K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 9
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Hier sind dieZustande vielfach bis auf eine schmale Zone unmittelbar an der Wand im Querschnitt nahezu konstant, so daB es sinnvoll ist, mit Mittelwerten zu rechnen.16II. Stationare Fadenstromung.Aber auch fiir die Behandlung beliebig raumlicher stationarer Stromungen sinddie folgenden Uberlegungen niitzlich.Kurven in einer beliebigen raumlichen Stromung, welche in jedem ihrerPunkte Stromungsrichtung besitzen, heiBen Stromlinien. Aus dies en konnenStromrohren gebildet werden.
Werden deren Querschnitte nun geniigend kleingewahlt, so kann die Annahme einheitlicher Zustande iiber dem Querschnittbeliebig genau erfiillt werden. Man spricht dann von Strom/aden. Bei stationarerStromung bleiben aIle Teilchen entweder dauernd innerhalb oder auBerhalbeines bestimmten Stromfadens. Die Voraussetzungen dieses Absehnittes sind demnach im Stromfaden erfiillt, woraus sich die Bezeichnung: stationare Fadenstromung ergibt.Vielfach wird in diesem Zusammenhang aueh von hydraulischer Behandlunggesproehen, doeh wird dieser Ausdruek nieht iiberall im selben Sinne verwendet,weshalb er hier vermieden wurde.Die Einsehrankung, daB die Querschnitte / nur langsam in Stromungsrichtungzu- oder abnehmen sollen, bedarf noeh einer Erlauterung.
Es ist klar, daB esdabei nur auf relative GroBen ankommen kann. Handelt es sich etwa urn einenStromfaden rechteckigen Querschnittes, dessen Breite konstant, dessen Hoheaber veranderlich ist, so wird gefordert werden miissen, daB die Hohe im Verhaltniszur Lange nur wenig zunimmt. Die Neigung des Stromfadenrandes zu dessenMittellinie muB also klein sein.
Spat ere Betrachtungen werden zeigen, daB dieStromfadenhohe auch im Verhaltnis zum Kriimmungsradius der Stromlinienklein sein muB und ahnliches, wenn von Fadenstromung gesprochen werden solI.Das Querschnittsverhaltnis kann hingegen beliebig groB sein, wenn die Querschnitte nur geniigend weit voneinander entfernt sind, urn die Bedingungengeringen Offnungswinkels und geringer Kriimmung der Stromlinien zu erfiillen.Die Forderungen werden z. B. von einer ebenen oder kugelsymmetrisehenQuellstromung erfiillt. Wenn dabei die Teilchen auch naeh allen Riehtungenauseinander~tromen, so sind die Stromlinien nieht gekriimmt und zwei geniigendbenaehbarte Stromlinien beliebig wenig zueinander geneigt.2.
Grundgleichungen.Der Zustand eines physikalisch homogenen Mediums ist durch zwei thermischeZustandsgroBen gegeben. Oft ist es allerdings zweckmaBig, mit mehr als zweithermischen ZllstandsgroBen zu arbeiten. Auch dann solI nur von zwei Unbekannten gesprochen werden, da nur zwei thermische GroBen frei wahlbar sind.Der Stromungszustand im Stromfaden wird durch den Geschwindigkeitsbetragallein beschrieben - die Stromungsriehtung ist ja mit der Form des Stromfadensfestgelegt - , so daB im ganzen drei unbekannte Funktionen zu ermitteln sind,was die Aufstellung dreier Gleichungen erforderlich macht.Zu diesem Zweck sei von zwei Querschnitten des Stromfadens ausgegangen(Abb.
4). In einem, f1' mag der Stromungszustand bekannt sein, im anderen, f,werde er gesucht. Es wird hier also nicht eine fest abgegrenzte Masse, sondernes wird ein fest abgegrenzter Raum betrachtet. Dies ist bei stationarer Stromungdie einzig in Frage kommende Methode, da nur auf diese Weise die zeitliche Unveranderlichkeit des Zustandes an einem bestimmten Ort zur Geltung kommt.Aus dem Querschnitt / tritt in der Zeiteinheit die Menge(1)aus. Da die Stromung stationar ist, darf die Masse, welche sich zwischen den17II, 2. Grundgleichungen.Querschnitten 11 und I befindet, nicht zunehmen. Es muB die DurchfluBmengein 11 dieselbe sein wie in I:(2)G1.
(2) driickt die Erhaltung der Masse aus und wird als "Kontinuitatsbedingung"bezeichnet. Bei inkompressiblen Medien (e _ (1) konnte aus dieser Gleichungallein schon die Geschwindigkeit bestimmt werden. Natiirlich ist es denkbar,daB zwischen den Querschnitten lund 11 Masse zugefiihrt wird, wie dies etwabei der Zufiihrung von Brennstoff in die Brennkammer der Fall ist. Dann muBG1. (1) entsprechend abgeandert werden. Jedoch sollen die Gleichungen zunachstnicht durch Beriicksichtigung solcher FaIle unnotig kompliziert werden.Das Produkt e Wist die Masse, welche durch die Flacheneinheit eines Querschnittes in der Zeiteinheit flieBt; sie heiBt Stromdichte. Sie wachst sowohl mitder Dichte (! als auch mit der Geschwindigkeit W.Aus Impulsbetrachtungen wird bei inkompressiblen Medien auf den Druckgeschlossen.
Dieser hangt etwa bei reibungsfreier Stromung mit der Geschwindigkeit durch die Bernoullische Gleichung zusammen.Es ist daher naheliegend, auch hier von Impulsbetrachtungen auszugehen, wobei die NewtonschenBewegungsgleichungen in der Form zugrunde gelegtwerden sollen, daB die in einer bestimmtenRichtung wirkenden Krafte der zeitlichen Anderungder BewegungsgroBe in der gleichen Richtung gleichAbb. 4.
Stromiaden.zusetzen sind. Die Summe aller in einer bestimmtenRichtung wirkenden Krafte (Abb.4), ausgenommendie auf die Flachen lund 11 wirkenden Druckkrafte, sei K. Darin konnen Druckkrafte an den Stromfadenwanden, Reibungskrafte an den Stromfadenwandenund in den Endquerschnitten lund 11 und auch Massenkrafte, wie die Schwerkraft, zusammengefaBt sein. Die von den Drucken an den Endquerschnittenerzeugten Krafte sind in Stromungsrichtung PIlI und P I.
Sind {}1 und {} dieWinkel, welche der Stromfaden mit der Kraft K in den Endquerschnitten einschlieBt (Abb.4), so iiben die Drucke in den Endquerschnitten die Krafte PIlIcos {}1 und - P I cos {} auf das betrachtete Stromfadenstiick in der Richtungvon K aus.Eine Anderung der BewegungsgroBe im betrachteten Raum entsteht nurdurch ZufluB und AbfluB durch die Endquerschnitte. Die BewegungsgroBe(Masse X Geschwindigkeit) pro Masseneinheit in Stromungsrichtung ist W. DieBewegungsgroBe pro Masseneinheit in der Richtung von Kist dann in den Endquerschnitten WI cos {}1 und W cos {}. Diese GroBen multipliziert mit den DurchfluBmengen G1.
(1) ergeben den zeitlichen Zuwachs durch Einstromen in 11 undden zeitlichen AbfaH durch Ausstromen aus I. Die Summe aller Krafte verursachteine Zunahme der BewegungsgroBe in Kraltrichtung, folglich ist sie dem AusfluBvermindert urn den EinfluB in Kraftrichtung gleichzusetzen:K+ PIlI cos {}1 -P I cos {} =I (j W2 cos {} - fr elW 12 COS{}l'Es wird zweckmaBig wie folgt zusammengefaBt:K+ (PI + (!1 W12) 11 cos {}1 =(p+ (! W2) I cos {}.(3)G1. (3) nennt man den Impulssatz.
Wie G in G1. (1) eine DurchfluBmenge, alsoeine Masse pro Zeiteinheit darstellt, ist (p + (! W2) I der Dimension nach eine BewegungsgroBe pro Zeiteinheit. Richtiger miiBte also von einem Impulsstromsatzgesprochen werden. Der Ausdruck P + e W2 heiBt Impulsstromdichte. Vielfachwird sowohl dieser Ausdruck als auch e W2 allein in der Stromungslehre als ImpulsOswatitsch, Gasdynamik.2II. Stationare Fadenstramung.18ebezeiehnet, wahrend W stets nur riehtig "BewegungsgroBe" genannt wird. Indiesem Bueh werden mog1iehst die exakten Ausdrueke verwendet werden.Charakteristiseh fur den Impu1ssatz ist die Abhangigkeit del' 01. (3) von del'Riehtung del' betraehteten Kraftsumme K. Diese braueht keineswegs die Resultierende aller auftretenden Krafte darzustellen, sie ist 1edig1ieh die Komponentedel' Resultierenden in einer willkiir1ieh vorgesehriebenen Riehtung.
Je naeh del'Riehtung, we1ehe interessiert, andern sieh K, {}1 und {} und damit das Resultatvon G1. (3). Eine solehe Riehtungsabhangigkeit ist G1. (2) fremd.Mit G1. (2) und (3) waren nun alle erforder1iehen Gleiehungen fUr ein inkompressib1es Medium abge1eitet. In del' Gasdynamik ist abel' zur Bestimmung del'Diehte enoch eine weitere Gleiehung erforderlieh.
In del' Thermodynamik wirddie Anderung del' Diehte mit dem Druck aus dem ersten Hauptsatz abge1eitet,wobei sieh z. B. die Adiabate ergibt, wenn von jeder Warmezufuhr abgesehenwird. Es 1iegt nahe, fur den noeh feh1enden Zusammenhang del' therrnisehen ZustandsgroBen wieder auf das Energieprinzip zuruekzugreifen.Naeh dem Energieprinzip muB die von auBen zugefuhrte Leistung L, we1ehein den Stromfadenraum zwischen 11 und I eingefiihrt wird, gleieh sein del' aus I indel' Zeiteinheit ausflieBenden Energie zuzug1ieh del' dort vom Gase gleiehzeitiggeleisteten Arbeit vermindert urn Energie und Arbeit, welehe in 11 pro Zeiteinheitan das Gas abgegeben wird.
Die inneren Umsetzungen des Mediums, etwa ankinetiseher Energie dureh Reibung in Arbeit, b1eiben dabei unberueksiehtigt. AlsLeistung kommt VOl' allem die dem Medium von auBen in del' Zeiteinheit zugefuhrte Warmemenge Q in Frage, ferner die von auBeren Kraften vollbraehtenLeistungen, welche sieh als das Produkt von Gesehwindigkeit und Kraftkomponente in Gesehwindigkeitsriehtung summiert uber den ganzen Raum ergeben. DieReibungskrafte am Stromfadenmante1 spie1en dabei nul' dann eine Rolle, wenn dortvon Null versehiedene Gesehwindigkeiten herrsehen wie an einem mitten auseiner Stromung herausgegriffenen Faden - nieht abel' an festen Kanalwanden,wo mit del' Gesehwindigkeit aueh die Leistung del' Reibungskrafte versehwindet.Ferner konnen Leistungen von Massenkraften wie del' Sehwerkraft hinzukommen.Urn hier jeden Zweifel auszuschlieBen, sei die Energiebilanz fiir den freien Fallaufgestellt.
Es .ist ublich, dabei zu sagen, daB die Summe von kinetischer Energieund potentieller EnergiE;. des fallenden Karpers konstant bleibt. Ebenso kann abel'gesagt werden, daB die Anderung der kinetischen Energie gleich ist de"!,. vom Karpel'an der Schwerkraft geleisteten Arbeit - letzteres ist gerade die Anderung del'potentiellen Energie. Diese Ausdrucksweise wurde hier vorgezogen. urn auch allenicht konservativen Krafte (Krafte, die sich nicht als Gradient eines Potentials ergeben) mit einzubeziehen.Das Medium transportiert dureh die Endquersehnitte pro Masseneinheit einnere und ~2 kinetisehe Energie.
Die Summe diesel' beiden GroBen multipliziertmit del' DurehfluBmenge 0, Gl. (1), gibt den EnergiefluB. Die Arbeitsleistung anden Endquersehnitten ergibt sieh aus Gl. (I, 28). Allerdings handelt es sieh hierum eine Zunahme des Vol urn ens in del' Zeiteinheit, also um das Produkt vonF1aehe lund Gesehwindigkeit W normal auf diese.
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