K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 23
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85-122.6 W. J. M. RANKINE: On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinaldisturbance. Philos. trans. Roy. Soc. Lond. CLX (1870), S. 277-288.7 H. HUGONIOT: Memoire sur Ia propag~tion du mouvement dans les corps etspecialement dans les gases parfaits. J.
de l' Ecole polyt., Cahier 57 (1887), S. 1-97;Cahier 58 (1889), S. 1-125.8 G. MARX: Die Berechnung der Auspuffquerschnitte. Die Technik IIj2 (1948),S.67-74.9 K. OswATITSCH:Kondensationserscheinungen in Uberschalldllsen. ZAMMXXIIll (1942), S. 1-14.10 K. OSWATITSCH: Kondensationsst613e in Laval-Diisen. Z. VDI LXXXVI (1942),S.702.11 M. KOPPE: Der Reibungseinflu13 auf stationare Rohrstromnngen bei hohenGeschwindigkeiten. Ber.
KWI fUr Stromungsforschung (1944)...12 W. FROSSEL: Stromungen in glatten geraden Rohren mit Uber- nnd Unterschallgeschwindigkeit. Forsch.-Ing.-Wes. VII (1936), S. 75-84. ..13 H. EGGINK: Stromungsaufbau und Druckriickgewinn in Uberschallkanalen.FB 1756 (1943).14 A. NAUMANN: Wirkungsgrad in Diffusoren bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten. FB 1705 (1942).15 R. BECKER: Die Zusammenhange zwischen den Eigenschaften der Knallwelleund der Detonationswelle. Dtsch. Akad.
Lufo, Tagung 25. Okt. 1940.16 R. HERMANN: Der KondensationsstoB in Uberschall-\Vindkanaldilsen.LufoXIX (1942), S. 201-209.III, 1. Vorbemerkung.6717 B. LEWISand J. B. FRIAUF: Explosives in detonating gas mixtures. 1. Cal·culation of rates of explosions in mixtures of hydrogen and oxygen and the influenceof rare gases.
J. Amer. chern. Soc. LII (1930), S. 3905~3929.18 H. SHAPIRO and W. HAWTHORNE: The mechanics and thermodynamics ofsteady one-dimensional gas flow. J. appl. Meehan. XIV (1947), S. 317~336.19 R. BECKER und W. DORING: Kinetische Behandlung der Keimbildung in tibersattigten Dampfen. Ann. Physik (5) XXIV (1935), S. 719~752.20 J. 1. YELLOTT: Supersaturated steam. Engineering CXXXVII (1934), S.303bis 305; 333~335.21 A.
M. BINNIE and M. W. WOODS: The pressure distribution in a convergentdivergent steam nozzle. Proc. Instn. mechan. Engr. CXXXVIII (1938), S. 229~266.22 o. W ALCIINER: Systematische Geschol3messungen im Windkanal. Lilienthalges.Ber. 139 (1942), S.29.23 J. V. BECKER: Results of recent hypersonic and unsteady flow research at thcLangley Aeronautical Laboratory. J.
app!. Phy.". XXI/7 (1950), S. 619-628.III. Instationare Fadenstromung.1. Vorbemerkung.Instationare Stromungen mit einheitlichen Zustanden in den einzelnenQuerschnitten (instationare Fadenstromungen) stellen bereits sehr allgemeineStromungsformen dar, um so mehr sind Einschrankungen des Gebietes bei demzur Verftigung stehenden begrenzten Raume erforderlich. Es sollen hier die ftirdie Gasdynamik typischen instationaren Vorgange mit starken Dichte-, Druck-,Temperatur- und daher auch Schallgeschwindigkeitsunterschieden behandeltwerden, wobei Vorgange der inneren Reibung und der Warmezufuhr, insbesondereder Warmeleitung, moglichst vernachlassigt werden sollen. Verbrennung undDetonation in schmalen Fronten (" StoBen") und aIle V organge mit innererUmsetzung bleiben dabei nicht ausgeschlossen, solange das Medium als homogenangesehen werden kann.Schon im Abschnitt II, 1 wurde gezeigt, daB die ebene und kugelsymmetrischeQuellstromung ein Spezialfall der stationaren Fadenstromung ist.
Ebenso steUtdie Ausbreitung ebener Wellen und jene von Zylinder- und Kugelwellen nureinen Spezialfall der WeUenausbreitung in einem Kanal veranderlichen Querschnittes dar. Die allgemeinste Bewegungsform ist nicht nur durch zeitlich veranderliche Zustande, sondern auch durch zeitlich veranderliche Fadenquerschnittegegeben.Wiihrend aber die stationare Fadenstromung genau der stationaren Stromung ineinem Stromfaden entspricht, trifft das bei einer instationaren raumlichen Stromungnicht mehr zu, wo sich ein Stromfaden im allgemeinen zu verschiedenen Zeiten ausverschiedenen Teilen zusammensetzt.
Ein Massenteilchen ist zwar nach kurzer Zeitan die Stelle seines vorausstromenden Teilchens geriickt, weist aber dort nicht mehrauf dieses hin, gehort also mit diesem nicht mehr einem gemeinsamen Stromfadenan. Eine Ausnahme machen beispielsweise kugel- und zylindersymmetrischeStromungen.Das Zulassen groBer Druck- und Schallgeschwindigkeitsunterschiede bedeutetzwar, daB die allgemeinen Gleichungen die Spezialfalle kleiner Zustandsanderungen enthalten, hat aber gleichzeitig eine Beschrankung der berechenbarenund bisher gelOsten Aufgaben zur Folge.Die Behandlung der Ausbreitung kleiner Storungen in ruhendem Mediumware namlich gleichbedeutend mit dem Schreiben eines Buches tiber Akustik.Kleine periodische Storungen in Stromungen ftihren in das umfassende Gebietder Berechnung von Luftkraften und Eigenschwingungen schwingender Plattenund Fliigel.
Alles das kann weder hier noch in den spateren Kapiteln dieses Buches68III. Instationare Fadenstromung.aufgenommen werden, wenngleich eine scharfe Abtrennung und Abgrenzungdieser Gebiete nicht immer moglich ist.2. Eulersche und Lagrangesche Methode.Bei der stationaren Fadenstromung wurden die Stromungszustande an bestimmten Orten des Fadens betrachtet.
Dies ist die nach EULER bezeichneteund bei stationaren Stromungen gegebene Darstellungsart. In ihr werden diemit den unverandert bleibenden Stromungsberandungen verbundenen Koordinaten neben der Zeit als unabhangige Veranderliche gewahlt und in Abhangigkeit von diesen die Stromungszustande gesucht. Die Ableitungen ~ und -,~-.~anach den beiden Unabhangigen x, t der Fadenstromung bedeuten hier, daB jeweils die zweite unabhangige Veranderliche festgehalten wird, in der Schreihweise der Thermodynamik also:(oOil; :ta~' ==(-:i1·Daneben kann entsprechend den Methoden der Punktmechanik und der Thermodynamik aber auch ein bestimmtes Massenteilchen herausgegriffen werden undnach dem Zustand und dem Ort der einzelnen Massenteilchen in Abhangigkeityon der Zeit gef1'agt werden. Bei dieser "Lagrangeschen" Darstellungsart sindunabhangige Veranderliche die Zeit t und eine Koordinate a, welche fiir jedesMassenteilchen typisch ist.
Vorteilhaft ist es, etwa mit a den O1't x des Teilchensim Ausgangszustand (t = 0) zu bezeichnen. Dannsind die gesuchten Veranderlichen, also die ZustandsgroBen und der Ort x der Teilchen, abhangig von der Zeitund del' Ausgangslage a. Hier bedeuten nun die partiellen Ableitungen in ausfiihrlicher Schreibweise:°G = (0)&aoa t; Ttc=(G)ot,,'Insbesondere ist die Anderung des Ortes eines Teilchens mit der Zeit gleich del'Geschwindigkeit.
In Lagrangeschel' Bezeichnung also:~~= (~;L =W.Auch in der Eulerschen Darstellung.3art interessiert die Andel'ung irgendeinerTeilcheneigenschaft mit del' Zeit, etwa urn den erst en Hauptsatz der Wal'melehre auszudriicken. Die Beziehung wird einfach mit der Kettenregel der partiellen Differentiation gewonnen, nach der die Ableitung einer Funktion g derVel'anderlichen t, x, die selbst wieder Funktionen von ~ und 'i) sind, gleich jst:!JL _OTj -oyat}J!..Of'IT3L _oxoxOTj'Werden nun die Veranderlichen ~ und 'i) den Lagrangeschen Variablen a und tgleichgesetzt und wird in iiblicher Weise die zeitliche Anderung einer Teilcheneigenschaft bei Eulerschel' DarsteHung durch~tausgedl'iickt, so folgi:~~ =(~na=(~nx(~~L+(~~)t(~~)a= ~~ +W~~.Bei stationarer Stromung [(:t )x=(1)0] el'gibi sich die zeitliche Andel'ung einerTeilcheneigenschaft in Eulerscher Da1'stellung einfach durch Multiplikation derartlichen Anderung mit der Geschwindigkeii.
In Lagrangescher Darstellung ist diestaiionare Stramung im iibrigen mit keiner wesentlichen Vel'einfachung verbunden.III, 3. Integralsatze in Eulerscher Darstellung.693. Integralsatze in Eulerscher Darstellung.Nach der Aufstellung der Integralsatze fur stationare Fadenstromungen inAbschnitt II, 2 ist es nun nicht schwer, die entsprechenden Satze auf instationareVorgange zu erweitern. Als weitere Moglichkeit einer Massenanderung, einerImpuls- oder Energieanderung kommt hier zum DurchfluB der entsprechendenGroBen durch die Endquerschnitte die Zunahme von Masse, ImpuIs und Energieim betrachtete:iJ.
Raum. Er ist durch den VerI auf des Querschnittes I gegeben,der nur von der - Iangs der im Raum festen Mittellinie der Stromung gemessenen- Bogenlange x und noch von der Zeit t abhangt. Die zwischen den zeitlichfesten Punktenx1 und x 2 eingeschlossene Masse, der eingeschlossene Impulsin Richtung der Kraft K und die eingeschlossene Energie sind gleich (Abb.-+mit dem Index 2 fur den Endquerschnitt):Je'" Idx;'"JeWcos {} I(2)dx;'"Die zeitlichen Anderungen dieser Integrale sind den entsprechenden Sat zenhinzuzufiigen, urn diese auf instationare Vorgange zu erweitern. Wegen der zeitlichen Unveranderlichkeit von Integrationsweg und -grenzen kann die zeitlicheAbleitung einfach am Integranden ausgefuhrt werden.Dies fuhrt zur Kontinuitatsbedingung:(3)Wie in Gl.
(II, 2), wird hier von Massenquellen abgesehen. Da die Integrale derGl. (2), nachdem uber den Ort integriert wurde, reine Zeitfunktionen darstellen,ist die zeitliche Ableitung vor dem Integral einer gewolwlichen Ableitung gleichzusetzen:Ais Impulssatz ergibt sich in Verallgemeinerung von Gl. (II, 3):X2%2Je W cos{} I dx =J~m (e w cos {} f) dx =-88t .= K+ (PI + el W12) 11COS{}1 -(P2+ e2 W22) 12COS{}2·(4)Und schlieBlich in Verallgemeinerung von Gl. (II, 4) der Energiesatz:8 j~2 (W 2 )ate 2 + e I dxXl=j:'-8t8 I e (2W2 + e) dx =Xl(5)wobei unter L wieder aIle von auBen zugefuhrten Leistungen zusammengefaBtsind, insbesondere Warmezufuhr oder Arbeitsleistungen durch auBere Krafte(Anderungen der potentieIlen Energie) und bei zeitlich veranderlichem Querschuitt die Arbeitsleistung, welche zum Zusammendrucken aufgewendet wird.Das Auftreten von Ableitungen nach t in den Gl.
(3), (4) und (5) legt eineweitere Integration dieser Gleichungen uber die Zeit nahe, womit es sich danndimensionsmaBig urn Gleichungen fur die Masse; die BewegungsgroBe und dieEnergie handeln wurde und nicht urn deren Strome. Daruber mehr im nachstenAbschnitt.III. Instationare Fadenstri:imung.704. Integralsatze in Lagrangescher Darstellung.Die Brauchbarkeit der Lagrangeschen Darstellung liegt vor allem bei Anwendungen, wo eine bestimmte Masse in einem Raum variabler GroBe eingeschlossen ist, wie dies in Motorzylindern und Kanonenrohren der Fall ist. 1mersten Fall stellt der Kolben, im zweiten Fall das GeschoB eine Grenze dar,welche wohl mit x veranderlich, aber an einen festen Wert von a gebunden ist,da stets dieselben Massenteile an Kolben oder GeschoBboden grenzell.
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