K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 15
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(51) erhalt man durch Entwickeln leicht:W;:oo = _~Cj)-! (1-Mbo)Cj)2+ ... ,mit(52)II. Stationare Fadenstromung.38womit man aus del' Druckverteilung, welche in den Versuchen meist durch denStaudruck im Anstromgebiet dimensionslos gemacht wird, sofort die Geschwindigkeitsverteilung erhalt.
Die Umkehrung diesel' Gleichung lautet:cp__ 2 W --W CXJWoo(1-MQ) (W - W CXJ)2 ,100W o o ' ...Del' Zusammenhang von Geschwindigkeit und Druck stellt eine Verallgemeinerungvon Gl. (8) dar und solI daher wie diese als Bernoullische Gleichung bezeichnetwerden. Der mit cp bezeichnete Ausdruck heiGt Druckkoejjizient. (Der Umstand,daB dabei dasselbe Symbol verwendet wird wie fur die spezifische Warme beikonstantem Druck, durfte weniger star en als ein Abweiehen von den aUgemeingebrauchlichen Bezeichnungen in einem del' beiden FaIle.)Mit Gl. (52) kann nun leieht die Stromdiehte abhangig von del' Gesehwindigkeit dargestellt werden.
Dabei ist es zweekmaBig, die Stromdichte durch denkritischen Wert W* e* zu dividieren, was stets einen Wert kleiner odeI' gleich 1ergibt. Mit Tab. II, 5 kann die Stromdichte auch durch Mach-Zahl, Dichte eoder den stets leicht meBbaren Druck p ausgedruckt werden, wobei die thermischen GraBen hier bessel' auf ihre kritischen Werte Gl. (49) bezogen werden:,,+ 11e~~*=M[I+ :+~ (M2_l)]= ee*2(,,--1)=M*[I-~"-') I_C.:11*2_1)-I;;---1~1(53)Vl+:+~ [(~*r~1~-i]=(:*r~vl+ :+~I(p;)"-1- 1lWie eine Entwicklung des Druekes, erweist sieh aueh eine solehe del' Stromdichte vielfaeh als zweekmiWig.
Es ergibt sieh aus Gl. (53)e~:oo1=(I-M~) Ww:O<:l- ! M~[3- (2-u)iVI~J (W W:=f-1-'"Bei kleinen Maeh-Zahlen wird das zweite, bei JJloo = 1 das erste Glied bedeutungslos.Die Beziehung zwischen Stromdiehte und Druck wird naeh DE SAINT VENANTund WANTZEL5 benannt. Wahrend sieh die Stromdiehte noeh einfaeh abhangigvon Maeh-Zahl, Gesehwindigkeit7,0usw.
darstellen 1i:Wt, ist eine Um(1ft.kehrung del' Gl. (53) im allge(Jmeinen nieht mehr moglieh. DieStromungszustande flir eine bestimmte Stromdichte sind daheram besten mittels einer Kurvc} -_ _ _ _ _:--_ _ _ _ _t---""~u· (Abb. 14) aufgesucht. Es gibtZstets je cincn W crt bei.M < 1 undbei .l11 > 1. Nahe an JJ1* = 0steigt die Stromdiehte wegenAbb. 14. Stromdichte abhiingig von der Geschwindig keit liirdel' geringen Diehteveranderlieh" = 1,400.keit dort nahezu linear mit M*.Abgesehen von der Stromdiehte, lassen sieh die meisten wiehtigen GraBen furein id. Gaskonst.
sp.W. gegenseitig explizit ausdrueken, wozu sieh das in Tab. II, 5*wiedergegebene Schema besonder-s eignet. Wie in Absehnitt 4 bereits gezeigt,haben die Formeln im abgegrenzten Teil links oben nur den Energiesatz (keineEnergiezufuhr von auGen), del' iibrige Teil isentropische Ausdehnung (stetigeZustandsanderung ohne auBere Krafte und Energiezufuhr) zur Voraussetzung.*Miindliche Mitteilung von A.NAUMANN.M2eo~ioToPPoiTIr-"M2---IIIx+Ix-IM*2x-II---M*2x+ IV1-M*2M*2 )" -11CocIii(~)~2(~)~2x(~r-1------------~--~II(l-t- " 2 1 M'r"~' (1- : + ~ITTocCo:+ ~ [I-(~ rl-[---1----- ---- --II(i 1+ x 2 1 M2 x-I I (1-: + 1I M*2)_xI,,-1 iI1+ x-I22M*2MU-,,-1[(~o)X~I-I] I1------x2I---- ----Po..'Leox2 I[(~or-l-Il------,--- ----..!LIe(~)~1(~)x=TPoTV~-I1Ix+1 (T)(~)-"ll-~ll-(..!L)"-llx-I 1 - To ~[Ix-IPox-Ieo-I)iio~2 (To1- x-I (M*2_1) ~2x-I [(~)2_1]cx-I T1-------------.VI+X2IM2----_.---CocM2M21+ x-I (M2-I)x + I----1---M*2----IM2----1--------ITabelle II, 5.
Beziehungen zwischen verschiedenen G1'of3en fur das ideale Gas konstanter· spezifisc'Lcr Warme.~~f>i'~.t:rj~~il"t0'J~WCDdQ'SeT-W?O1-1.1-1II. Stationare Fadenstromung.40Mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung (52) kann die Geschwindigkeit ausDruckmessungen bestimmt werden, wenn zur Berechnung von W max die Ruhetemperatur bekannt ist [Gl. (10)]. Obwohl dem Produkt~:2 lediglich bei dichte-bestandigen Stromungen als "Staudruck" eine physikalische Bedeutung zukommt,wird es auch in der Gasdynamik haufig verwendet und ebenfalls als "Staudruck"bezeichnet. Diese Bezeichnung ist so weitgehend eingefuhrt, daB von ihr auchin diesem Buch nicht abgegangen werden solI, obwohl unter KompressibilitatseinfluB mit dem Staurohr keineswegs in der Stromung der "Staudruck" gemessenwird.
Fur das ideale Gas gilt mit der Definition der Mach-Zahl (26):o W2e W2---;;pP=u:·2 = 2u-2 P M2,(54}eine Gleichung, die an keine weitere Voraussetzung gebunden ist.Es interessiert nun, wie stark bei kleinen Mach-Zahlen die gemessene DifferenzPo - P vom Staudruck, dem sie bei dichtebestandiger verlustfreier Stromunggleich sein muBte, abweicht.
Zu diesem Zweck wird die Funktion ~ von MP(Tab. II, 5) nach M entwickelt:~P=1 +~M22+ ~M4+ ~~_=-uLM6 +848Zusammen mit Gl. (54) ist dann:P = (~ _ 1) ~2~J! W2Pu M2Po -= 1+ ~4 M2 + ~:u242114+(55}2Die entsprechende Entwicklung des Dichteverhaltnisses ergibt:~eo=1-~M22+~8 M4 + . . . .(!16}-Der Druckunterschied weicht also relativ vom Staudruck noch weniger ab alsdie Dichte relativ von der Ruhedichte.
Eine Windgeschwindigkeit von etwa66 m/sec entspricht einer Mach-Zahl von M = 0,20. Daraus ergibt sich ein Fehleraus der Bernoullischen Gl. (8) dichtebestandiger Stromungen von:-Po-Pe W2=001,.2Damit ist ein MaB gewonnen, inwieweit Luftstromungen als inkompressibel aufgefaBt werden konnen.Es sei besonders darauf hingewiesen, daB sich die relativen Anderungen vonDruck und Dichte schon nach der Isentropengleichung (I, 25) nur urn den Faktor'X unterscheiden. In der Bewegungsgleichung (44) wird aber die Dichteanderungbedeutungslos, weil die Dichte hier zum Unterschied vom Druck nur als Faktorauftritt. So konnen bei gleicher GroBenordnung von relativer Dichte- und Druckanderung die erste bei niedrigen Mach-Zahlen vernachlassigt werden, die zweiteaber nicht.Die Funktion P (M*) laBt einige von A.
BUSEM:ANN* stammende geometrischeDeutungen zu, die sich auch auf den VerdichtungsstoB beziehen. Sie sollen hiernicht weiter behandelt werden.Dem SchluB des Buches ist ein Strichleiterdiagramm fUr die gegenseitige Abhangigkeit der thermischen ZustandsgroBen, der Geschwindigkeit, der Stromdichteusw. bei isentroper Ausdehnung mit 'X = 1,400 beigefugt.* Handbuch der Experirnentalphysik IV1 • A.
BUSEMANN: Gasdynarnik, § 12. OderR. SAUER: Gasdynarnik, S.9. Berlin: Spirnger-Verlag. 1943.II, 9. Ausflu13 aus Mundungen.419. AusfluB aus Mundungen.Wird der Druck P an der AuBenseite einer abgerundeten Mundung (Abb. 15),die etwa in einen entleerbaren Kessel fUhrt, vom Werte des Ruhedruckes (p = Po)beginnend langsam abgesenkt, so wird die Geschwindigkeit in der Mundungnach G1. (52) und die Stromdichte nach G1. (53) ansteigen. Aus dem Produkt vonStromdichte und Mundungsquerschnitt f laBt sich dann mit G1. (1) die in derZeiteinheit durchflieBende Menge angeben, wenn der Ruhezustand bekannt ist.Je mehr sich der Zustand in der Mundung dem "kritischen Zustand" (M = 1)nahert, desto geringer wird der EinfluB der Druckabsenkung stromabwarts derMundung.
Er hort schlieBlich ganz auf, wenn in der Mundung Schallgeschwindigkeit erreicht ist, da hier die Stromdichte und damit die DurchfluBmenge ihrenHochstwert erreicht. Eine weitere Druckabsenkung auf unterkritische Drucke(p < p*) hat also keine Steigerung der DurchfluBmengezur Folge, aber auch kein neuerliches Absinken, weilunterkritische Drucke zu UberschallgeschwindigkeitenfUhren. Gegen diese vermogen nur grobe Storungen, wiesie von Druckanstiegen verursacht werden, anzulaufen.Der Zustand im kritischen Querschnitt der Mundungbleibt unberuhrt davon, welche Drucke p stromAbb. 15. Ausflull au. abgerundeter MUndung.abwarts innerhalb des Bereiches p* > p > 0 herrschen.Uberschallgeschwindigkeit in der Mundung mit kritischem Zustand stromaufwarts der Mundung muBte uberhaupt eine Ablosung der Stromung in derUmgebung von M = 1 zur Folge haben, da dort maximale Stromdichte herrscht!(-'PoL < r)ist die DurchfluBmenge alsoPoBei iiberkritischem Druckverhaltnisunabhiingig vom AuBendruck mit G1.
(30) und (48) gegeben durch~V(u!r= e* W* =x+ I1 ) x-I XPoeo= (u!x+l1 ) 2(x-I) Co eoc* e*=--coeo·Coeo=(57)Mit Tab. II, 4 berechnet man fUr Luft (x = 1,400) bei einer Ruhetemperaturvon 15°C (co = 340 m/sec) pro Quadratzentimeter Mundungsflache ein Durchtrittsvolumen von:~f* eo=19,7 .103 ems = 197 Liter.sec'secAls Faustregel kann man sich also merken, daB durch die kleine Offnung von1 cm2 rund 20 Liter des Gases im Ruhezustand pro Sekunde stromen, wobeidiese Zahl zugleich mit der Schallgeschwindigkeit nur mit der Wurzel aus derabsoluten Temperatur variiert.Damit ist auch eine Abschatzung gegeben, wieviel durch ein Loch in einenVakuumkessel in der Zeiteinheit einstromt.
Gute Ubereinstimmung mit denVersuchen wird man an G1. (57) allerdings nur bei abgerundeten Mundungenerwarten konnen. Bei blendenformigen Offnungen, Bordamundungen usw. kommtes wie bei dichtebestandiger Stromung zu Strahleinschnurungen, die naturgemaBherabgesetzte DurchfluBmengen* zur Folge haben. AusfluBprobleme spielenim Motoren- und Dampfmaschinenbau beim Entleeren der Zylinder eine wichtigeRolles.A.* AusfUhrlichesBUSEMANN:daruber mit Zitaten: Handbuch der Experimentalphysik IV1.Gasdynamik, 3.
Kapitel.42II. Stationare Fadenstromung.10. Laval-Diise.Wie der Stromdichteverlauf (Abb. 14) zeigt, ist zur Beschleunigung einerStromung auf Uberschallgeschwindigkeiten ein erst konvergenter, dann divergenter Kanal, eine sogenannte Laval-Duse, erforderlich. 1st der Stromungszustand im kritischen Querschnitt f* der Diise gegeben, so HiBt sich aus dem Verhaltnis der Stromdichte an der betrachteten Stelle zu jener im kritischen Querschnitt der Stromungszustand an der betrachteten Stelle angeben (Abb.
16).Dies kann im allgemeinen nicht analytisch, sondern muB an Hand der Kurve/rf"Abb.14 gemacht werden. Inf* kann irgendein Zustandvorgegeben sein. Herrschtdart Unterschallstromung, soherrscht sie mit verminderter Geschwindigkeit in derganzenDiise. Herrscht in f*,IUberschallgeschwindigkei t,IJI,so herrscht sie erhoht in der\ganzen Diise. Nur wenn im\kritischen Dusenquerschnitt\, "der kritische Stromungszu..........'........... , .....' stand herrscht, dann kanneine Uberleitung von UnterOL-____________________ ___________________ schall-in Uberschallstromungund das Umgekehrte stattfinden (asymmetrische Losung), es sind aber auch dannnoch symmetrische Losungenmit M < 1 oder M > 1 aufbeiden Diisenseiten moglich.Der Geschwindigkeitsgradient ergibt sich aus Gl.
(49).1m kritischen Querschnittverschwindet er darnach,Abb. 16. Geschwindigkeitsverteilung io der Lavaldtise (x ~ 1,40).wenn dart nicht gerade Schallgeschwindigkeit(M = 1)herrscht. In diesem Falle wird er unbestimmt und ist nach der Regel vonL'HoSPITAL durch Ableiten von Zahler und Nenner zu berechnen:\~dfdM 1 dW-·2M------::f* = "11 .dM* a*Nun ist fur M = 1 nach Tab. II, 5radius der Funktion f (x) an der Stellef*dWC* rrx- =f=f*dxMit R* als Kriimmungs-fuhrt das zu dem Erge bnis :V--f*~(d8)··-" + 1 dx 2 /=/*=V-1-·,,+Tf*R*·(58)Abb.
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