Techn. Hochsch. Graz.IV. Allgemeine Gleichungen und Satze.1. Integralsatze der Bewegung.Eine Erweiterung der Integralsatze fUr die Erhaltung der Masse (Kontinuitat),des Impulses und der Energie auf beliebige zeitlich veranderliche (instationare)Vorgange bietet keine Schwierigkeit. Dabei soIl ausschlieBlich die EulerscheDarstellungsweise feststehender, von einem Mediumdurchflossener Raume verwendet werden.Es sei f die beliebig geformte Begrenzungsflacheeines raumlichen Bereiches B (Abb.
69). df sei einFlachenelement von fund n die nach auBen gerichteteFlachennormale. Ftir die Menge, welche durch einFHichenelement hindurchflieBt, ist nur die Normalkomponente W n der Geschwindigkeit W auf dasFlachenelement maBgebend, sonst wtirde sich ja dieDurchfluBmenge andem, wenn das FlachenelementAbb. 69. Raumlicher Bereich.von einem in tangentialer Richtung bewegten Beobachter aus betrachtet wtirde. Es seien (n, x), (n, y)und (n, z) die Winkel, welche die Richtung n mit der Richtung der drei kartesischenKoordinaten x, y, z einschlieBt, und u, v, w die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten. Dann ist Wn als Projektion der Geschwindigkeit W auf dieRichtung n:(1)Wn = U cos (n, x)v cos (n, y)w cos (n, z).Die DurchfluBmenge durch das Element dt ist in der Zeiteinheit:++e Wn df·Das Integral aller dieser Anteile tiber die Flache f muB, da es sich bei W n urneine nach auBen gerichtete Geschwindigkeitskomponente handelt, gleich derzeitlichen Abnahme der im Raumbereich B befindlichen Masse:Iff e dxdydzBmit der Zeit sein.
Weil der betrachtete Bereich zeitlich unveranderlich im Raumesteht, ist es gleichgtiltig, ob die zeitliche Ableitung vor oder unter dem Integralzeichen steht. Mithin lautet die Kontinuitiitsbedingung in integraler Form:! IfI eBdx dy dzIIe+tW n df =III ~;Bdx dy dz+11eW n df = O.(2)t1m Gegensatz zur eindimensionalen Bewegung gibt es im Raume dreiGleichungen fUr den Impulssatz, fUr jede Koordinatenrichtung namlich eine.Denn es gilt fUr jede der drei Komponenten der BewegungsgroBe der Masseneinheite u, ev, ew der Satz, daB deren zeitliche Anderung gleich sein muB den in ihrerIV, 1. Integralsatze der Bewegung.139Richtung wirkenden Kraften.
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