K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 20
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Rohrstromung mit Energiezufuhr.57so Fall 1 und 2, deren einer M = 1 nie und deren anderer M = 1 stets uberschreitet, identisch sein konnen. Zur Behandlung des allgemeinen Falles wirdzweckmaBig eine verallgemeinerte dynamische Adiabate eingefUhrt, welche sichvon Gl. (16) nur urn die Energiezufuhr q unterscheidet:i-i = q+ ! (~-+- ~) (p - pl.(79)Fur das id. Gas konst. sp. W.
laBt sich Gl. (79) nach einiger Rechnung in dieForm bringen:-q- =cp T_1,,2~ (~e + 1) (Pp -1) + ~2 (PP + 1) (~e-1).,(80)Das gibt auf der lsobare und der lsochore:p=p:~ = 1+cpqT ;e= 12:: = 1+ c"qT '(81)womit ein Uberblick uber die Lage der Kurve gewonnen ist.
Aus der Lage laBtsich beim id. Gas konst. sp. W. die GroBe der Warmezufuhr unmittelbar ablesen .Abb.25 zeigt die Kurve (79) fUr eine Energiezufuhr von etwa ~TCp= ~. Das Bild, welches fur"70Pu = 1,40 gezeichnet ist, kann fur die weitere 7JDiskussion der Vorgange im beliebigen Medium tJdienen.Gl. (22), welche die Geschwindigkeit vor demsenkrechten StoB durch Druck und Dichte vor 0und hinter dem StoB ausdruckt, wurde ausKontinuitatsbedingung und Impulssatz allein abgeleitet und gilt in gleicher Weise hier:W=Vi?e p-pe- e =~Vf)-=-Pelle-"(22)i?271--Bei einem festen Ausgangszustand (W, 12, Pbekannt) und gegebener Warmezufuhr q ergibtsich der Endzustand aus dem Schnitt der dynamischen Adiabate Gl.
(79) mit der im ~,p-Dia-e--1''-=;:::-«:: : - - - - - - 7Abb. 25. Rankine·Hugoniot.Rurve beiEnergiezufnhr.gramm eine Gerade darstellenden Gl. (22). Es kommen offenbar nur Zustandsanderungen in Frage, bei welchen die Dichte gleichzeitig mit dem Druck zuoder abnimmt, da andernfalls W imaginar sein muBte. Die dynamische Adiabatezwischen Punkt Fund Gist also physikalisch ohne Bedeutung. Die Punkterechts von F entsprechen einer Druckabnahme, also einer Unterschallstromung,die Punkte links von G einer Druckzunahme, also Uberschallstromung. 1mallgemeinen gibt es zwei Schnittpunkte der Geraden Gl. (22) mit der RankineHugoniot-Kurve Gl. (79) entsprechend den beiden Losungen des Falles 1 und 2.Nur in den Punkten J und K gibt es nur eine Losung entsprechend dem Ubereinstimmen von Fall 1 und 2 mit Schallgeschwindigkeit hinter der StoBfront.Die schwacheren Zustandsanderungen entsprechen stets dem Fall 1, also herrschthinter der StoBfront zwischen K und F Unterschall, zwischen G und J Uberschall, jenseits von J Unterschall und jenseits von K Uberschall.Var der Energiezufuhr herrscht auf Punkten, welche gemeinsam auf derGeraden (22) liegen (Punkt B und D), stets dieselbe Mach-Zahl.
Punkt F (isobareWarmezufuhr) entspricht M = O. Punkt G (Warmezufuhr bei konstanter Dichte)entspricht M = 00.II. Stationare Fadenstromung.5816. Verbrennung und Detonation1 ,15.Fur den Beobachter, del' sich mit del' Stramung VOl' del' Energiezufuhr bewegt,erscheint diese als eine in ein ruhendes Medium hineinlaufende Starung.
HerrschteVOl' del' stehenden Welle Unterschallgeschwindigkeit (Abb. 25; links im Punkt F,Fall 1 und 2), so lauft nun die energieumsetzende Starung mit Unterschallgeschwindigkeit in das ruhende Medium hinein, wobei Druck und Dichte durchdie Energiezufuhr abnehmen und die Geschwindigkeit nach del' Reaktion (imsogenannten Schwaden), da sie im stationaren Bezugssystem eine Zunahmeerfahren hat, nun entgegengesetzt zur Fortpflanzung del' Starung gerichtet ist.Diesel' Vorgang heiBt Verbrennung. Die Verbrennungsgeschwindigkeit ist imwesentlichen durch den Reaktionsablauf bestimmt und stets ziemlich klein.Man miBt* fur Gemische von Wasserstoff mit Sauerstoff 30 m/sec, mit Luft12 m/sec bei atmospharischem Druck und Umgebungstemperatur.
Fur Gemischevon Luft mit Benzin und Benzol 2,3 m/sec. Praktisch kann abel' bei haherenVerbrennungsgeschwindigkeiten verbrannt werden, indem del' Verbrennungsbeginn im Totwasser hinter kleinen Starkarpern eingeleitet wird.Uberschallgeschwindigkeit VOl' del' stehenden Welle gibt im bewegten Bezugssystem eine mit Dberschallgeschwindigkeit laufende Welle mit Energieumsatz.Sie heiBt Detonation und ist durch Druck- und Dichteerhahung und Nachlaufendes Schwadens hinter del' Detonationsfront gekennzeichnet (Abb.
25, RankineHugoniot-Kurve links von Punkt G, Fall 1 und 2). Wahrend sehr verschiedeneVerbrennungsgeschwindigkeiten gemessen werden, stellt sich bei del' Detonationnach kurzer Zeit stets eine bestimmte, fur das betreffende Medium typischeDetonationsgeschwindigkeit ein. Sie ist durch die Tangente von Punkt A an dieRankine-Hugoniot-Kurve gegeben, was also del' kleinstmaglichen Detonationsgeschwindigkeit entspricht.Links von Punkt J herrscht bei stationarer Front Unterschallgeschwindigkeit,Wellen konnen also hier die Vorgange bei del' Energiezufuhr beeinflussen.
DieseEigenschaft bleibt auch im bewegten System erhalten, da del' Front selbst wieden Wellen hinter ihr nur eine Zusatzgeschwindigkeit zugefugt ist. Wenn del'im Punkt B herrschende hohe Druck also nicht kunstlich aufrechterhalten wird,wird er absinken und die Detonationsfront abschwachen und verlangsamen,bis im Punkte J die Vorgange hinter del' Front keinen EinfluB mehr auf diesehaben.
Die Punkte J und K in Abb. 25 sind dadurch gekennzeichnet, daB dieNeigung del' Hugoniot-Kurve die Richtung einer Geraden durch den Punkt Ahat. Es sind p und (j variabel, hingegen p und [J fest, also folgt fur die Punkte Jund K:p-p-l--C'ef!Fur die Entropieanderung langs del' Hugoniot-Kurve folgt mit Gl. (7n)T~d~8=e1d~pd':'~ -=21(~p-e-p )d(l)e21(1e - l)d~p,d.
h. zusammen mit del' vorhergehenden Gleichung, daB die Entropieanderungauf del' Hugoniot-Kurve in den Punkten J und K verschwindet. Die Entropienimmt dort Extremwerte an. Die Anderung von p mit geht in dies en Punktenbei konstanter Entropie VOl' sich, also ist in J und K mit Gl. (2:~):ef.~* E.eSCHMIDT:e=(aa~e)= -(j2 (~~L= -§2 22.sThermodynamik, 3. Aun., S. 272. Springer-Verlag. 1945.II. 17. Energiezufuhr im Kanal veranderlichen, Querschnittes.59Wie schon im vorausgehenden Abschnitt erwahnt, gelten die lediglich ausder Kontinuitatsbedingung und dem Impulssatz abgeleiteten Gl.
(22) in gleicherWeise auch hier.Die letzte Gleichung, in Gl. (22) eingesetzt, ergibt also folgende Beziehungenfur die Laufgeschwindigkeit U eines DetonationsstoBes und fUr die Nachlaufgeschwindigkeit LI W in ein ruhendes Medium:U=e ; AW.l..AQ(":"')cLJe- 1) = U- A-'-A(e=(..:...)c(82)(+)c.Die unteren Vorzeichen gelten fur eine gegen die x-Richtung laufende Detonation. Die WerteeI! und c ergebensich aus dem Punkt J der entsprechendenRankine-Hugoniot-Kurve (Abb. 25).DaB Detonationszustande, welche einem Punkte zwischen J und G entsprechen,nicht auftreten, ist noch nicht vollig klargelegt. Tab. II, 7 zeigt die zufriedenstellende Ubereinstimmung der gemessenen Detonationsgeschwindigkeit mitcler nach R.
BECKERl durch den Punkt J gegebenen.Tabelle II,7. Detonationsgcschwindigkeiten, gemessen nachAusgangstemperatur 291 0 abs.Detonations·druckAusgangsdruck(ber.)~fischung(2 Hz +(2 Hz +(2 Hz +(2 H2 +(2 Hz +(2 H2 +{2H z +0z) ................0z) + 3 0z ..........02) + 3 N2 .........02) + 4 H 2 ••••••••••02) + 1,5H z ........02) + 5 He .........0z) + 3A ...........18,0515,315,63.15,9717,6016,3217,11Detonations·temperaturabs.(ber.)3583297030032976341230943265LEWISundFRIAUF17.Detonationsgeschwindigkeitm/sec(ber.)(beob.)28061925203336273200361319072819192220553527301031601800Der Grund dafiir, daB bei Detonationen Zustande zwischen den Punkten Gund J in Abb.
25 nicht auftreten, durfte mit dem Reaktionsablauf zusammenhangen. Wie der Abschnitt uber Kondensationserscheinungen zeigt, kommtdiesem Kurventeil durchaus physikalische Bedeutung zu.Ebenfalls ungeklart ist die Frage, wann und warum Verbrennung in Detonation ubergeht oder einer der beiden Vorgange nicht auftritt.17. Energiezufuhr im Kanal veranderlichen Querschnittes.Bei Beschrankung auf stetige Anderungen, also auch auf stetige Energiezufuhren, konnen die Zustandsanderungen aus der KontinuitatsbedingungGl.
(43), der Bewegungsgleichung (44) (unter AusschluB auBerer Krafte X = 0)und der Energiegleichung (47) berechnet werden, wobei Querschnittsanderungund Energiezufuhr naturlich als gegeben angesehen werden mussen:_1 dW +~!!.R.-_~.!!L.W dxI! dx f dx'W dWdxT ~dx+ ~I! dp= 0;dx+ W dW+ ~I! dp=dxdx(43)(44)dQ.dx(47)II. Stationare Fadenstromung.60(Die Gleichungen speziell fur Kondensationseffekte gibt K. OSWATITSCH lO, inbesonders allgemeiner Form auch unter Berucksichtigung del' ZusatzimpulseH. SHAPIRO und W.
HAWTHORNE 18 .)Aus Gl. (47) und (44) kann der Entropieanstieg direkt durch die Energiezufuhr ausgedruckt werden, was wieder nur die Entropiedefinition darstellt:T~-!!!Ldx - dx'(83)Urn aber die vier thermischen Zustandsgro13en p, 12, s, T explizit auf zwei zu reduzieren, ist eine Beschrankung auf bestimmte Medien erforderlich. Fur das idealeGas - eine Beschrankung auf konstanten spezifische 'Varmen ist hier nichterforderlich - ergeben sich folgende Beziehungen:_1_WdW _ _ __dx -_1_ dMMdx~=dp _P dx -~~ _e dx -~ dTT dx=1-1 _ [~11 - M2!:l ___I__ !!!L] .f dxM2cp T dx 'l-- (1 + u ,21j12) ~!:l-l- _l_-=-u M2f dx2I_1 __!!!L'I'c p T dx _ '~1l[~r~!:l--I- d Q ].1 - 21:I2f dxc p T dx '(84)1[M2 !:l __I_!!!L].1-M2 _ f dxcp T dx _ '~ dp _ ~ dep dxe dx= __I __ r(U-l)M2 !:l +M21-fdx'(1-X_ZI12) _1__ !!!L]" .c p T dxDie Gl. (84) fur f = konst.
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