K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 19
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Stationare Fadenstromung.Zunachst kann durch ein Zusatzglied im Energiesatz jede Art von Energiezufuhr dargestellt werden. Die Wirkung eines von auBen angetriebenen Propellers auf das im Rohr stromende Medium miiBte dann beispielsweise durch einzusatzliches Kraftglied beriicksichtigt werden. Gedacht wird hier jedoch inerster Linie an Warmezufuhren. Gedanklich am einfachsten erfolgt dies durchAnheizen der Rohrwande oder durch Einfiihren elektrischer Heizdrahte.
Praktisch von groBter Bedeutung ist die Verbrennung von Kohlenwasserstoffen inLuft und das Freiwerden der Verdampfungswarme bei der Kondensation desWasserdampfes durch die Expansion von Dampf oder feuchter Luft in LavalDiisen. Auch dabei wird man, wie in Abschnitt I, 4 gezeigt, vielfach mit demBild einer Warmequelle auskommen, weil die Wirkungen dieser Vorgange iiberwiegend auf der hohen Umwandlungswarme und weniger in der Anderung derZusammerisetzung des Mediums beruhen.
1m allgemeinen natiirlich konnenvollige Anderungen der Zusammensetzungen des Mediums und dessen Aggregatzustandes auftreten. Sprengstoffe oder Treibstoffe in Kanonen gehen vom festenoder fliissigen Zustand in den gasformigen iiber. Bei Gasreaktiollen wie derVerbrennung eines Wasserstoff-Sauerstoff-Gemisches (Knallgas) zu Wasserdampfkonnen auch erhebliche Volumenveranderungen (natiirlich bezogen auf denselbenNormalzustand) auftreten, indem die Teilchenzahlen im Endprodllkt groBeroder kleiner sind als im unverbrannten Gemisch.Nach AVOGADRO haben alle idealen Gase bei Temperatur. und Druckgleichheitin gleichen Raumen gleich viel Molekille. Es sind also stets jene Vorgange am bestenbeherrschbar, bei welchen die Gasmolekiilzahl bei der Verbrennung unverandertbleibt.
Sind feste oder fllissige Teilchen dem Gas beigemischt, so braucht derenTeilchenzahl wegen ihrer groBen Dichte nicht mitgezahlt zu werden. Etwa: Verbrennung von Kohle in Sauerstoff zu CO 2 • Rier liefert die feste Kohle mit einem02·Molekiil ein CO 2-Molekiil.Das Verbrennungsgemisch und das Gemisch der Verbrennungsproduktekann stets jedes fiir sich als physikalisch homogenes Medium angesehen werden.Wie beim senkrechten StoB, seien die Zustande vor und nach dem betrachtetellVorgang mit p, [!, W usw.
und p,TV usw. bezeichnet. Sie gehorchen nun aberim allgemeinen verschiedenen Zustandsgleichungen. Auch spielen sich chemischeReaktionen keineswegs auf kleinen Wegstrecken ab wie senkrechte StoBe, sodaB ein beliebig starkes Aneinanderrucken der Ebenen mit den beiden verschiedenen Zustanden nicht moglich ist.Nach Streichen der Glieder fiir die potentielle Energie lautet del" Energiesatz (5):e,(74)dabei ist q die der Masseneinheit zugefiihrte Energie oder auch die Warme, welchebei der Umwandlung der Masseneinheit des stromenden Mediums frei wird.Es werden in der Regel zwei Umwandlungswarmen unterschieden: Eine Umwandlungswarme bei konstanter Dichte und eine bei konstantem Druck.
Beieinem ruhenden eingeschlossenen Medium konnen nun folgende Energieumsetzungen stattfinden: Eine Anderung der inneren Energien und eine Abgabevon Umwandlungswarme. Nach dem erst en Hauptsatz der Warmelehre[G1. (1,20)] muB die Umwandlungswarme bei konstanter Dichte gleich derDifferenz der inneren Energien nach und vor der Urn wand lung sein. Entsprechelldgibt nach G1. (I, 21) die Differenz der Enthalpien yon End- und Anfangszustanddie Umwandlungswarme bei konstantem Druck.
Urn diese handelt es sich offenbarin G1. (74) bei q, da G1. (74) Hir W = TV = 0 den Energiesatz fur das ruhendeMedium darstellt.II, 15. Rohrstromung mit Energiezufuhr.55Mit Kontinuitatsbedingung und Impulssatz zusammen gibt Gl. (74) einSystem, welches sich vom Gleichungssystem fur den senkrechten StaBnurum den Summanden q im Energiesatz unterscheidet.Da8 id.
Ga8 kon8t. 8p. W. laBt wieder formal sehr einfache Losungen zu, wennes sich vor und nach der Warmezufuhr um da8selbe Medium handelt. Mit Gl. (I, 19)und der Zustandsgleichung (I, 17) kann i wieder durch p und e ausgedruckt unddas System fUr die Unbekannten W, (j, P sodann gelOst werden. Es ergibt sich:(12){:= ~ =1- U~l {(I--~2-)±V(I-~r-2(X2-1){-z}'---- } (75)-~ =1+ ::~ {(1-~-z) ± V(1- ~ir-2 (x -1) J-z .2Mit den Gl. (33) lassen sich hieraus auch leicht Temperatur und Mach·Zahl hinterdem Sto)3 berechnen.In den Gl.
(75) sind zwei Falle zu unterscheiden. Der erste hat bei Unter.schall (M < 1) ein positives, bei Uberschall (M> 1) ein negatives Vorzeichen vorder Wurzel. 1m zweiten Fall ist es umgekehrt. Der erste Fall ist durch dieIdentitat bei verschwindender Warmezufuhr gekennzeichnet. Er ergibt fur kleineWarmezufuhren auch kleine Zustandsanderungen.
Hier kann jede groBere Warme·zufuhr aus kleineren aufgebaut werden, wobei sich die ganze Zustandsanderung alsSumme der einzelnen kleinen Zustandsanderungen ergibt. Eine Warmezufuhr ist imFalle 1 und 2 stets bei M < 1 mit einer Geschwindigkeitszunahme und einerDruck· und Dichteabnahme verknupft.
Bei M> 1 fUhrt der Fall 1 und 2 hin·gegen zu einer Geschwindigkeitsabnahme und zu einer Dichte· und Druck.zunahme. Die Warmezufuhr wirkt sich also'stets in einer Zunahme jener GroBeaus, die der groBeren relativen Anderung fahig ist, im Unterschall bei der Ge·schwindigkeit, im Uberschall bei der Dichte.Da Druck und Geschwindigkeit stets entgegengesetzte Anderungen durch·machen, folgt aus Gl. (33) eine Zunahme der Mach·Zahl bei Unterschall, eineAbnahme bei Uberschall.
Wie im Rohr mit Reibung nahert sich auch im FaIle 1die Mach·Zahl stets mit zunehmender Warmezufuhr dem Werte M = 1. Dieserkann also offenbar im Falle 1 nicht uberschritten werden.1m Gegensatz dazu fUhrt der Fall 2 stets uber die kritische Geschwindigkeithinweg, und zwar ist der Zusammenhang der Endzustande von Fall 1 und 2durch einen zusatzlichen senkrechten StaB gegeben. Dies laBt sich durch Bildendes Geschwindigkeitsproduktes WI W2 leicht zeigen. Mit Gl. (75) findet man fUrdieses:~WI W 2 =(u=2 :A+ 1)2W2[(x+1)2 - (1 - M21)2 + 2 (x 2 -M2~~ [~2 + " C\ + q] =2 :~:["q ]1) W2 _ =1~1 +qNun verhalten sich die Ruheenthalpien vor und nach der Energiezufuhr nachGl.
(74) so, wie wenn dem Gase die gesamte Energie im Ruhezustand beip = konst. zugefuhrt worden ware:io =io+ q.(76)Das bedeutet fur das id. Gas konst. sp. W.:To + qund mit Gl. (30) fur die kritischen Geschwindigkeiten:CpTo=(77)Cp1 ,,+ 1 cO:: 2 = ~_ _2 ,,- 1" - 1Co2" -1+q.II. Stationare Fadenstromung.56Damit ist das Produkt WI W2 gleich dem Quadrat der kritischen Geschwindigkeit C*2 nach der Energiezufuhr:W1 WA, 2 -_ A*2C ,Aeine Beziehung, die mit jener G1.
(36) fUr den senkrechten StoB identisch ist.Offenbar ist der Zusammenhang fur die beiden moglichen Zustande lund 2nach der Energiezufuhr fur jedes Medium durch den senkrechten StoB gegeben.Denn die Warmezufuhr q laSt sich stets als Summe zweier V organge auffassen,einen unter Energiezufuhr von der GroBe q und den anderen ohne Energiezufuhr.Letzterer laBt aber zwei Losungen zu: Die Identitat und den StoB. Also muB esstets zwei Losungen geben: Fall 1 vermehrt urn die Identitat (also Fall 1) undFalll vermehrt urn den StoB, was den Fall 2 ergibt.
Letzterer kann ebenso durchdie umgekehrte Reihenfolge, namlich StoB vermehrt urn Fall 1 gedeutet werden.Bei Unterschal1geschwindigkeiten ergibt sich dabei Fall 2 als Fall 1, vermehrturn einen VerdunnungsstoB, der allein nicht moglich ist. Es ist also fraglich,ob Fall 2 bei Unterschallgeschwindigkeit nicht dem Entropiesatz widerspricht.Das kann allerdings erst dann gesagt werden, wenn sich die Entropievermehrungim FaIle 1 als kleiner erweist als die Entropieverminderung im VerdunnungsstoB.Beim Verschwinden der Wurzel von G1.
(75) sind Fall 1 und 2 identisch.Mit G1. (26) tritt das ein fur1qcp T2 (u+ 1)(.NJ2-1)2M2(78)mit folgenden Zahlenwerten:Tabelle II, 6. Mach·Zahl jiir /tochstzuliissige Energiezujuhren (uM ......... {0,010,051,120,891,280,78!=1,400).0,100,200,501,02,05,01,400,711,600,622,00,492,60,393,40,295,10,2010,07,10,14Fur diese Werte wird die Schallgeschwindigkeit nach der Energiezufuhr ebenerreicht, da nur dann Fall 1 und 2 identisch sein konnen. Naturlich laBt sich diesdurch Ausrechnen von if mittels G1.
(75) und (34) auch direkt zeigen. Es genugtnach Tab. II, 6 also bei .M = 1,12 oder 0,89 eine Energiezufuhr von ----'LT- = 0,01,cpd. i. eine Zufuhr, welche die absolute Temperatur bei isobarer Zustandsanderungnur urn 1 % steigern wurde, urn den kritischen Stromungszustand zu erreichen.Es ist dies wieder eine Folge der geringen Veranderlichkeit der Stromdichte beiSchallnahe und ein Seitenstiick zu den raschen Zustandsanderungen im Rohrmit Reibung nahe bei M = 1 (Abb.
22).GroBere Werte von ~T als die durch G1. (78) angegebenen konnen bei einercpMach-Zahl M im Rohranfang nicht auftreten. Eine Steigerung der Warmezufuhrtiber diesen Grenzwert hatte bei Unterschall ein Absinken der Mach-Zahl zurFolge, sie wirkt sich wie eine Verengung des Rohrquerschnittes aus. Bei Dberschallgeschwindigkeit wird sie zu einem stromaufwarts wandernden StoB fUhren.Mathematisch zeigt sich das Uberschreiten der angegebenen Grenzen im Imaginarwerden der Wurzel von G1. (75).J edes beliebige Medium fiihrt im Grenzfall der hochstmoglichen Energiezufuhrebenfalls zur Schallgeschwindigkeit im Zustand nach der Energiezufuhr, da nurII, 15.
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