K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 27
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(41) definierte Funktion als "Stromfunktion"bezeichnet. Urn fVr diese eine Gleichung zu erhalten, sei die Bewegungsgleichungzunachst in der Form geschrieben:oW + W oW + }_ (~.) ~ + ..!. (~) ~ =otoxe oe 8 oxe 08 e ox= oW +W oW +~~+..!.(oP) ~=O.otoxe oxe 08 e oxDiese Gleichung ist mit1(!(44)zu multiplizieren:~f (! oWot +1 (! W oWox +IC2~=ox _/(oP)08 e oxund zu der mit W multiplizierten Kontinuitatsbedingung:W oteot+ 2 W ot e W _ox1 W oW _ W2 ot e(!oxox= 0zu addieren, urn zu folgender Gleichung zu gelangen:NeW +2W ofe]!_ + (C2_W2) ole = C2f(!..!.~-f(oP)~.otoxoxI ox08 e ox(45)Die Entropie 8 ist auf Teilchenbahnen (P = konst.) konstant, d.
h. sie ist nmabhangig von P, weshalb wie folgt geschrieben werden kann:08ax=08o ']IPx =-1(!d8dIP'(46)wobei s = s (P) eine durch die Ausgangswerte gegebene Funktion sein muB.Mit Gl. (41) und (46) lautet Gl. (45) schlieBlich:P tt+ 2 W P xt + (W2 -c2) P xxL+ 1 (!~ :~ P x ,-Px ~2 :~=(47)Wie die Entropieverteilung iiber die Lebenslinien, muB natiirlich auch derQuerschnittsverlauf [f = f (x, t)] bekannt sein. Mit Gl. (43) ist die Geschwindigkeit W und mit Gl. (41) die Dichte e und also mit vorgegebenem s = s (P) auchjede andere ZustandsgroBe wie c und(~~teine wenn auch recht komplizierteFunktion von P.
Gl. (47) stellt also eine die Vorgange vollig beschreibende,allerdings sehr verwickelte Gleichung dar, die jedoch in einfachen Fallen vonNutzen sein kann.Es ist auch moglich, die Bewegungsgleichung durch eine entsprechende Funktion - Potentialfunktion genannt - zu erfiillen, wobei nun allerdings eine Beschrii.nkung auf isentrope Vorgange erforderlich ist. Man iiberzeugt sich, daBGl. (44) durch eine Funktion f{J mIt den Ableitungen:P.W2j'dPW2f{Jx=W, -f{Jt=T+ -e=T+p,JeQc2(48)deQlbefriedigt wird, wobei das Integral stets eine feste untere Grenze PI oder (!1 besitzt. Es ist in einem Zustandsdiagramm auf einer "Isentrope" zu integrieren undbedeutet eine Enthalpiedifferenz.
Fiir id. Gase konst. sp. W. ist insbesondere(il und C1 beliebige feste Werte)- f{JtW2= -2-Oswatitsch, Gasdynamik.+ ~. -.W2~1 = -2-+ ~ _1 1( 2C -c12) •(49)6III. Instationare Fadenstromung.82Die Gesehwindigkeit stellt sieh also als Gradient des Potentials dar, wie eineKraft als Gradient eines Kriiftepotentials, woraus aueh die Bezeiehnung entspringt.
Die Ableitung des Gesehwindigkeitspotentials ({i mwh der Zeit gibt geradejene Verbindung von Gesehwindigkeit und thermiseher ZustandsgroBe, wie sieim Energiesatz bei stationarer Stromung Gl. (II, 7) auftritt. ({it bleibt also fUrstationare Stromung konstant und ist daher zur Besehreibung der instationarenEffekte besonders geeignet.Mit Gl. (48) istw ax -8W({ix!8W= at = ({itt = ---,-8WW -8';--ec28eaxeatc 2 81]=wcpu - --ec 2 81]8::r;'= -W !Pxt--e 7£'c 2 81]womit in der Kontinuitatsbedingung Gl.
(11) nun leicht aIle Ableitungen ausgedriiekt werden konnen. E3 ist:({itt+ 2 W ({ixt + (W2 -c2 ) ({ixx=c2 dtffli-=8tc2T8t-+!Pxc2 8tfax·(50)Auffallend ist die Ahnliehkeit von G1. (50) mit G1. (47). Jedoch lassen siehin der - allerdings nur fUr i8entrope Vorgange geltenden - GJ. (50) die GroBen Wund c besonders beim id. Gas konst. sp. W.
mittels G1. (49) und (48) verhaltnismaBig einfaeh ausdriieken.11. Kleine Storungen im ruhenden Medium.Breiten sieh sehwaehere Storungen in einem ruhenden Medium aus, sindalso die Druekstorungen klein gegen den Druck, die Diehte- und Sehallgesehwindigkeitssehwankungen klein gegen die Diehte und die Schallgesehwindigkeit desruhenden Mediums, so lassen sieh bedeutende Vereinfaehungen in den Gleiehungendurehfiihren. Es treten dann aueh nur Stromungsgesehwindigkeiten W in denWellen auf, welehe klein gegen die Sehallgesehwindigkeit c sind. In besondersstarkem MaBe treffen die Voraussetzungen kleiner Storungen in der Aku8tik zu.Sehallwellen groBer Lautstarke verursaehen im ruhenden Medium Gesehwindigkeiten W von nur wenigen Zentimetern pro Sekunde.
Die Ableitung der Potentialfunktion naeh t gemaB Gl. (49) kann mit c1 = Co als Sehallgesehwindigkeit desruhenden Mediums wie folgt gesehrieben werden:-=({it =x1- 1 (c_ 2 _ c (c-cx-I00+ co) (c -co)W2+ 2-- =1+ __1__ (c _ cx-I0)2+ _W2.2In diesem Absehnitt solI I8entropie und id. Gas konst. sp. W. vorausgesetztwerden. Dann lassen sieh die Sehallgesehwindigkeitssehwankungen mittels derGleiehung fiir c und fiir die Isentrope Gl.
(I, 25) aueh dureh Druek-, Dichteund Temperaturschwankungen ausdriieken. Es ist dann bei Besehrankung aufdie Glieder erster Ordnung der Storungen:({ire =C0 2x-IW;-({it =T-ToTo-=2x-ICo (c-col21]-1]0Co--e;;- =Co2----;-=P-PoPo(51)Zur Berechnung kleiner Sehwankungen wird e3 in der Differentialgleiehungnur auf jene Glieder ankommen, welehe nicht selbst noch kleine KoeffizientenIII, 11. Kleine Storungen im ruhenden Medium.83haben. In Gl. (50) werden also aIle Summanden mit W als Faktor fortgelassenwerden konnen, wahrend c2 als Faktor durch C02 ersetzt werden kann.
Damitergibt sich eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Sielautet mit Gl. (34) fur den ebenen (0' = 0), zylindrischen (0' = 1) und kugelsymmetrischen (0' = 2) Fall:(52)Eine entsprechende Linearisierung in der Gleichung fur die Stromfunktion soIlnach EinfUhren einer "Storungsstromfunktion" "P, definiert durch:(53)"Pt = t e W; "P", = - t (e - eo),durchgefUhrt werden (eo Dichte des ruhenden Mediums, nur abhangig von x).Wie lJ' Gl. (41), erfullt auch "P Gl. (53) die Kontinuitatsbedingung.
Entsprechendzu Gl. (42) gibt auch "P mittels Gl. (53):tt,"P (x, t 2 ) -"P (x, t 1 )= Jt e W dt(54)t,die Masse, welche den Ort x im Zeitintervall tl bis t2 passiert hat. Jedoch ist= konst. nicht Lebenslinie, weshalb die Entropie s im allgemeinen nicht von "Pallein abhangt und "P nur zur Verwendung fUr isentrope Stromungen geeignet ist.Die AbJeitungen von "P in Gl. (53) enthalten als Faktor W und e - eo, alsoGlieder erster Ordnung der Storungen.
Die Glieder erster Ordnung ergeben sichdaher, indem aIle ubrigen Faktoren ihren Werten im ungestorten Medium gleich.gesetzt werden. Mit der Isentropengleichung und der Gleichung fUr c ist alsoentsprechend zu Gl. (51):"P"Pt=f eo W;-111'/'x=f teO0eeo eo=teo=Px2x-Ip:f(55)oeoC - Co--C~·toBis auf einen dem Querschnitt proportionalen Faktor entspricht das "P", demund das "Pt dem f(!",.Mit den Gl.
(53) und (41) uberzeugt man sich leicht, daB1ft1 dt1 dt"Pit = lJ'1t; "P",,,,-"P"'j dx = lJ'xx-lJ''''jTxgilt, so daB Gl. (47) nach Linearisierung entsprechend zu Gl. (52) wie folgt ge·schrieben werden kann:(56)eine Gleichung, die sich lediglich im Vorzeichen des letzten Gliedes von der entsprechenden Gl. (52) fUr das Potential unterscheidet.Gl.
(52) und (56) geht bei ebener Stromung (0' = 0, t = konst.) in die bekannteWellengleichung uber:f(!tt - C02 f(!x", = 0; "Ptt - C02 "Px", = 0mit der allgemeinen, fur f(! und "P in gleicher Weise giiltigen Losung:+ cot),F3 (x-cot) + F4 (x + Co t),f(! =F1 (x-cot) +F2 (x"P=(57)(58)84III. Instationare Fadenstr6mung.wobei Fv F2 beliebigen Funktionsverlauf haben kannen. Wegen der Beziehungenzwischen den Ableitungen von cp und 1p bestehen Beziehungen zwischen F l , F2undF s,F4 • Mit Gl. (51) und (55) ist:2-~~~1-..C-Co~Co-W=Co-ICo=1~=_ jl_CoF' ( x -IF'C )lOco2eoF 1 ,( X-Fa'Cot)t - -(X-cot)-··f~F4'eo+ -;Co= - - f l F 3 ' (x-cot)eo+(xIF 2 ,( XC0(xt)+ cot),(59)+ Co t)+ -f-~F4'(x + cot).eoDarnach stellt sich die Geschwindigkeit W und der thermische Zustand (c-c o,oder p-Po) genau so wie die Funktion 1p und cp als Summe zweier Funktionen dar, deren eine das Argument x - Co t und deren andere das Argumentxcot hat.
In Gl. (59) bedeuten dabei die oben angefUgten Striche (F;') dieAbleitung der entsprechenden Funktion nach ihrem Argument. Die Lasungstypen muss en fUr cp und 1p dieselben sein wie fur deren Ableitungen, weil diesewie jene die Wellengleichung in gleicher Weise erfullen, wovon man sich durchDifferentiation von Gl. (57) leicht uberzeugen kann.Die Gerade x - Co t = konst.
ist die Weg-Zeit-Linie einer in positiver Richtunglaufenden Schallwelle, es ist also eine "Mach-Linie", die auch durch Integrationvon Gl. (28) unter den vereinfachenden Annahmen W = 0, C = Co gewonnenwerden kann. Auf jeder Mach-Linie x-cot = konst. hat Fl' (x-cot), unterder Voraussetzung F2 = 0, also nach Gl.
(59) Geschwindigkeit und thermischerZustand, einen bestimmten gleichbleibenden Wert (Abb. 30). Damit kanndie Lasung cp = Fl (x - Co t) oder 1p = F3 (x - Co t) als eine sich in x-Richtungbei gleichbleibender Gestalt fortpflanzende Schallwelle gedeutet werden. . Vorund hinter der Welle bleibt das Medium im ubrigen unbeeinfluBt. Fur die Funktionen F2 und F4 in Gl. (58) und deren Ableitungen nach dem Argument in GI. (59)gilt ganz Entsprechendes, nur ist die Fortpflanzungsrichtung der x-Richtungentgegengesetzt. Damit kann die allgemeinste Lasung als die Summe zweierWellen beliebiger Gestalt gedeutet werden, deren eine sich in positiver und derenandere sich in negativer x-Richtung fortbewegt.1st also die Geschwindigkeit und Druckverteilung in einem Zeitpunkt (t = 0)abhangig von x, oder ist die Quellwirkung (Stromdichte) an einem bestimmtenOrt x abhangig von der Zeit gegeben, so kann innerhalb der getroffenen Naherungen die Geschwindigkeits- und Druckverteilung in der ganzen x, t-Ebene errechnet werden.Die allgemeinste Lasung einer kugelsymmetrischen Stramung (0" = 2) ist nurwenig komplizierter.
Man uberzeugt sich, daB folgende Ansatze die Gl. (52)und (56) erfiillen:(!-(!o+1p =F3 (x -Cot) -XFa' (x -Cot)+ F4 (x + Co t) -XF 4' (x+(60)Cot).Dabei ist wieder F;' die Ableitung von Fi nach seinem Argument. x ist der Abstand vom Kugelzentrum und kann daher nur positive Werte annehmen. Wiederkann hier von einer in positiver und negativer x-Richtung laufenden Welle gesprochen werden, wobei sich letztere von ihrem Gegenstuck bei ebener Stramungdadurch unterscheidet, daB sie nicht nach beliebig negativen Wert en laufenkann, sondern entweder im Zentrum (x = 0) verschluckt oder reflektiert werdenIII, 11.
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