K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 13
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(37) und Gl. (39) errechneten Werten.Tabelle,2. Entropieanstiege im StoP fu?'~=1,400 rtaCh Gl. (40), (37) und (39) .8-1Jp.11.11'0 1. (37)1,01, 11,21,31,41,51,752,02,53 ,01,0001,0421,0 21,1211,1591,1951,2751,3631,5121,6471,00010351,0671,0981,1271,1551,2181,2751,3721,4530,000000,000040,00033O,OOll O0,002610,005100,01720,04080,13780,3265I8-ev01. (39)0,000000,000040,000270,000840,001840,003340,009280,01 60,04610,0833IG1.
(40)(cxnkt )0,000000,000040,000250,000730,001540,002710007090,01340,03070,0525Darnach ist Gl. (37) nur in der unmittelbarsten Umgebung der Schallgeschwindigkeit eine brauchbare Naherung fur den exakten Wert nach Gl. (40). Dabeiist es gleichgiiltig, ob in Gl. (37) die Verluste aus dem Druckverhaltnis oder ausdem Quadrat M2 der Machschen Zahl berechnet werden, weil die beiden Ausdriicke mittels einer exakten Gleichung ineinander iibergefuhrt werden. Beieinem Druckanstieg P.p=2 ist der Verlust zwar noch gering, jedoch geniigt -falls die Entwicklung uberhaupt noch konvergiert - sichel' nicht me hI' daserste Glied del' Reihe.
Anders ist es bei der Entwicklung nach (M* - 1) - dasbei pp=2 den Wert von M* -1=0,275 annimmt - , wo das erste Glied del'Reihe den ausschlaggebenden Teil der Reihensumme liefel't. Gl. (39) liefert alsobei schallnaher Stramung brauchbarere Werte und ist im Zweifeisfall cler Entwicklung Gl. (37) weit vorzuziehen.Das Gleichungssystem (12), welches den Vel'dichtungsstoBformeln zugrundeliegt, ist vallig symmetrisch in den GraBen vor und hinter dem StoB.
AIleGleichungen, die aus ihm abgeleitet werden und GraBen VOl' und hinter dem StoBin gleicher Weise enthalten, mussen daher auf eine in den Veranderlichen mitund ohne Dach (p, p; e,W, TV usw.) symmetrische Form gebracht werdenkannen. Das gilt z. B. fUr die dynamische Adiabate Gl. (16). Dasselbe gilt fUraIle Gleichungen, welche unter Hinzuziehung del' Gaszustandsgleichung gewonnenwurden, wenn diese vor und hinter dem StoB dieselbe Form hat, wie es etwabei idealen Gasen der Fall ist. So sind Gl. (27) und Gl.
(36) vallig symmetrisch.Auch die Gleichung fur .zff, Gl. (34), laBt sich auf eine symmetrische Form bringen,indem in Gl. (36) if* und M* mittels Tab. II, 5 durch .J.M und M ersetzt wird.Das gilt ferner fUr aIle anderen GraBen, die sich durch M* allein ausdriickenlassen, wie cund T. In den meisten Gl. (34) kommen abel' die GraBen VOl' und hinterdem StoB nicht in gleicher Weise vor, indem beispielsweise der Druck p durch pund M ausgedruckt wird, wah rend if fehlt. Jedoch laBt sich aus der Symmetriee;II, 6. Beriicksichtigung der Veranderlichkeit der spezifischen Warmen.31der Ausgangsformeln folgern, daB sich die Werte p, (J, W usw.
in formal gleicherW und iII ausdrucken lassen, wie es in umgekehrter Weise inWeise durch p,den Gl. (34) geschehen ist. Die Gleichungen muss en richtig bleiben, wenn dieWerte mit Dach durch jene ohne Dach ersetzt werden und umgekehrt. So gilt:e,;1-=x!1·~2);(1-:=1+x2; 1 (M2 - 1).Da nach dem StoB stets Unterschall herrscht, gelten die Gleichungen VOn derForm der Gl.
(34) also im ganzen Wertebereich der Machschen Zahl.6. Beriicksichtigung der Veranderlichkeit der spezifischen Warmen, derDissoziations- und IonisationsYorgange im Sto.6 eines idealen Gases.Ein StoB mit einem Druckanstieg auf den zehnfachen Ausgangswert HWtnach Tab. II, 1 die Temperatur von Zimmertemperatur auf etwa 470° C steigen.Nach Tab. I, 3 ist das Verhaltnis der spezifischen Warmen dabei vom Werte" = 1,40 auf X = 1,36 abgesunken, kann also fUr genauere Rechnungen keinesfalls mehr als konstant gleich dem Ausgangswert gesetzt werden.
Bei StoBwellenYLftJllll7!1l"?b~I~" .flIOIii1--'--r-I.-4, ,,- ..f--r--b r--r->--+-+--'_ r+-++---r~tJtJl~.d/OT. TIl·J.lOI.?5tJ.~.10Abb. 8. Zusammensetzung der Luft bei sehr hohenTemperaturen nach BURKHARDT fUr Normaldichte (Q == 1,293 g/cm3)und 20fache Normaldichte (gestrichelt).Abb. 9. Innere Energie eines Mols Luft (m Gramm)bei einfacher 10- und 20facher Normaldichte bei sehrhohen Temperaturen nach BURKHARDT.entsprechend einer Machschen Zahl M = 6 der Anstromung steigt der Druckauf das 40- bis 50fache des Ausgangswertes, und die Temperatur steigt vonZimmertemperatur auf uber 2000° C.
Sie erreicht damit Werte, wo Dissoziationsvorgange bedeutungsvoll werden konnen. Es wurde schon in Abschnitt I, 8darauf hingewiesen, daB bei hohen Temperaturen besonders energieraubendeUmwandlungen in Betracht kommen.Abb.8 zeigt die Zusammensetzung der Luft bei sehr hohen Temperaturennach BURKHARDT fUr Normaldichte (e = 1,293 g/cm3 ) und 20fache Normaldichte.
Stets kann die Luft dabei als ideales Gas angesehen werden, jedoch miteinem kleineren Molgewicht m entsprechend der durch die Dissoziation undIonisation gesteigerten Teilchenzahl im Gas. Die Dissoziations- und Ionisations-32II. Stationare Fadenstromung.gleichgewichte sind diehteabhangig. Deshalb und nieht wegen des Abweiehensvom Zustand idealer Gase wird die Diehte von Bedeutung.
Die Zusammensetzungwurde theoretisch ermittelt. Sie diidte die wirkliehen Werte ziemlich genauwiedergeben. Darnach bleibt die typisehe Zusammensetzung del' Luft mit rund1/5 O 2 und 4/5 N z nur bis etwa753000° C erhalten./X- l,llI//Neben der Zusammensetzungi(JI//der Luft miissen die spezifisehen..I l/x"1,1Warmen del' einzelnen Bestandteile~~ """i~'"lfJermitteltwerden, urn dann diej': ,//"Enthalpie i del' Luft abhangig vonf //'I / V/'Temperatur und Dichte zu ge,/x ·,,/;j/winnen. Die Dichteabhangigkeit~/5voni ist wieder durch die Dichte'/ #I;toU67//- , /abhangigkeit del' Luftzusammen~~setzung bedingt.
[Abb. 9 gibt an......1 ~,5IIIZ.1istattdel' Enthalpie die auf das MolfJi'J12zJ7 bezogene innere Energie, also dasAbb. 10. Dichteanstieg abhiingig vom Druckanstieg in eiuerProdukt von Molgewicht in GrammStoBwelle VOn idealen Gasen konstanter spezifischer Wiirmeund e wieder, woraus sich sofortnml von Lnft nach BECKER (----) und nach BURKHAEDT().mit Gl. (I, 9) i berechnen laBt.]Die allgemeine dynamischeAdiabate Gl. (16) gibt schlieBlieh zusammen mit del' Zustandsgleichung idealerGase (I, 2) Druck und Dichte abhangig von del' Temperatur nach dem Stol3.Mit Gl.
(15) kann die Geschwindigkeit naeh dem StoB ermittelt werden. BECKER lhat die Reehnungen unter Beriicksichtigung del' Temperaturabhangigkeit del'spezifisehen Wal'men bei gleieh~.Jbleibender LuftzusammensetzungI z/Tdurehgefiihrt. Die Dissoziationsv//b~~ ~llli'.. 'und 1onisationserseheinungen wul''~denvon BURKHARDT 2 beriieksich5tigt. Die Arbeit ist miihsam, sie erfordert die Anwendung del' Quantenstatistik und Verwendung del'Ill'spektroskopiseh ermittelten Datenfiir die Sehwingungsfl'equenzen,~ /die Anregungsenergie, die DisVund die 1onisationssoziations/2arbeitendel'in Frage kommendenVd ~5IfJ2.1iMolekiileundAtome.c{i'2IIITil52"J7Abb.
10 und 11 geben DiehteAbb. 11. Temperatnranstieg abhiingig vom Druckanstieganstieg und Temperaturanstieg abin einer StoBwelle von idealen Gasen konstanter spezifischerD k.AlWiirme nnd von Lnft nach BECKER (____ ) und nachhangig vomrue anst18g.sBURKHARDT (. . .. ).Ausgangszustand wurde dabei del'N ormalzustand T = 273 0, P = 1 atgewahlt. Die Abweiehungen von del' Kurve fiir konstantes % = 1,400 sind sehrstark. 1mmerhin werden bei 3000 at Druck Temperaturen von iiber 30000° Cerreieht. Die Abweiehungen del' Kurven nach BECKER von jenen naeh BURKHARDT sind in del' Temperatur viel geringer als in del' Dichte, weil sich aufdiese VOl' aHem del' Zerfall del' Molekiile auswirkt.Abb.
12 gibt sehlieBlieh den Zusammenhang von Druckverhaltnis und MachZahl M VOl' dem stehenden StoB. (211 kann wieder als Wanderungsgesehwindig~.'~'..~.'"'"~,,~~?/~ ~VV~~b1'"33II, 7. Grundgleichungen in Differentialform.keit U eines StoBes in ein ruhencles Gas von cler Schallgeschwindigkeit c gedeutetwerden.) Hier £alIt das geringe Abweichen der Kurven nach BECKER und BURKHARDT voneinander auf. Dies hangt mit der geringen Abhangigkeit des Verhiiltnisses Ulc vom x-Wert [siehe Gl. (28)] zu- Nj1//11sammen.IMan hat in Luft StoBwelIen mit Fortschreitungsgeschwindigkeiten bis iiber 10000m/ 'ItrH[.}sec beobachtet 3 , clem wiirden nach den Berech- .1.9nungen dieses Abschnittes Drucke von rundI(c."oj1000 at mit Temperaturen von rund 14000° C ./6':~ "'-U!7hinter dem StoB entsprechen.////1/;.I!J;,:-1./i1fVIii.JJ'I.
Grundgleichungen in DiUerentialform..10W1st die Anderung des Stri::imungszustandes Z7im Stromfaden stetig, so ki::innen alle AnderungenI;,mit ausreichender Genauigkeit als linear an- zq.Vgesehen werden, wenn der betrachtete RaumJ.nur geniigend klein gewahlt wird. Bei unstetigen 21/ ~vAnderungen, wie sie StoBwelIen in cler Dar- 18stellung der letzten Abschnitte darstellen, wiirde~auch ein Ubergang zu kleinsten Dimensionen '5die sprunghafte Anderung des Zustandes nicht Itt5umgehen ki::innen.
Ein Abschnitt eines Strom2fadens oder eines Kanals veranderlichen Quer- Abb. 12. Mach-Zahl vor dem stehendenschnittes kann dann durch einen Kegelstumpf Stoll abhiingig vom Druckanstieg im Stollvon idealen Gasen konstanter spezifischerdargestellt werden, dessen beide Grundflachen Wiirme nnd von Luft nach BECKER).auf die mittlere Stromrichtung des Fadens (----) und nach BURKHARDT (normal stehen (Abb. 13). Die Parallelitat derbeiden Grundflachen ist clurch die Voraussetzung bedingt, daB der Stromfadenan der betrachteten Stelle keinen Knick macht.Zur Uberfiihrung der Kontinuitatsbedingung in eine Differentialform geniigtes, Gl. (1) zu differenzieren, am best en nachdem die Gleichung zuvor logarithmiertwurde ("logarithmisches Differenzieren"). Es folgt mit x alsStromungsrichtung:0'hV+ ~~ + ~~ =O.(43)f dxZur Uberfiihrung des 1mpulssatzes Gl.
(3) hingegen ist emegenauere Betrachtung an Hand von Abb. 13 erforderlich. DieKraft K solI in Stri::imungsrichtung wirken ({}1 = {} = 0) und sei indie am Kegelstumpfmantel wirkenden Druckkrafte und einen Rest ~~~~~ts~~:i~:aufgespalten, der auf die Masseneinheit bezogen mit X bezeichnet sei.Es wirkt am Kegelstumpfmantel im Mittel der Druck P1 ~ P .
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