K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 31
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Damit verschwindet auch das x im O'-Glied, daeine Ableitung nach x oder eine Division durch x einer Funktion x a stets zurPotenz x a - 1 fuhrt. Es sei mit ci als beliebiger Bezugsgesch windigkeitxrJ= (±clt)n;Dann lauten mit F I '=ddFl und F 2' =C_ t ==fnCl2~~C--c;=xaFI(rJ);= a xa- 1 F 1(rJ),1]W~=xaF2(rJ).ddF2 die Ableitungen1]xa + 1F'=-Tnx(±clt)n+11Ta+ (± x~t)na-2- 1+2nnnF'F 1'(rJ) = xa-./1[a F1(rJ)l'+ rJ F 1(rJ)].'Mit a= 1-~ stehen im Gleichungssystem (70) dann nur mehr Funktionennvon rJ, Ableitungen nach rJ und rJ selbst. Der Ansatz muB also lauten:w-Cl =(88)X1-2nF 2(rJ).Dieser Ansatz stammt von BECHERT3 .Entsprechende Ansatze konnen bei ebener Stromung auch fur die Gleichungenin Lagrangeschen Koordinaten gemacht werden.
Mit W und c als abhangigenVeranderlichen treten nur erste Ableitungen nach a und t in jedem Glied einmalauf. Untersuchungen daruber sind noch nicht bekannt geworden.16. Ausgleich eines Drucksprunges im Rohr.1st ein unendlich langes Rohr (konstanten Querschnittes) durch eine Wandin zwei Teile geteilt mit hohen Drucken auf der linken und niederen Drucken,allenfalls Vakuum, auf der rechten Seite, so fuhrt das Wegnehmen der Wandzu einer druckausgleichenden Stromung, die im folgenden berechnet werden soIl.Die Losung gilt auch fur V organge in einem endlichen Rohr bis zu jenem Zeitpunkte, in dem die erste Storungswelle nach einer Reflexion an den Rohrendenin dem betrachteten Punkt anlangt.
Der Druck ist wieder durch die SchaUgeschwindigkeit reprasentiert. Das Verhaltnis plpo kann mit Hilfe der Isentropengleichung (Tab. II, 5) aus clco berechnet oder der Strichleiter (Tafel III) uberTITo = (C[C O)2 direkt entnommen werden.Gl. (87) mit den unteren Vorzeichen gibt an der Stelle x/co t = - 1 die WerteW = 0 und c = co' Mit wachsendem x nimmt W zu und faUt c, bis bei x/co t =99III, 16. Ausgleich eines Drucksprunges im Rohr.2x-IWerte ~cotdie WerteC= 0 und W = __2-1- Co erreicht werden (Abb.
36).x-> __2-1- sind sinnlos, da mit c = 0 auch der Wert p = 0, also Vakuum,x-erreicht ist. Der Wert W = 0 wandert mit x = - cot in das Medium hinein. Es handelt sich also urn eine in ruhendes Medium der Schallgeschwindigkeit c = Co hinein--,5{j.L00Co..z:...Cut,IpOIr' 1I,- -- -- - ----,501.058'1fo.r~t,'0:..~~"-~~i>-,0I8'~.\i""'->l-- ----- ------ ------ I - -.19.f5 .rc;t;Abb.
36. Die Iinkslaufigen Mach·Linien belm Au glrich eines Drucksprunges 00 : 1. Zustanrl verteilung ZurZeit I = I, beim Ausgleich eines Druck~prllllges 00 : 1, 200: 1 und 50: 1 im R ohr (" = 1,40).wandernde Storung: die in die Hochdruckseite des Rohres wandernde Storungsfront. Die Grenze ~cot= __2-1x-hat nur eine Bedeutung, wenn auf der Nieder-druckseite von vornherein Vakuum herrschte, weil nur dann im Medium an derFront der Ausdehnung c = 0, also verschwindende Temperatur herrschen kann.Die erste StOrung in das Vakuum lauft also bei verschwindender Schallgeschwindigkeit mit einer StromungsgeschwindigkeitW=2x-Ico'(89)7*III.
Instationare Fadenstromung.100Damit ubertrifft sie die in 8tationiirer Stromung maximal erreichbare Stromungsgeschwindigkeit Gl. (II, 30) ganz bedeutend. Beide Extremzustiindehaben im wesentliehen theoretisehe Bedeutung, weil sieh die Gaseigensehaftenam absoluten Nullpunkt iindern. Del' behandelte Stromungszustand hat WI'Zeit t = 0 versehwindende Ausdehnung und stellt zu diesem Zeitpunkt denZustand im Rohr nach Entfernen del' Wand dar.Herrseht auf del' Niederdruekseite des Rohres nieht absolutes Vakuum, ~omuB das dort befindliche Medium yom anstromenden Medium del' HochdruckHeite zusammengedruckt werden, wobei sich wegen der hohen Stromungsgeschwindigkeiten diese Kompressionswelle in Stromungsrichtung mit Uberschallgeschwindigkeit fortpflanzen muB, also nur ein VerdichtungsstoB sein kann.
Hinter diesemgrenzen die beiden Medien irgendwo zusammen und mussen an diesel' "Un8tetigkeit8linie" gleiche Ge8chwindigkeit und gleichen Druck haben. Es sei voram;gesetzt, daB es sich auf del' Hoeh- und Niederdruckseite um das gleiche Gashandelt. Damit ist abel' nicht verbunden,' daB die Medien an del' Grenzlinie auchdieselbe Temperatur und Schallgeschwindigkeit haben werden, denn iiber c imAusgangsstadium ist noch keine Voraussetzung getroffen.
1st mit Po' co' 8 0 undPll cll 8 1 als Ausgangswerten auf del' Hoch- und Niederdruckseite Co = c1 , flOherrschen an beiden Seiten del' Unstetigkeitslinie sichel' versehiedene Temperaturen, weil sich das eine Gas ausgedehnt und dabei das zweite verdichtet hat.Dieser Umstand rechtfertigt die Bezeichnung fUr die "Unstetigkeitslinie·'. Hatdie Hochdruckseite jene Tempera,turen, welche sie durch isentrope Verdichtungdel' Niederdruckseite annehmen wiirde, ist also 8 0 = "'1' so hat das Gas del' Niederdruckseite noch immer an del' Unstetigkeitslinie eine hohere Temperatur, wei I esnach Verdichtung durch den StoB eine hohere Entropie besitzt als sein Nachbaran del' Unstetigkeitslinie. Temperatur- odeI' Schallgeschwindigkeitsgleichheitan diesel' Stelle entspricht also keineswegs den Verhaltnissen in del' PraxiH,geschweige denn dem allgemeinen Fall.Die Ausdehnung des anfangs komprimierten Gases ist durch Gl.
(87) gegeben. Es ist eine line are Beziehung von W und c und wiirde in einem Diagrammmit W und c als Koordinaten als Gerade erscheinen. In das Diagramm Abb. 34eingetragen, wiirden einem Schnittpunkt diesel' Geraden mit del' StoBpolarenunterschiedliche Drucke auf den beiden Kurven zugeordnet sein. Da es neben del'Gleichheit del' Geschwindi.gkei.t auf die Gleichheit des Druckes an del' Unstetigkeitslinie ankommt, sei die StoBpolare in ein Diagramm eingetragen, de:.;senAbszisse wieder LI W Ic, dessen Ordinate nun abel' eine Funktion des Druckes IJist, die so gewiihlt sei, daB die durch Gl.
(87) gegebene lineare Beziehung zwischenc und W (Abb. 35) auch in dem neuen Zustandsdiagramm als Gerade erscheint.Die Ausdehnung ist isentrop, also ist mit Tab. II, 5:)( --=-1CCo CoAuf den Ruhezustand PI>)(C1--=-,,=(:J---z,;--,,-~-C = ± -: .VOl' dem StoB bezogen, gibt daH:,,-1_2_11,,-1,,-1(~)~ (~)~ ~ _ _2_ ~PIPo1 0I0l"-= ±~.(90)cix-- 1W ---I-.E2()---Del' Zusammenhang von Wundp naeh Gt. (90) ist inder-,2"WEbene eine Gerade, deren Neigung zur -°~-Achse:x-~1, ° (po)::t:: Co -P11x-I2"-__81 -80;.:rc- ---2Cp(!ll )101III, 16.
Ausgieich eines Drucksprunges im Rohr.nach Gl. (I, 37) lediglich yom Entropieunterschied der Zustande Po, co' 8 0 undPI' Cl ' 8 1 abhangt. Der Schnittpunkt der Geraden mit der p-Achse hangt nuryom Verhaltnis colc l ab und ist mit Gl. (91) uber den Entropieunterschied auchaus dem Druckverhaltnis angebbar.Das lehrreichste Beispiel durfte jenes mit gleicher Ausgangsentropie sein(80 = 8 1 ), weil in ihm die Entropievermehrung im StoB am klarsten hervortritt.Die Geraden (90) verlaufen dann unter 45° fallend [fur positive Wist das negativeVorzeichen in Gl.
(90) zu wahlen], und ihr Schnittpunkt mit der p-Achse gibtdort das Druckverhaltnis von Hoch- und Niederdruckseite im Ausgangsstadium.Da das Gas vor dem StoB ruht, ist die Relativgeschwindigkeit LI W gleich derAbsolutgeschwindigkeit W, so daB die Gerade direkt in Abb. 35 eingetragenwerden kann (es ist dort das Beispiel PO/PI = 50, 8 0 = 8 1 gewahlt; beachte dieMaBstabsverzerrung).
1m Schnittpullkt mit der StoBpolaren hat die Gerade nun,wie erforderlich, gleiche Werte von W und P mit der StoBpolaren, d. h. dasexpandierte Gas und das durch dieses im StoB komprimierte Gas haben an derBeruhrungsstelle gleichen Druck und gleiche Geschwindigkeiten. Sie unterscheiden sich aber in der Temperatur (Schallgeschwindigkeit), die beim expandierten Gas der Isentrope, beim komprimierten Gas zusammen mit derLaufgeschwindigkeit des StoBes den StoBbeziehungen (Tab. II, 1) zu entnehmen ist.Gl. (87) fur die Geschwindigkeitsverteilung im expandierten Gas ist also biszu den durch den Schnittpunkt mit der StoBpolaren gegebenen Wert en zu verwenden. Von da ab bis zur Beruhrungsflache des expandierten Gases mit demkomprimierten Gas bleibt der Zustand (Geschwindigkeit, Druck usw.) konstant.An der Beruhrungsflache springen aUe GroBen bis auf Druck und Geschwindigkeit.
Die Mediumgrenze ist eine Bahnlinie, ihre Lage ist einfach durch die Geschwindigkeit gegeben. Die Wanderungsgeschwindigkeit der Grenze und dienoch hahere des StoBes sind konstant, ihre Abstande yom Ursprung wie beiGl. (87) proportional der Zeit. Bei hohen Ausgangsdruckverhaltnissen ist nachAbb. 36 auch der StoB kraftig.
Er lauft dann nach Gl. (79) mit der Geschwin·digkeit)e~1LI W, in der Grenze hachster Druckverhaltnisse nach Gl. (89) alsomit der GeschwindigkeitUEbenfaUs nach Gl. (79) steigt die Schallgeschwindigkeit beim Ausgangsdruckverhaltnis 00: 1 auf den Wert:c:=VX2xl'd. h. die Temperatur liegt bei " = 1,40 im durch den StoB komprimierten Gasbeim siebenfachen Ausgangswert im Hochdruckgebiet! Dies ist ein Betrag, derin vielen Fallen uber die Grenzen hinausfiihren wird, innerhalb denen mit id. Gasenkonst. sp. W. gerechnet werden darf, eine Annahme, welche den Abb.
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