K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 36
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IhreAnderung ist ein MaB fur das Abweichen von der stationaren Zustandsanderung,woraus sich auch ihre Bedeutung erklart. Die GroBe ~2+iwird von SAUER14als zweite abhangige Veranderliche neben W benutzt. Sie stellt die Ableitung desGeschwindigkeitspotentials Tt dar, Gl. (49).III, 27. Ebene isentrope Wellen.117In Differentialform lauten die Vertraglichkeitsbedingungen fur eine linksliiufige (oberes V orzeichen) und rechtsliiufige Machsche Linie dann:=r= c dW+ di = -(W± c) dW + d (~2 + i) ==_C2(~oj +~~)dt+TdS.t oxt otFur ein ideales Gas ergibt sich hieraus sofort:-r:: dWT+;,: -21dc=(107)C_- c (~~ + ~~) dt + __(108)f oxf ot;,: - 1 d ( c8~),~f(x) auch leicht aus Gl.
(40) hiitte gewonnen werdeneine Gleichung, die fUr f =konnen.Das Entropieglied wurde auf dierechte Seite von Gl. (107) und (108) geschrieben, weil es bei der Anwendung aus Gl. (104) gesondert zu ermitteln undin den oberen Gleichungen einzusetzen sein wird.27. Ebene isentrope Wellen.Das Problem der ebenen isentropen Welle beliebiger Amplitude wurde zuerstvon RIEMANN* behandelt. Eine ausgedehnte analytische Darstellung erfuhrdas Problem durch BECHERT 3 , 16, 17 auch fUr Kugel- und Zylinderwellen. 1mfolgenden sollen Methoden angewendet werden, die fUr die Praxis in ihrer Einfachheit besonders geeignet erscheinen l8 .
Die Beschrankung auf id. Gase konst. sp. W.welche im folgenden meist erfolgt, kann gegebenenfalls leicht beseitigt werden.J(~f,l ~M ,o -,'0,2IJ- 0,1Abb.51. l sentrope ebene Welle end licher Amplltude (_ _ StoO , _ _ Mach·L!nle) .Rei ebenen isentropen Wellen (j = konst., 8 = konst.) verschwinden dieAusdrucke auf der rechten Gleichungsseite von (108). Eine Integration ist sofortmoglich mit dem Resultat:linkslaufige Welle(~ =konst.):rechtslaufige Welle ('Yj = konst.):2;,:-1-W+--~c=2(109)+ W+---c=;,:-1wobei Co die Schallgeschwindigkeit bei W = 0 ist.
Die auf der einzelnen Charakteristik konstante GroBe Co kann auf einer benachbarten Charakteristik einen* A. SOMMERFELD: Mechanik der deformierbaren Medien, S. 252f. Akad. Verlagsgesellschaft, 1945.III. Instationare Fadenstriimung.118anderen Wert besitzen.
Man iiberzeugt sich durch Differentiation, daB die Gl. (lOS)mit (109) erfiillt werden. [Es ist ja auf ~ = konst.: d co(~) = OJ.Auf jeder Machschen Linie ist also eine bestimmte Geschwindigkeit Wan einebestimmte Schallgeschwindigkeit c gekoppelt.Angenommen, eine Welle beliebiger Form wandere in x-Richtung in einruhendes (Abb. 51) oder mit konstanter Geschwindigkeit WI bewegtes Gas.
Indiesem herrscht Druckgleichgewicht und wegen Isentropie also konstante Schallgeschwindigkeit cl . Die einzelnen Storungen, aus denen die Welle aufgebautgedacht werden kann, pflanzen sich Hi-ngs rechtslaufiger Machscher Linien(rJ = konst.) fort, auf welchen die untere Gl. (109) erfiillt sein muB. Al1e linkslaufigen Machschen Linien enden schlie31ich im ruhenden oder gleichformigmit WI bewegten Gas vor der Welle, weshalb auf diesen die obere Gl. (109) mitstets gleichem, von ~ unabhangigem Wert von Co erfiil1t sein muB. Es ist also zunachst im stoBfreien Gebiet iiberal1 :auf 'f)W= konst.
:-f W+ --2x- 1c=2+ ---c=x-Iund daher:2W=Wl+-XWI-2+ --2-1Cux-----x-I21x-I2 c = - - 2 - - WICo (17)[co(rJ)-cd,(llO)+ co('f)) + cl ·W und c hangen damit nur von rJ ab, sie sind auf rechtslaufigen Mach-Wellenkonst.) konstant. NachGl. (102) ist dann aber auch die Neigung der rechtslaufigen Mach-Linien konstant, diese sind Geraden.Eine ebene isentrope Welle besteht darnach aus lauter Elementarwellen, au",Paarungen von W und c, welche gemeinsam weiterwandern.Die Deformation einer ebenen Welle ist damit schnell zu verfolgen, da dierechtslaufigen Mach-Linien Trager der Zustande sind.Mit Gl. (102) und (109) ergibt sich fUr die Neigung der rechtslaufigen Charakteristiken:('f)=(Ill)Je groBer c, je hoher also der Druck, desto flacher verlaufen die LinienrJ = konst·l(~; )'71 Neigung beim ZustandWI'cll1m Gebiet des Druckabfallesdivergieren die Geraden rJ = konst., im Gebiet des Druckanstieges laufen sie zusammen und miissen zu einem StoB fUhren (Abb.
51).Losung (S7) stellt jenen Spezialfall der hier behandelten allgemeinen Losungdar, bei welcher sich alle Machschen Linien in einem Punkte treffen.Natiirlich konnen dieselben Uberlegungen fUr eine in negativer x-Richtunglaufende Welle angestellt werden. Es hangt dann der Zustand nur von ~ aboIn den Argumenten der Funktion von Gl. (58) (linearisiertes ebenes Problem)erkennt man die Charakteristiken (101).
Die allgemeine Lasung besteht dartaus einer Summe einer Funktion von rJ und einer Funktion vonBeim hierbehandelten allgemeinen Problem gibt es eine Lasung, die Funktion von 'f) alleinist, und eine zweite, die Funktion von ~ allein ist. Eine Superposition ist aberin gleicher Einfachheit nicht mehr moglich.Die in Abb. 51 wiedergegebene Welle hat Schallgeschwindigkeitsschwankungen von ± O,OS der Schal1geschwindigkeit c1 vor der Welle. Die Geschwindig-rIll, 28. Berechnung beliebiger ebener, isentroper Vorgange.119keitsschwankungen sind nach Gl. (108) funfmal so groB, betragen also bis zu40% von ci . Die mit der Isentropeng1eichung aus der Schallgeschwindigkeitsschwankung zu berechnende Druckschwankung ergibt Werte zwischen0,72 Plund - 0,44 Pl. Es handelt sich also urn eine sehr kraftige Welle, die nach kurzesterZeit zu StoBen fuhrt, deren Verlauf an die Abb.
46 erinnert. In dieser andertsich die Geschwindigkeit innerhalb der isentropen Naherung nach der letzten+Gl. (81) genau so wie auf der Charakteristik mit dem"~l -fachen Betragder Schallgeschwindigkeitsanderung. Dies ergibt sich auch sofort aus dem StoBpolarendiagramm. Die Charakteristiken Gl. (l09) in Abb. 34 oder Abb. 35eingezeichnet, sind die durch Gl. (87) und (90) schon bekannten Geraden, welchemit den StoBpolaren im Ausgangspunkt gemeinsame Tangente und Krummungbesitzen. Das erste gemeinsame Stuck von Polare und Charakteristik im Zustandsdiagramm entspricht der isentropen Naherung. Innerhalb dieser geltendie Vertraglichkeitsbedingungen (109) also auch uber die StoBe hinweg, nur mitdem Unterschied, daB im StoB eine endliche Anderung von W und c sprunghaftvor sich geht, die sich langs der Machschen Linie in stetiger Stromung auf einerendlichen Wegstrecke vollzieht.
Die zu den Gl. (llO) fuhrende SchluBweise giltalso in der ganzen isentropen Stromungsebene. Die Linien 1] = konst. sindauch zwischen den StoBen Gerade.Die Richtung der StoBe ist mit Gl. (85) als Mittel der gleichlaufenden Charakteristikenrichtungen vor und hinter dem StoB schnell und ohne weitere Hilfsmittel zu konstruieren.Wahrend die Druckanstiege mit der Zeit steiler werden, verflachen die Druckabfalle. Es ergibt sich bei kraftigen Wellen nach kurzer Zeit eine sagezahnahnliche WeIlenform. Die StoBe werden mit zunehmender Starke zunachstschneller, dann mit abnehmender Intensitat immer langsamer.
Ihre gegenseitigeEntfernung wachst, wie Abschnitt 24 lehrte, mit der Wurzel aus der Laufzeituber aIle Grenzen.28. Berechnung beliebiger ebener, isentroper Vorgange.Ausbreitungsvorgange, wie sie fur das ebene Problem etwa durch Vorgangein Rohren gegeben sind, spielen sich im allgemeinen nicht in einer Richtung aboSie bestehen im wesentlichen aus zwei entgegengesetzt gerichteten Wellensystemen. Dbersteigen die dabei auftretenden StoBe nicht das Druckverhaltnisvon 1 : 2, so kann mit sehr guter Naherung isentrop gerechnet werden. Handeltes sich urn reine Ausdehnungsvorgange, so kommt es zu keinen SWBen. DieStromung bleibt dann bei belie big starken Druckunterschieden isentrop,wenn sie es im Ausgangszustand bereits war.Die erste Arbeit auf dies em Gebiet stammt von K.
KOBES 19 und wurde imHinblick auf" die Anwendung an Druckluftbremsen gemacht. Die neuen Methoden stammen von F. SCHULTZ-GRUNOW 2o, R. SAUER I 4, G. GUDERLEy 22 undW. DORING 6 • Es handelt sich dabei stets darum, die Machschen Linien als Koordinatenlinien zu verwenden, weshalb diese Methoden als "Charakteristikenverfahren" bezeichnet werden. Das erste derartige Verfahren stammt von L. PRANDTLund A. BUSEMANN und wurde fur stationare ebene Uberschallstromungen (Abschnitt VIII, 22) entwickeIt. AIle Methoden beziehen sich ganz aIlgemein auchauf anisentrope Vorgange bei veranderlichem Querschnitt oder konnen darauferweitert werden (Abschnitt 31). Die Methode in allgemeinster Form wird vonK.
OSWATITSCH l3 behandelt. Es handelt sich dabei insofern urn Niiherungsverfahren, als ein schrittweises Berechnen - allenfalls verbunden mit zeichnerischen Methoden - notwendigerweise stets zu Ungenauigkeiten fuhren muB.III. Instationare Fadenstromung.120Jedoeh ergeben die Verfahren bei Verkleinerung der Sehritte sehlieBlieh die exakteLosung und konnen von diesem Gesichtspunkt aus als exakt bezeichnet werden.In den einfachsten Fallen fuhren die Methoden sehr rasch und mit vollig ausreichender Genauigkeit zum Ziel.Die hier geschilderte Methode sowie die Ableitung von Abschnitt 26 lehntsich am meisten an jene von W. DORING an.
Die ZweckmaBigkeit der Methodehangt immer etwas vom Beispiel, vor aHem aber von dem zur Verfiigung stehendenKurven- und Tabellenmaterial abo Sie wird in der Regelvom Ausfuhrenden je nach Ausbildung und Geschmackabgeandert.Angenommen, der Stromungszustand auf einer Kurvein der Stromungsebene, etwa auf der x-Achse oder auf dert-Achse, sei gegeben. Zwei Punkte P r und P z seien herausgegriffen(Abb. 52), mit denen ein Punkt P die rechts.rAhh. 52. Schritt derlaufige bzw. linkslaufige Charakteristik gemeinsam hat. DerCharakterlstlkenmethode.Ort des Punktes P ist also zunaehst nicht bekannt, sondernnur indirekt durch die Gemeinsamkeit der Machschen Linienmit P r und P z festgelegt.
Ort und Zustand im Punkte P sind zu suchen.Der Zustand W, c im Punkte P kann sofort exakt dureh die Zustande W" crund Wz, Cz in den Punkten P r und P z ausgedruekt werden:Fur ein ideales Gas ist nach Gl. (109)W-22+--1c= W r +-c'uu- l r2TFW +--1c=- rrlu-2+--1cI ;u-daraus folgt so fort exakt fur W und c im Punkte P:._2 W -(WrC,t\:[JJ _2c~L -_ _ __ _---=,-..rAbb. 53. SchriUwelse Berechnung.=2+ WI) + --;---=1(cr-c l l,u-l- 2 - (Wr -WI)+ c, +(1l2)CI'Den Ort des Punktes P bestimmt man aus der Richtungder Machschen Linien Gl. (102) in den Punkten P r und PI:Fr:(~~)=ot '7Wr+ Cr ;Diese Ortsbestimmung stellt eine Naherung dar, welcheurn so genauer ist, je naher die Punkte aneinander liegen.
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